Scalaire en vectoriële grootheden

“Buiten is het 20 °C.” Meer hoef je er niet bij te zeggen, iedereen weet of hij een jas mee moet nemen. De temperatuur wordt beschreven door een getal en een eenheid. Maar probeer iemand de weg te wijzen met de zin “ga 100 m”. Hij vraagt meteen: waarheen? Rechtdoor, naar links, terug? Honderd meter naar het noorden brengt hem bij het station, honderd meter naar het zuiden recht in de vijver. Voor zo'n grootheid is een getal niet genoeg, we hebben ook een richting nodig.

Scalair of vector?

Grootheden die volledig worden beschreven door een getal met een eenheid heten scalaire grootheden (scalairen). Temperatuur, tijd, massa en afgelegde weg zijn scalair. Als je zegt dat een tas een massa heeft van 5 kg of dat een film 2 h duurt, hoef je niets meer toe te voegen. Massa wijst niet naar links of naar boven.

Grootheden waarbij ook de richting ertoe doet, noemen we vectoren. Een typische vector is kracht. Wie weleens een kast heeft verschoven, weet dat duwen naar de muur iets anders is dan duwen van de muur af. Ook snelheid is een vector: een auto die 90 km/h naar Brno rijdt en een auto die 90 km/h vanuit Brno rijdt, hebben dezelfde snelheid, en toch gaat elk een andere kant op.

Een vector herken je aan de pijl boven het symbool. Kracht als vector schrijf je als $\overrightarrow{F}$. Soms interesseert de richting ons niet en willen we alleen weten hoe groot de kracht is. Dat deel noemen we de grootte van de vector en we schrijven het met verticale strepen, of gewoon met het symbool zonder pijl:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

De grootte van een kracht is een scalair, bijvoorbeeld F = 300 N. De newton N is de eenheid van kracht, meer hoef je er voorlopig niet over te weten. Kracht dient hier vooral als voorbeeld van een vector.

Een vector als pijl

Een vector tekenen we als een pijl. Die wijst in de richting van de vector en zijn lengte komt overeen met de grootte. Om de pijl te kunnen tekenen kiezen we een schaal, bijvoorbeeld dat één centimeter op papier 100 N voorstelt. Een kracht van 300 N is dan een pijl van drie centimeter lang, een kracht van 50 N een pijl van maar een halve centimeter.

In de afbeelding zien we drie rode pijlen. Ze hebben allemaal dezelfde lengte en richting, dus ze stellen één en dezelfde vector $\overrightarrow{u}$ voor, alleen op drie verschillende plaatsen getekend. Een vector wordt alleen bepaald door grootte en richting, het maakt niet uit waar de pijl begint. We mogen de pijl daarom naar believen verschuiven, alleen mogen we hem niet draaien, inkorten of verlengen. Dat komt meteen van pas bij het optellen.

De blauwe pijl $\overrightarrow{w}$ is even lang als de rode, maar wijst een andere kant op, dus het is een andere vector. Beide vectoren hebben dezelfde grootte, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, en toch geldt $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Vectoren optellen

Pieter vertrekt bij een hut en loopt 3 km naar het oosten. Daarna slaat hij af en loopt nog 4 km naar het noorden. Hoe ver is hij dan van de hut?

We maken een tekening. In de afbeelding ligt het noorden boven, het oosten rechts en één hokje is een kilometer. De oranje stip is de hut, de rode pijl is het eerste stuk en de blauwe pijl het tweede.

De blauwe pijl begint niet bij de hut, maar aan het einde van de rode. Pieter liep immers naar het noorden vanaf de plek waar hij na het oosten was aangekomen. Zo tel je vectoren op: we verschuiven de tweede pijl zo dat hij begint aan het einde van de eerste. De som is dan de pijl die loopt van het begin van de eerste pijl naar het einde van de tweede. In de afbeelding is dat de groene pijl, die laat zien waar Pieter terechtkwam. De animatie laat het stap voor stap zien: de blauwe pijl begint eerst op dezelfde plek als de rode, verschuift dan naar het einde ervan en pas daarna verschijnt de groene.

Tellen we in plaats van vectoren gewone getallen op, dan krijgen we 3 km + 4 km = 7 km. Zeven kilometer heeft Pieter echt gelopen, maar zo ver is hij niet van de hut. Hij nam een omweg, de groene pijl is een kortere route en is daarom korter dan beide stukken samen.

Hoe lang is de groene pijl? De rode, de blauwe en de groene pijl vormen samen een rechthoekige driehoek, een driehoek met een rechte hoek. De twee zijden die de rechte hoek insluiten heten rechthoekszijden en de derde, de langste, tegenover de rechte hoek, is de schuine zijde. Voor een rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de schuine zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. De rechthoekszijden zijn 3 km en 4 km, dus voor de schuine zijde c geldt

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

We kwadrateren. Ook de eenheid wordt gekwadrateerd, kilometer keer kilometer is vierkante kilometer:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

En we nemen de wortel:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Pieter staat 5 km van de hut. De pijl van de plek waar we begonnen naar de plek waar we eindigden heet in de natuurkunde de verplaatsing. In tegenstelling tot de gelopen kilometers is dat een vector: behalve vijf kilometer zegt hij ook in welke richting de hut ligt. Op de richting komen we aan het einde van het artikel terug.

De som kunnen we net als bij getallen opschrijven, alleen met pijlen. Als we twee vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{w}$ optellen, krijgen we een nieuwe vector $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Pas op, de grootte van de som is in het algemeen niet de som van de groottes. Noemen we Pieters eerste stuk $\overrightarrow{u}$ en het tweede $\overrightarrow{w}$, dan is de grootte van de som

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

terwijl de som van de groottes gelijk is aan

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

De parallellogramregel

Daan heeft twee honden aan de lijn. Elke hond trekt een andere kant op, de een met kracht ${\overrightarrow{F}}_1$, de ander met kracht ${\overrightarrow{F}}_2$, en beide krachten werken op de hand waarin Daan de lijnen vasthoudt. Waar trekken de honden hem samen heen?

De krachten werken in hetzelfde punt, daarom tekenen we de pijlen het natuurlijkst vanuit een gemeenschappelijk beginpunt. De resulterende kracht vinden we met de parallellogramregel. Vanaf het einde van elke pijl trekken we een gestippelde lijn evenwijdig aan de andere. Zo ontstaat een parallellogram, en de diagonaal vanuit het gemeenschappelijke punt is de gezochte som $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Waarom werkt dit? De rechter gestippelde zijde van het parallellogram is even lang als de blauwe pijl en loopt evenwijdig eraan. Het is dus de blauwe pijl ${\overrightarrow{F}}_2$, alleen verschoven naar het einde van de rode ${\overrightarrow{F}}_1$. Dat kennen we al uit het vorige deel: we verschoven de tweede pijl naar het einde van de eerste. Beide werkwijzen, het parallellogram en het achter elkaar zetten van pijlen, leiden altijd tot hetzelfde resultaat. Pijlen achter elkaar zetten past bij gebeurtenissen die na elkaar plaatsvinden (eerst naar het oosten, dan naar het noorden), het parallellogram bij krachten die tegelijk in hetzelfde punt werken.

De groene pijl laat zien waar de honden Daan heen trekken. De resulterende kracht heet ook wel resultante. Omdat elke hond een beetje een andere kant op trekt, is de resulterende kracht kleiner dan wanneer beide in dezelfde richting zouden trekken. Haar grootte meet je in de afbeelding af met de schaal. Uitrekenen kunnen we haar voorlopig alleen in twee gevallen: als de krachten loodrecht op elkaar staan, zoals Pieters twee stukken, of als ze op één lijn liggen (dat komt meteen hierna).

Vectoren op één lijn

Het rekenen is het eenvoudigst als de vectoren op één lijn liggen. Twee vrienden duwen een kapotte auto. De een duwt met een kracht van 300 N, de ander met 250 N, beiden naar voren. We zetten de pijlen achter elkaar en krijgen een pijl waarvan de lengte gewoon de som is:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

De rode en de blauwe pijl zijn de krachten van beide vrienden, de groene is de resulterende kracht.

Een andere situatie: touwtrekken. Het ene team trekt naar rechts met een kracht van 300 N, het andere naar links met 250 N. Beide krachten werken op de knoop midden in het touw en wijzen precies tegen elkaar in. De pijlen beginnen in de knoop en wijzen naar tegenovergestelde kanten, daarom is de resulterende kracht het verschil:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

De kracht van het eerste team is in de afbeelding rood, die van het tweede blauw en de resulterende kracht groen. De resulterende kracht van 50 N wijst naar rechts, naar de kant van het sterkste team. Als beide teams even hard zouden trekken, zou de resulterende kracht nul zijn en zouden de krachten elkaar opheffen. Alleen als vectoren dezelfde of precies tegengestelde richting hebben, worden hun groottes opgeteld en afgetrokken als gewone getallen.

De tegengestelde vector en vermenigvuldigen met een getal

Een vector die even groot is als $\overrightarrow{u}$, maar precies de andere kant op wijst, heet de tegengestelde vector en wordt geschreven als $-\overrightarrow{u}$. In de afbeelding hieronder is hij blauw. Tellen we bij een vector zijn tegengestelde op, dan komen we terug waar we begonnen en krijgen we de nulvector:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Zo eindigt het touwtrekken van twee even sterke teams. Dankzij de tegengestelde vector kunnen we ook aftrekken: $\overrightarrow{w}$ aftrekken betekent $-\overrightarrow{w}$ optellen, dus $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Een vector kunnen we ook met een getal vermenigvuldigen. De groene vector $2\overrightarrow{u}$ wijst dezelfde kant op als $\overrightarrow{u}$, maar is twee keer zo lang. Dat is hetzelfde als $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, twee gelijke pijlen achter elkaar. Vermenigvuldigen we met een negatief getal, dan keert de vector bovendien om: de oranje vector $-2\overrightarrow{u}$ is twee keer zo lang en wijst de andere kant op. De tegengestelde vector $-\overrightarrow{u}$ is eigenlijk de vector $\overrightarrow{u}$ vermenigvuldigd met het getal −1.

In de natuurkunde betekent dat: als we een kracht verdubbelen en laten werken in dezelfde richting, krijgen we de kracht $2\overrightarrow{F}$. De grootte verdubbelt, de richting blijft.

Sinus en cosinus

Een schuine vector kun je vaak met voordeel ontbinden in twee loodrechte, bijvoorbeeld een horizontale en een verticale. Daarvoor moeten we twee nieuwe begrippen invoeren, sinus en cosinus. Beide komen voort uit de rechthoekige driehoek.

De driehoek in de afbeelding heeft een rechte hoek bij hoekpunt C, de schuine zijde is de zwarte zijde c. We kijken naar hoek α bij hoekpunt A. De rode rechthoekszijde a ligt tegenover die hoek, daarom heet ze de overstaande zijde. De blauwe rechthoekszijde b sluit hoek α samen met de schuine zijde in, die heet de aanliggende zijde.

De sinus van hoek α is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, de cosinus is de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Waar is zo'n verhouding goed voor? Vergroot de hele driehoek twee keer. Alle zijden worden twee keer zo lang, maar de hoeken blijven gelijk. De verhouding $\frac{a}{c}$ verandert niet, omdat zowel teller als noemer twee keer zo groot wordt. Sinus en cosinus hangen daarom niet af van de grootte van de getekende driehoek, maar alleen van de grootte van hoek α. Een hoek van 30° heeft altijd dezelfde sinus, of je de driehoek nu in je schrift tekent of op het schoolplein.

De schuine zijde is in een rechthoekige driehoek de langste zijde, dus beide verhoudingen zijn altijd kleiner dan één. De sinus of cosinus van een scherpe hoek wordt nooit groter dan één.

De sinus en cosinus van een willekeurige hoek berekent de rekenmachine, je vindt erop de toetsen sin en cos. Let wel op dat de rekenmachine in graden rekent. Als je op het display geen DEG ziet maar RAD of GRAD, rekent hij met andere hoekeenheden en komt er onzin uit. Dat is een van de meestgemaakte fouten bij toetsen. Op de website kun je de rekenmachine voor de sinus of de cosinus gebruiken. Meer eigenschappen van beide functies vind je in het artikel Eigenschappen van sinus, cosinus, tangens en cotangens.

Drie hoeken zonder rekenmachine

Voor de hoeken 30°, 45° en 60° kunnen we sinus en cosinus ook zonder rekenmachine bepalen. We hebben genoeg aan een gelijkzijdige driehoek en een vierkant.

Links zien we een gelijkzijdige driehoek met zijde 2. Al zijn hoeken zijn 60°. De gestippelde hoogtelijn verdeelt hem in twee congruente rechthoekige driehoeken. De rode heeft schuine zijde 2, onderste rechthoekszijde 1, omdat dat de helft van de zijde is, en hoeken van 60° onder en 30° boven, omdat de hoogtelijn de bovenste hoek middendoor deelt. De lengte van de hoogtelijn berekenen we met de stelling van Pythagoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Nu moeten we alleen nog invullen in de definities. Tegenover de hoek van 30° ligt de rechthoekszijde 1, dus

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Bij de hoek van 60° is het andersom, tegenover die hoek ligt de hoogtelijn $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Rechts staat een vierkant met zijde 1, verdeeld door een diagonaal. De diagonaal deelt de rechte hoek middendoor, dus de blauwe driehoek heeft een hoek van 45°, beide rechthoekszijden met lengte 1 en schuine zijde $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus en cosinus zijn gelijk:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Alles bij elkaar:

Opvallend is dat de sinus van 30° de cosinus van 60° is en andersom. Dat is geen toeval: de overstaande rechthoekszijde van de ene scherpe hoek is de aanliggende rechthoekszijde van de andere.

Een vector ontbinden in componenten

Joep trekt zijn zusje op een slee. Hij houdt het touw in zijn hand, dus het loopt niet horizontaal, maar schuin omhoog en maakt een hoek van 30° met de grond. Joep trekt er met een kracht van 100 N aan. Maar de slee rijdt over de grond, niet schuin de lucht in. Hoeveel van die kracht gaat echt naar voren?

De schuine kracht $\overrightarrow{F}$ vervangen we door twee krachten, een horizontale en een verticale. Die noemen we componenten en ze worden geschreven als ${\overrightarrow{F}}_x$ en ${\overrightarrow{F}}_y$, naar de assen x en y. We kiezen ze zo dat hun som precies gelijk is aan de oorspronkelijke kracht:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

In de afbeelding zie je de groene kracht $\overrightarrow{F}$ en haar componenten, de rode horizontale en de blauwe verticale. Met stippellijnen is de figuur aangevuld tot een rechthoek. De rechter gestippelde zijde is de blauwe component, verschoven naar het einde van de rode, dus de rode en de blauwe pijl achter elkaar geven echt de groene. Het is de parallellogramregel omgekeerd: daar maakten we van twee krachten één, hier van één twee. Het parallellogram is in dit geval een rechthoek, omdat de componenten loodrecht op elkaar staan.

De rode component, de rechter gestippelde zijde en de groene kracht vormen een rechthoekige driehoek. De schuine zijde is de kracht $\overrightarrow{F}$ met grootte F. De horizontale component is de aanliggende rechthoekszijde van hoek α en de verticale component is even lang als de overstaande rechthoekszijde. Uit de definities van sinus en cosinus volgt

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Beide vergelijkingen vermenigvuldigen we met de grootte van de kracht F en we krijgen de formules voor de groottes van de componenten:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

We vullen Joeps waarden in. De horizontale component is

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

en de verticale

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Naar voren trekt hij de slee dus met maar ongeveer 86,6 N van de honderd. De overgebleven verticale component van 50 N tilt de slee een beetje op, zodat hij minder op de sneeuw drukt.

Merk op dat 86,6 N + 50 N meer is dan 100 N. Dat is geen fout, componenten zijn vectoren en worden niet opgeteld als getallen. Alleen pijlen kun je optellen, achter elkaar, en die geven weer de oorspronkelijke 100 N.

En wat als Joep het touw hoger houdt, onder een hoek van 60°? Dan is

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Hij zou dan met maar de helft van de kracht naar voren trekken. Hoe steiler het touw loopt, hoe kleiner het deel van de kracht dat naar voren gaat en hoe meer de slee wordt opgetild.

Componenten weer samenstellen

Tot nu toe hebben we de kracht ontbonden. Vaak is het omgekeerde nodig: we kennen twee loodrechte componenten en willen de hele vector. De componenten zijn rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek en de vector is zijn schuine zijde, dus de grootte berekenen we met de stelling van Pythagoras:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

We controleren dit met de slee. We vullen de componenten in:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

We kwadrateren:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

En we nemen de wortel:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

We hebben de oorspronkelijke kracht teruggekregen. De kleine afwijking onder het wortelteken komt doordat we de cosinus hebben afgerond op 0,866.

Nu kunnen we terugkeren naar Pieter en zijn wandeling. Zijn verplaatsing heeft componenten van 3 km naar het oosten en 4 km naar het noorden en de grootte kennen we al, 5 km. Nog te bepalen is de richting. Noem α de hoek die de groene pijl maakt met de rode, dus met de richting naar het oosten. De noordelijke component van 4 km ligt tegenover die hoek en de schuine zijde is 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

De kilometers vallen weg, de sinus is een gewoon getal zonder eenheid. De hoek waarvan de sinus 0,8 is, vindt de rekenmachine met de toets sin⁻¹ (die zit meestal boven de toets sin, en op de website is er de rekenmachine voor de arcsinus):

$$\alpha \approx 53°$$

Pieters verplaatsing is dus 5 km in een richting die vanuit het oosten 53° naar het noorden draait. Grootte en richting, meer heeft een vector niet nodig. Als Pieter via de kortste weg terug wilde, zou hij langs de tegengestelde vector lopen: 5 km in de tegenovergestelde richting, dus naar het zuidwesten, iets meer naar het zuiden dan naar het westen.

De verplaatsing begeleidt ons door de hele kinematica. In het volgende artikel, Beweging en rust, zetten we haar tegenover de afgelegde weg en laten we zien waarom een hardloopster na een hele ronde om het sportveld zich eigenlijk nergens naartoe heeft verplaatst.