Newton harmadik törvénye

A korcsolyázó Anna a jégen áll, arccal a palánk felé, tenyerével nekitámaszkodik, és ellöki magát. Hátrafelé indul el, a palánktól távolodva. Senki nem lökte meg, ő tolt, mégpedig a palánkot, nem saját magát. Egy test azonban magától nem indul el, valaminek erővel kell hatnia rá. Ki tolta hát Annát? A palánk.

A szürke alak Anna az elrugaszkodás pillanatában. Anna a tenyerével piros ${\overrightarrow{F}}_1$ erővel tolja a palánkot, és a palánk ugyanabban a pillanatban kék ${\overrightarrow{F}}_2$ erővel tolja az ő tenyerét. Mindkét nyíl egyforma hosszú, és ellentétes irányba mutat. A jégen lévő narancssárga jelek Anna helyzetét mutatják félmásodpercenként. Az első távolság rövidebb, mert az elrugaszkodás alatt Anna még csak gyorsul. Utána már a tehetetlensége miatt állandó sebességgel csúszik, ezért egyenlők a távolságok. A korcsolya súrlódását az egyszerűség kedvéért elhanyagoljuk.

A hatás-ellenhatás törvénye

Isaac Newton 1687-ben a Principiában így írta le (latinból fordítva):

Minden hatással szemben mindig egyenlő ellenhatás áll. Vagyis két test egymásra gyakorolt hatásai mindig egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak.

Mai szavakkal: ha az egyik test erővel hat a másikra, a második test ugyanakkora, ellentétes irányú erővel hat az elsőre:

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

A vektor előtti mínusz azt jelenti, hogy az irány ellentétes, a nagyságok egyenlők, F₂ = F₁. Az egyik erőt hatásnak, a másikat ellenhatásnak nevezzük, és mindegy, hogy melyiket. Mindkettő egyszerre keletkezik és szűnik meg, egyik sem az első. Az erő ugyanis mindig két test kölcsönhatása, és ezért az erők mindig párban jelentkeznek. Magányos erő, amelynek nincs párja, nem létezik.

A hatás-ellenhatás párnak három tulajdonsága van:

• a két erő egyforma nagy,
• ellentétes irányú,
• mindegyik más testre hat.

A harmadik tulajdonság a legfontosabb, és éppen ebben tévednek a legtöbbször. Anna tolja a palánkot, a palánk tolja Annát. Anna mozgását csak a palánk ereje befolyásolja, mert a két erő közül csak az hat rá.

Számoljuk ki. Anna tömege 40 kg, a palánk 80 N erővel tolja. A dinamika alaptörvényéből megkapjuk a gyorsulást:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ha az elrugaszkodás fél másodpercig tart, Anna 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s sebességgel siklik el.

És a palánk miért nem indult el? Anna ugyanakkora, 80 N erővel tolja. A palánk azonban szilárdan kapcsolódik a stadionhoz, az pedig a Földhöz, ezért az erőt az egész Föld kapja, amelynek tömege körülbelül 6 · 10²⁴ kg:

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ekkora gyorsulást soha senki nem fog megmérni. Az erők egyformák, a hatásuk viszont nem, mert nagyon különböző tömegű testekre hatnak.

Ugyanígy jár az a légy, amelyik nekirepül egy haladó autó szélvédőjének. Az ember azt mondaná, hogy az autó sokkal nagyobb erővel ütötte a legyet, mint a légy az autót. Az erők azonban egyformák, a légy ugyanakkora erővel nyomja az üveget, mint az üveg a legyet. A légy tömege viszont a gramm törtrésze, ezért ugyanaz az erő óriási gyorsulást ad neki, amelyet nem él túl. Az egytonnás és annál nehezebb autót ugyanez az erő olyan csekély mértékben lassítja, hogy a sofőr észre sem veszi.

A ló és a szekér paradoxona

A ló húzza a szekeret. Newton harmadik törvénye szerint azonban a szekér ugyanakkora erővel húzza vissza a lovat. Az erők egyformák és ellentétesek, tehát kioltják egymást, és semmi sem mozdulhatna. Hogyan indul el mégis a ló a szekérrel?

Gyakran azt felelik, hogy a ló erősebben húzza a szekeret, mint a szekér a lovat. Nem így van, a két erő minden pillanatban egyforma, induláskor, menet közben és megálláskor is. A hiba a „kioltják” szóban van. Összeadódni és kioltani egymást csak azok az erők tudják, amelyek ugyanarra a testre hatnak. A ló ereje a szekérre hat, a szekér ereje a lóra. Mindegyik más testhez tartozik, ezért nem oltják ki egymást.

Ha azt kérdezzük, elindul-e a szekér, csak azokat az erőket figyeljük, amelyek a szekérre hatnak. A ló a piros ${\overrightarrow{F}}_1$ erővel húzza előre, a gördülési ellenállás pedig a narancssárga ${\overrightarrow{F}}_4$ erővel fékezi. Ha a vonóerő nagyobb az ellenállásnál, a szekér gyorsul. A kék ${\overrightarrow{F}}_2$ erő, amellyel a szekér a lovat húzza, ide nem tartozik, az a lóra hat.

A lóra két vízszintes erő hat. A szekér hátrafelé húzza az ${\overrightarrow{F}}_2$ erővel, a talaj pedig előre tolja a zöld ${\overrightarrow{F}}_3$ erővel. A ló ugyanis patáival nekifeszül a talajnak, és hátrafelé tolja, az pedig a harmadik törvény szerint előre tolja őt. A ló akkor indul el, ha a talaj nagyobb erővel tolja, mint amekkorával a szekér visszahúzza.

Most számokkal. A szekér tömege 400 kg, a lóé 600 kg. A ló 400 N erővel húzza a szekeret, az ellenállás 200 N. A szekérre ható eredő 400 N − 200 N = 200 N, a szekér gyorsulása pedig

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

A lónak ugyanígy kell gyorsulnia, különben a szekér vagy elszaladna előle, vagy lemaradna. A lóra ható eredőnek tehát 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N erőnek kell lennie. A szekér 400 N erővel húzza hátra, ezért a talajnak előre kell tolnia 400 N + 300 N = 700 N erővel.

Az egész fogatot tehát a talaj indítja el. A talaj tolja a lovat, a ló pedig húzza a szekeret. Jégen, ahol a pata nem tud mibe kapaszkodni, a ló csak kaparna, a szekér meg sem mozdulna.

Járás, autó és úszás

Pontosan így járunk. Lépéskor a talpad hátrafelé tolja a talajt, a talaj pedig előre tol téged. Előre csak a talaj ereje mozgat, a lábad önmagában sehová sem juttatna. A jégen a talp megcsúszik, hátrafelé tolni nem lehet, ezért olyan nehéz ott járni. A talaj ugyanakkora erőt kap tőled hátrafelé, csak olyan nagy a tömege, hogy nem tudod megmozdítani. Hasonlóan van ez az ugrásnál. A lábad lefelé tolja a talajt, a talaj felfelé tol téged, és amíg a talaj jobban tol, mint ahogy a Föld lefelé húz, felfelé gyorsulsz. Amint elszakadsz a földtől, a talaj ereje megszűnik, és csak a nehézségi erő marad, amely visszahúz.

Az autó hasonlóan viselkedik. A motor forgatja a kerekeket, a gumiabroncsok hátrafelé tolják az utat. Az út a harmadik törvény szerint előre tolja az autót. Azt az erőt, amelyet a motor vonóerejének nevezünk, tehát valójában az út fejti ki az autóra, a motor csak forgatja a kerekeket. Ezért alig tud elindulni az autó a jégen, ha a kerekek kipörögnek, még ha a motor teljes gőzzel bőg is.

Az úszó ugyanezt teszi a vízzel. Kezével és lábával hátrafelé tolja a vizet, a víz pedig előre tolja őt. A csónak evezői is hátrafelé tolják a vizet, a repülő légcsavarja a levegőt.

Rakéta

A rakétánál úgy tűnik, nincs mitől elrugaszkodnia. A világűrben nincs se talaj, se víz, se levegő. A rakéta viszont magával viszi azt, amiből elrugaszkodik. A hajtómű elégeti az üzemanyagot, a keletkező forró gázokat pedig a fúvókán át nagy sebességgel hátrafelé kilövi. A rakéta hátrafelé tolja a gázokat, a gázok előre tolják a rakétát.

Elterjedt tévhit, hogy a rakéta a mögötte lévő levegőtől rugaszkodik el. Nem, a környező levegő inkább akadályozza, ezért a hajtóműve légüres térben valamivel még nagyobb tolóerőt is ad, mint a föld közelében. Ugyanezen az elven repül a felfújt léggömb, amelyet elengedsz a kezedből. A levegő hátrafelé távozik belőle, a léggömb pedig előre repül. Ugyanezt érzik a tűzoltók, akik a kezükben tartják a sugárcsövet. A sugárcső előre fecskendezi a vizet, a víz hátrafelé tolja a sugárcsövet, ezért alaposan neki kell támaszkodniuk.

Könyv az asztalon

Az asztalon egy 2 kg tömegű szótár fekszik. A Föld lefelé húzza a nehézségi erővel:

$$F_g=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

A szótár azonban nem esik le, tehát hatnia kell rá még egy másik erőnek is, mégpedig felfelé. Ez az az erő, amellyel az asztallap alulról nyomja a szótárt. Tartóerőnek (nyomóerőnek) nevezzük, jele $\overrightarrow{F_{\mathrm{ny}}}$. Merőleges a felületre, a merőlegest pedig a matematikában normálisnak is hívják, ezért normálerőnek is mondják. A szótár áll, az eredő nulla, ezért a tartóerő ugyanakkora, mint a nehézségi erő, F_ny ≈ 19,6 N.

A kék nehézségi erő és a zöld tartóerő egyforma nagy és ellentétes. Hatás-ellenhatás pár ez? Nem. Mindkettő ugyanarra a testre hat, a szótárra, a hatás és az ellenhatás pedig mindig két különböző testre. A nehézségi erő és a tartóerő két különböző erő egyensúlyban. Hogy egyformák, az a tehetetlenség törvényéből következik, nem a hatás-ellenhatás törvényéből.

Hol vannak akkor az ellenhatások? Mindkét erőnek megvan a sajátja:

• az asztal felfelé nyomja a szótárt az $\overrightarrow{F_{\mathrm{ny}}}$ tartóerővel, a szótár pedig lefelé nyomja az asztalt az ${\overrightarrow{F_{\mathrm{ny}}}}^{\prime }$ erővel,
• a Föld lefelé húzza a szótárt az $\overrightarrow{F_g}$ nehézségi erővel, a szótár pedig ugyanakkora erővel felfelé húzza a Földet.

A szótár az ábrán egy kicsit meg van emelve, hogy látszódjon, melyik erő melyik testre hat. A zöld tartóerő a szótárra hat, a piros ${\overrightarrow{F_{\mathrm{ny}}}}^{\prime }$ erő az asztalra.

A különbség jól látható, ha a tenyeredet felülről 10 N erővel rányomod a szótárra. A nehézségi erő nem változik, a Föld ugyanúgy húzza a szótárt. Az asztalnak viszont most a nehézségi erő mellett a tenyered nyomását is ki kell egyensúlyoznia, ezért a tartóerő megnő:

$$F_{\mathrm{ny}}=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

Ugyanígy megnő az ellenhatás is, a szótár is 29,6 N erővel nyomja az asztalt. A nehézségi erő és a tartóerő tehát csak azért volt egyenlő, mert a szótárt semmi más nem nyomta, a hatás és az ellenhatás ellenben mindig egyforma.

A hatás-ellenhatás párt leginkább az azt leíró mondatról lehet felismerni. „Az asztal nyomja a szótárt” és „a szótár nyomja az asztalt” pár, csak a mondatban felcserélődik a két test. „A Föld húzza a szótárt” és „az asztal nyomja a szótárt” nem pár, mert mindkét mondatban a szótárra hatnak.

A nehézségi erő végigkísért minket az ugrástól az asztalon fekvő szótárig. Mi a különbség közte és a súly között, mit mutat valójában a fürdőszobai mérleg, és miért vagyunk nehezebbek a felfelé induló liftben, azt a következő, Nehézségi erő és súly című cikk magyarázza el.