Eenparige rechtlijnige beweging
Op de snelweg zet je de cruisecontrol op 108 km/h. De auto rijdt nu de hele tijd even snel, recht vooruit, en de naald van de snelheidsmeter beweegt niet. Hoeveel meter legt hij in één seconde af? We rekenen de snelheid om naar meter per seconde, dus we delen door 3,6:
Elke seconde legt de auto 30 m af. In twee seconden 60 m, in drie 90 m, en zo maar door, met elke seconde dertig meter meer.
Links zien we de weg van boven, de auto rijdt erover omhoog. Onze auto laat elke hele seconde een oranje markering op de weg achter, bijvoorbeeld een druppel verf. Alle markeringen liggen even ver van elkaar, 30 m, omdat de auto in elke seconde dezelfde weg aflegt. Rechts staat de grafiek. Op de horizontale as staat de tijd t in seconden, op de verticale as de afgelegde weg s in meter, die de auto vanaf de eerste markering heeft afgelegd. De verticale as heeft dezelfde schaal als de weg, dus het rode punt in de grafiek zit steeds op dezelfde hoogte als de auto. In de animatie verstrijken zes seconden rijden en met elke seconde komt er een markering op de weg bij en een oranje punt in de grafiek.
Een beweging langs een rechte lijn waarbij de grootte van de snelheid van het voorwerp niet verandert, noemen we een eenparige rechtlijnige beweging. Rechtlijnig is een beweging waarvan de baan een rechte lijn is. Eenparig is een beweging waarbij het voorwerp in even lange tijdsintervallen dezelfde wegen aflegt, wat hetzelfde is als een constante grootte van de momentane snelheid. Een auto die met constante snelheid langs een rechte lijn rijdt, kan niet afslaan, want dan zou hij van de lijn afraken, en kan ook niet omkeren, want daarvoor zou hij tot nul moeten afremmen. De richting van zijn snelheid verandert dus ook niet. In tegenstelling tot de auto op de rotonde blijft hier de hele snelheid als vector constant, dus zowel grootte als richting.
Helemaal precies beweegt niets zich zo: er waait altijd wel een beetje wind of de weg loopt wat omhoog. Maar een auto met cruisecontrol op een rechte snelweg, een roltrap in het metrostation of een trein op een recht stuk spoor komen heel dicht bij een eenparige rechtlijnige beweging.
De formule voor de afgelegde weg
Als je alleen de formule zoekt, bereken je de afgelegde weg s die een voorwerp bij eenparige beweging met snelheid v in de tijd t aflegt als
We leiden haar af uit de formule voor snelheid
In gewone woorden: als de auto elke seconde 30 m aflegt, legt hij in tien seconden tien keer zoveel af. In een minuut, dus in 60 s, legt de auto met cruisecontrol de volgende weg af:
Met eenheden rekenen we als met getallen. De seconden in de noemer vallen weg tegen die waarmee we vermenigvuldigen en er blijven meters over:
Als je bijvoorbeeld meter keer seconde krijgt, weet je dat er ergens een fout is gemaakt.
Pas op, de formule s = v · t geldt alleen voor eenparige beweging. Als de snelheid schommelt, weten we niet welke we in de formule moeten nemen. Dan helpt alleen de gemiddelde snelheid, s = vgem · t. De familie De Vries reed gemiddeld 82 km/h gedurende 2,5 h naar Brno, dus ze legden 82 km/h · 2,5 h = 205 km af, ook al liet hun snelheidsmeter van alles zien, van nul tot honderddertig.
Hoe lang duurt het?
Als we de formule s = v · t door de snelheid v delen, krijgen we de tijd:
Van Praag naar Brno loopt de snelweg D1 en die is ongeveer 205 km lang. Als de auto de hele reis met een constante snelheid van 100 km/h zou rijden, zou de reis zo lang duren:
De snelweg is weliswaar niet zo recht als een liniaal, maar dat maakt voor de formule niet uit. De afgelegde weg wordt langs de baan gemeten, dus s = v · t geldt voor elke eenparige beweging, ook voor een auto die met constante snelheid door bochten rijdt.
Hoeveel is 2,05 h in uren en minuten? Zeker niet twee uur en vijf minuten. Een uur heeft zestig minuten, geen honderd. De twee hele uren laten we staan en de resterende vijf honderdsten uur rekenen we om naar minuten:
De reis zou 2 h en 3 min duren.
Blijft de derde grootheid over, de snelheid. Die berekenen we met de formule
Delen door een derde is hetzelfde als vermenigvuldigen met drie, daarom kwam er 6 · 3 = 18 uit. Wie niet van breuken houdt, rekent alles om naar meter en seconden. Twintig minuten is 20 · 60 s = 1200 s:
Beide wegen geven hetzelfde, want 5 m/s keer 3,6 is 18 km/h.
De grafiek van de afgelegde weg is een rechte lijn
We zetten de afgelegde wegen van de auto met cruisecontrol uit de inleiding in een tabel:
| t | s |
|---|---|
| 0 s | 0 m |
| 1 s | 30 m |
| 2 s | 60 m |
| 3 s | 90 m |
| 4 s | 120 m |
| 5 s | 150 m |
| 6 s | 180 m |
Elke rij van de tabel is één punt van de grafiek: de tijd meten we af op de horizontale as, de afgelegde weg op de verticale. Zo zijn de oranje punten in de animatie hierboven ontstaan. Ze liggen allemaal op één rechte lijn die in de oorsprong begint. Waarom precies op een rechte lijn?
Van elk punt loopt dezelfde trede naar het volgende: één seconde naar rechts (blauw) en 30 m omhoog (rood). De treden zijn allemaal even breed en even hoog, dus de verbindingslijnen van naburige punten hebben dezelfde helling en sluiten zonder knik op elkaar aan. Alle punten liggen dus op één rechte lijn. Als de auto ergens zou versnellen, zou daar een hogere trede zijn en zou de lijn omhoog knikken. Hetzelfde geldt ook tussen de hele seconden. In een halve seconde legt de auto 15 m af, in een tiende seconde 3 m, en al die punten liggen op dezelfde rechte lijn. Daarom tekenen we de grafiek als een doorgetrokken lijn, niet als zeven stippen.
Hoe steil de lijn is, zien we aan hoeveel hij stijgt als we een stuk naar rechts gaan. De breedte van de trede, dus de verandering van de tijd, schrijven we als Δt en de hoogte van de trede, de verandering van de afgelegde weg, als Δs. Hun quotiënt geeft de steilheid:
Er kwam een getal uit dat we al kennen: de snelheid van de auto. De steilheid van de grafiek van de afgelegde weg is de snelheid. Het is precies de formule
Een wiskundige zou zeggen dat de afgelegde weg een lineaire functie van de tijd is. Lineaire functies schrijf je met het functievoorschrift y = a · x + b en hun grafiek is altijd een rechte lijn. Het getal a zegt hoeveel y toeneemt als x met één toeneemt, en heet de richtingscoëfficiënt. Het getal b bepaalt op welke hoogte de lijn de verticale as snijdt. Onze formule s = v · t is een lineaire functie waarin in plaats van x de tijd staat, in plaats van y de afgelegde weg, de richtingscoëfficiënt de snelheid is en b = 0, dus de lijn gaat door de oorsprong. Zo'n verband is een recht evenredig verband: in een twee keer zo lange tijd legt de auto een twee keer zo lange weg af, in een drie keer zo lange tijd een drie keer zo lange.
Een snellere auto, een steilere grafiek
Op een brug haalt onze auto met cruisecontrol een vrachtwagen in die 72 km/h rijdt, dus
Zowel de tijd als de afgelegde weg van beide meten we vanaf de brug en beide grafieken tekenen we in één afbeelding.
De rode lijn van de auto is steiler dan de blauwe lijn van de vrachtwagen, omdat de auto elke seconde meer afstand aflegt. Hoe steiler de grafiek van de afgelegde weg, hoe sneller de beweging. Als de vrachtwagen stilstond, zou zijn grafiek horizontaal zijn, met steilheid nul.
Uit de grafiek kun je ook waarden aflezen, daarom hebben we er een raster in getekend. Waar is de vrachtwagen na 3 s? Op de horizontale as zoeken we de drie en langs de gestippelde lijn gaan we omhoog tot we de blauwe lijn raken. Vandaar gaan we naar links naar de verticale as en lezen 60 m af. Omgekeerd vragen we: wanneer is de auto 120 m voorbij de brug? Op de verticale as zoeken we 120, we gaan naar rechts naar de rode lijn en dan omlaag naar de tijdas: na 4 s. Beide kunnen we controleren met een berekening:
De verticale afstand tussen de lijnen laat zien hoeveel de auto voor de vrachtwagen ligt. Na zes seconden is dat 180 m − 120 m = 60 m. De voorsprong neemt elke seconde met 10 m toe, en dat is precies het verschil tussen beide snelheden, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.
Als de auto niet bij nul begint
Tot nu toe maten we de afgelegde weg vanaf de plek waar we de stopwatch startten. Maar de stopwatch zetten we vaak pas aan als het voorwerp al een stuk heeft afgelegd. Langs de snelweg D1 staan kilometerpalen, paaltjes met getallen die aangeven hoeveel kilometer het vanaf het begin van de snelweg in Praag is. Bij een tankstation passeert de auto kilometer 21 en vanaf dat moment rijdt hij met een constante snelheid van 90 km/h. Bij welke kilometer is hij over twee uur?
In twee uur legt hij 90 km/h · 2 h = 180 km af. Maar op de kilometerpaal staat dan niet 180, want de auto is niet bij nul vertrokken. We rekenen alsof hij op het moment dat we de stopwatch startten al 21 km achter zich had, omdat de kilometerpaal vanaf het begin van de snelweg meet. Die afstand heet de beginafstand en wordt geschreven als s0. De afgelegde weg op tijdstip t krijgen we dan door bij de beginafstand op te tellen wat de auto sinds het starten van de stopwatch heeft afgelegd:
We vullen in:
Over twee uur is de auto bij kilometer 201. Als de beginafstand nul is, krijgen we de oorspronkelijke formule s = v · t terug.
De grafiek begint niet meer in de oorsprong, maar op de verticale as op hoogte s0 = 21 km, die het blauwe lijnstuk laat zien. De steilheid is nog steeds de snelheid, elk uur stijgt de grafiek 90 km. De grijze gestippelde lijn is de grafiek van een auto die even snel rijdt, maar aan het begin van de snelweg is vertrokken. Beide lijnen lopen evenwijdig, omdat ze dezelfde steilheid hebben. De rode ligt gewoon s0 hoger. In de taal van de lineaire functie y = a · x + b is a de snelheid en b de beginafstand.
Laten we het omdraaien: wanneer komt de auto bij kilometer 156? Het is verleidelijk 156 door negentig te delen, maar dan zouden we weten hoe lang hij erover zou doen vanaf het begin van de snelweg. We gaan uit van de formule en maken er de tijd van:
We vullen in:
Bij kilometer 156 komt de auto na anderhalf uur, dus na 1 h en 30 min.
Het getal op de kilometerpaal zegt strikt genomen niet welke weg de auto heeft afgelegd, maar waar hij op de snelweg is. Zolang de auto alleen vooruit rijdt, is dat hetzelfde als de weg die hij vanaf het begin van de snelweg zou hebben afgelegd. Waarom dat uitmaakt, zien we aan het einde van het artikel.
De snelheidsgrafiek
In een grafiek kunnen we ook de snelheid tekenen. De auto met cruisecontrol rijdt op elk tijdstip 30 m/s en daarom is de grafiek van zijn snelheid een horizontale lijn op hoogte 30.
De afgelegde weg vinden we op geen enkele as van deze grafiek. Hij zit verstopt in de oppervlakte onder de grafiek. Onder de lijn is in de eerste tien seconden een rode rechthoek ontstaan, 10 s breed en 30 m/s hoog. De oppervlakte ervan, breedte keer hoogte, is
Dat is precies de afgelegde weg s = v · t die de auto in tien seconden aflegt. De oppervlakte komt hier niet uit in vierkante meter, maar in meter, omdat de zijden van de rechthoek geen lengtes zijn, maar snelheid en tijd. De witte lijnen verdelen de rechthoek in tien stroken, een voor elke seconde. Elk heeft een oppervlakte van 30 m/s · 1 s = 30 m, net zoals er dertig meter zit tussen de naburige markeringen op de weg in de animatie aan het begin.
Waarom zouden we ons met oppervlakte bezighouden als je ook gewoon kunt vermenigvuldigen? Omdat de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek ook de afgelegde weg betekent als de grafiek niet horizontaal is. Als we bij versnelde beweging komen, zal de snelheidsgrafiek stijgen en zit eronder in plaats van een rechthoek een driehoek of een trapezium. De afgelegde weg berekenen we dan als hun oppervlakte, en daarvoor volstaan de formules voor de oppervlakte van een driehoek en een rechthoek, een trapezium kun je in die twee opdelen.
Staat hij stil of rijdt hij terug?
Sem vertrekt 's ochtends op de fiets van huis over een rechte weg. Twee uur fietst hij met een constante snelheid van 20 km/h, dan luncht hij een uur in een café en ten slotte fietst hij met dezelfde snelheid terug naar huis.
Op de verticale as staat deze keer niet de afgelegde weg, maar de plaats. Langs de weg leggen we de x-as en de oorsprong leggen we bij Sem thuis. De plaats x zegt dan hoe ver van huis langs de weg Sem is, zoals een kilometerpaal aangeeft waar op de weg een auto is. De grijze gestippelde lijn is de afstand die Sem heeft afgelegd en die de fietscomputer op het stuur aangeeft. Tot het einde van de lunch valt hij samen met de plaats. Het rode stuk kennen we al. In twee uur legt Sem 40 km af en de grafiek stijgt met een steilheid van 20 km/h.
Het blauwe stuk is horizontaal. De tijd loopt, maar Sem blijft 40 km van huis, dus hij staat stil. Een horizontale grafiek betekent rust, de steilheid is nul en de snelheid ook.
Het groene stuk daalt. Sem gaat terug en zijn plaats x neemt elk uur met 20 km af. Een dalende grafiek betekent beweging terug. Hoe snel Sem rijdt, zien we aan hoeveel de grafiek per uur daalt, hier 20 km, dus hij rijdt 20 km/h. De snelheid heeft nu de tegengestelde richting dan 's ochtends. Daarom geven natuurkundigen haar soms een minteken, dat zegt dat de plaats x met de tijd afneemt.
Nu zie je waarom we bij de kilometerpaal onderscheid maakten tussen waar het voorwerp is en welke weg het heeft afgelegd. De fietscomputer meet de afgelegde weg, en die wordt met de tijd nooit kleiner. De gestippelde lijn stijgt daarom na de lunch verder en eindigt 's avonds op 80 km, terwijl de plaatsgrafiek op nul eindigde, omdat Sem weer thuis is. Bij beweging in één richting verschillen plaats en afgelegde weg alleen door de beginwaarde, daarom volstond bij de kilometerpaal de formule voor de afgelegde weg s = s0 + v · t. Als het voorwerp omkeert, moeten we met de plaats rekenen.
Sems hele uitstapje is niet eenparig, het bestaat uit drie eenparige stukken. De gemiddelde snelheid over de hele dag is de totale afgelegde weg gedeeld door de totale tijd, inclusief de lunch. De totale afgelegde weg is niet de eindplaats, die is nul. Het is de 80 km waar de gestippelde grafiek eindigt, oftewel 40 km + 0 km + 40 km:
Een verticaal stuk in de grafiek komt er nooit. Dat zou betekenen dat Sem in nul tijd een stuk verderop terechtkwam. En een grafiek die naar links zou buigen, zou betekenen dat voor Sem de tijd achteruit loopt. Geen van beide is tot nu toe iemand gelukt.
Rekenmachine
De eerste rekenmachine berekent de afgelegde weg uit snelheid en tijd, de tweede de tijd uit afgelegde weg en snelheid. De vooraf ingevulde waarden komen uit de voorbeelden in het artikel: tien seconden met cruisecontrol op 108 km/h en de reis van Praag naar Brno met een constante snelheid van honderd.
Met de formule s = s0 + v · t en de grafiek van de afgelegde weg kun je ook contextopgaven oplossen waarin de ene auto de andere inhaalt of twee treinen elkaar tegemoet rijden. Elk voertuig heeft in de grafiek zijn eigen lijn en de plaats waar ze elkaar ontmoeten is het snijpunt van de lijnen. Op zulke opgaven komen we nog terug.
Voordat we eraan beginnen, bekijken we in het artikel Zo los je opgaven over kinematica en dynamica op de aanpak die bij elke natuurkundeopgave de moeite waard is: de gegevens noteren, eenheden omrekenen, een schets maken en de algemene oplossing.
