Kracht

Je schopt tegen een bal op het gras en de bal vliegt weg. De keeper vangt hem en de bal blijft liggen. Je knijpt een rubberen balletje in je hand en het wordt ingedrukt. In elk van deze gevallen oefent iets een kracht uit op een voorwerp. Kracht is wat de beweging van een voorwerp of zijn vorm verandert: het zet het in beweging, stopt het, versnelt het, vertraagt het, laat het een andere kant op gaan, of drukt het in, rekt het uit of buigt het.

Een kracht is altijd de werking van het ene voorwerp op het andere. Een voet oefent een kracht uit op een bal, een hand op een balletje en de stoel op je rug als de auto hard optrekt. Daarvoor hoeven de voorwerpen elkaar helemaal niet te raken. Een magneet trekt een spijker van een afstand aan en de aarde trekt alles om zich heen aan, ook een bal die door de lucht vliegt. De kracht waarmee de aarde voorwerpen aantrekt, heet zwaartekracht en wordt geschreven als F_z. Daar gaan we later uitgebreider op in, nu laten we liever zien hoe groot een kracht eigenlijk is.

Hoeveel is één newton

Kracht wordt geschreven als F, van het Engelse force, en haar eenheid is de newton N, genoemd naar Isaac Newton. Uitgeschreven in basiseenheden is dat

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Waarom precies kilogram keer meter per seconde in het kwadraat, lees je bij de wetten van Newton.

Hoe stel je het je voor? Leg een reep chocola van honderd gram op je hand. Hij drukt met een kracht van ongeveer 1 N op je hand, preciezer gezegd trekt de aarde hem aan met een kracht van 0,98 N. Een liter melk, dat is een kilogram, drukt met een kracht van ongeveer 10 N op je hand, een tas met vijf kilogram aardappelen 50 N en een volwassene met een massa van 70 kg drukt met een kracht van ongeveer 700 N op de vloer. De newton is een kleine eenheid, en daarom wordt vaak de kilonewton gebruikt, 1 kN = 1000 N.

Krachtmeter

Kracht meten we met een krachtmeter. Binnenin zit een veer met een haakje aan het uiteinde. Hoe harder we aan het haakje trekken, hoe meer de veer uitrekt. Een twee keer zo grote kracht rekt hem twee keer zoveel uit, dus de schaal in newton hoeven we alleen naast de veer te tekenen.

De eerste krachtmeter is leeg, aan de tweede hangt een reep chocola, aan de derde twee. De rode pijl is de kracht waarmee de chocola aan het haakje trekt. Twee repen trekken met een dubbele kracht en de veer rekt twee keer zoveel uit, van nul tot twee. Op hetzelfde principe werken ook bagageweegschalen, alleen hebben die een schaal die is omgerekend naar kilogram.

Kracht als vector

“Ik duw met een kracht van 50 N” zeggen is niet genoeg. Belangrijk is ook waarheen: een karretje dat je naar voren duwt, rijdt een andere kant op dan een dat je naar achteren trekt. Kracht is een vector, ze heeft grootte en richting en wordt geschreven met een pijl, $\overrightarrow{F}$. De kale F zonder pijl is haar grootte.

Bij kracht zijn grootte en richting echter ook niet genoeg. Leg een boek op tafel en duw met je vinger in het midden van de rug, zodat de kracht door het midden van het boek gaat. Het boek schuift recht vooruit. Duw dan even hard en in dezelfde richting, maar bij de hoek. Het boek schuift en draait bovendien een beetje. Het maakt namelijk ook uit waar de kracht op het voorwerp werkt. Die plek noemen we het aangrijpingspunt. Een kracht heeft dus drie eigenschappen:

• het aangrijpingspunt, het punt waarin de kracht op het voorwerp werkt,
• de richting, waarheen de kracht wijst,
• de grootte, hoeveel newton ze is.

De pijl van een kracht trekken we daarom altijd vanuit haar aangrijpingspunt. Hij wijst in de richting van de kracht en zijn lengte komt op schaal overeen met de grootte.

Beide boeken zien we van boven, de rug zit onderaan. De rode pijlen zijn even lang en wijzen dezelfde kant op, ze verschillen alleen in aangrijpingspunt. We tekenen ze in de beginpositie van de boeken, die de grijze gestippelde omtrek laat zien, omdat de kracht alleen werkt op het moment van de duw. Daarna glijden de boeken alleen nog over de tafel, tot de wrijving ze stopt. Het linkerboek, waarop de kracht door het midden gaat, schuift recht vooruit, het rechter schuift en draait. De pijl van een gewone vector kunnen we op papier naar believen verschuiven, maar door de pijl van een kracht te verschuiven kunnen we veranderen wat de kracht met het voorwerp doet. Als het voorwerp echter niet draait en we het gewoon als puntmassa kunnen beschouwen, werken alle krachten in één punt en hoeven we ons niet om het aangrijpingspunt te bekommeren. Zo doen we het ook in de volgende voorbeelden.

Krachten samenstellen

Een bootje dobbert lui vlak bij de steiger. Ivo trekt het met een touw naar de steiger in het noorden met een kracht van 40 N, Mark vanaf de oever met een tweede touw naar het oosten met een kracht van 30 N. Beide touwen zijn aan de boeg vastgemaakt. Waarheen trekken ze het samen en hoe hard?

Krachten die in één punt op een voorwerp werken, kunnen we vervangen door één enkele kracht met hetzelfde effect. Die heet de resulterende kracht en het is de vectorsom van alle krachten:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

De pijlen zetten we uit vanaf de boeg en we vullen ze aan tot een parallellogram. De krachten staan loodrecht op elkaar, dus dat parallellogram is een rechthoek. De resulterende kracht is zijn groene diagonaal. Met de rode pijl en de bovenste zijde van de rechthoek, die even lang is als de blauwe pijl, vormt ze een rechthoekige driehoek, en zo berekenen we haar grootte met de stelling van Pythagoras:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

We vullen in:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

We kwadrateren en tellen op:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

En we nemen de wortel:

$$F=50\mathrm{N}$$

Samen trekken ze het bootje met een kracht van 50 N, niet 70 N. De groottes zou je gewoon willen optellen, maar elk trekt een andere kant op. De resulterende kracht komt groter uit dan elk van de krachten afzonderlijk, maar kleiner dan hun som.

Nog te bepalen is de richting. Noem α de hoek tussen de resulterende kracht en het touw van Ivo. Tegenover die hoek ligt de zijde van de rechthoek die even lang is als de kracht van Mark, dus

$$\sin \alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

De rekenmachine geeft met de toets sin⁻¹ de hoek α ≈ 37°. De resulterende kracht wijst naar het noorden, 37° naar het oosten gedraaid.

Als Ivo en Mark in dezelfde richting zouden trekken, zouden hun groottes opgeteld 70 N geven. Als ze precies tegen elkaar in zouden trekken, zouden ze worden afgetrokken en zou de resulterende kracht van 10 N naar Ivo wijzen. Bij elke andere hoek tussen de touwen ligt de resulterende kracht ergens tussen 10 N en 70 N, en hoe kleiner de hoek tussen de touwen, hoe groter ze is.

Krachtenevenwicht

Wat als de resulterende kracht nul is? Dan heffen de krachten elkaar op en gedraagt het voorwerp zich alsof er helemaal geen kracht op werkt. We zeggen dat de krachten in evenwicht zijn.

Een lamp hangt aan een snoer aan het plafond en is in rust. De aarde trekt hem omlaag met de zwaartekracht en het snoer trekt hem omhoog met een even grote kracht, dus de resulterende kracht is nul. Evenwicht betekent overigens niet dat er niets op de lamp werkt. Er werken twee krachten op, alleen heffen hun effecten elkaar op. Hoe het krachtenevenwicht zich uit in de beweging van een voorwerp, beschrijft de eerste wet van Newton.

Een lamp aan twee kabels

Boven de straat is tussen twee huizen een kabel gespannen en in het midden ervan hangt een lamp. De zwaartekracht op de lamp is 50 N. De kabel hangt onder de lamp door en elke helft maakt met de horizontale richting een hoek α = 30°. Met welke kracht is de kabel gespannen?

Op de lamp werken drie krachten: de blauwe zwaartekracht $\overrightarrow{F_z}$ omlaag en twee rode krachten van de kabel ${\overrightarrow{F}}_1$ en ${\overrightarrow{F}}_2$, elk langs zijn helft van de kabel. De lamp hangt in rust, en daarom zijn de krachten in evenwicht. Beide helften hellen even sterk, dus trekken ze met een even grote kracht. Die noemen we F. De schuine krachten wijzen echter niet tegen de zwaartekracht in, dus we kunnen ze niet rechtstreeks met haar vergelijken. Daarom ontbinden we elk ervan in een horizontale en een verticale component.

De horizontale componenten van beide krachten zijn even groot en wijzen tegen elkaar in, en heffen elkaar dus op. De verticale componenten wijzen allebei omhoog en moeten samen de hele zwaartekracht van de lamp compenseren, dus op elk komt de helft. Uit de rechthoekige driehoek in de afbeelding is de verticale component F_y = F · sin α, en daarom

$$F\cdot \sin \alpha =\frac{F_z}{2}.$$

Beide kanten delen we door de sinus:

$$F=\frac{F_z}{2\cdot \sin \alpha }$$

We vullen in, sin 30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Laten we controleren dat de krachten de lamp echt in evenwicht houden. De verticale component van elk ervan is F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, twee samen geven 50 N, precies de grootte van de zwaartekracht op de lamp. De horizontale component is F_x = F · cos α ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N en die heft zich op tegen de even grote component van de andere helft van de kabel.

Elke helft van de kabel trekt met een kracht van 50 N, dus even hard als wanneer de lamp aan één verticale kabel zou hangen. Twee helften van de kabel, en toch hebben ze de last niet gedeeld. Een valstrik. Elke kabel trekt namelijk vooral opzij, tegen de helft van de kabel van het andere huis in, en omhoog wijst alleen zijn verticale component van 25 N.

Waarom een kabel niet recht te spannen is

Een doorhangende kabel ziet er lelijk uit, daarom spant de monteur hem steviger. De hoek α wordt kleiner. Wat gebeurt er met de kracht in de kabel? In de formule staat de sinus in de noemer en de sinus van een kleine hoek is een klein getal. Voor 10° is sin 10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

De kabel is nu met bijna drie keer zo grote kracht gespannen, ook al is de lamp even zwaar gebleven.

De afbeelding toont dezelfde lamp met grote en met kleine doorhang. De blauwe zwaartekracht is in beide gevallen even lang, de rode krachten van de kabel zijn bij kleine doorhang veel langer. De overige waarden berekent de rekenmachine:

Bij een doorhang van één graad trekt elke helft met een kracht van meer dan 1400 N, alsof er twee volwassenen aan hingen. En dat allemaal vanwege een lamp met een massa van ongeveer vijf kilogram. Vrijwel die hele extra kracht wijst horizontaal en trekt de huizen naar elkaar toe.

Helemaal recht spant niemand de kabel. Bij een hoek α = 0° zouden beide krachten horizontaal wijzen, hun verticale componenten zouden nul zijn en zou niets de lamp omhoog houden. Hoe hard de kabel ook zou trekken, de lamp zou hem altijd minstens een beetje laten doorhangen. Daarom hangt ook een waslijn of een gordijnkabel door, en wie ze zo strak zou willen spannen als een snaar, trekt ze eerder kapot.

De lamp hangt in rust, omdat de krachten die erop werken elkaar opheffen. Een voorwerp met een resulterende kracht nul hoeft echter niet alleen stil te staan. Waarom een puck over het ijs steeds maar doorglijdt en waarom je in een remmende bus naar voren wordt geslingerd, legt het volgende artikel uit, Eerste wet van Newton.