Рівномірний прямолінійний рух

На трасі вмикаєш круїз-контроль на 108 км/год. Авто тепер увесь час їде однаково швидко, прямо перед собою, і стрілка спідометра навіть не ворухнеться. Скільки метрів воно проїде за одну секунду? Швидкість переведемо в метри за секунду, тобто поділимо на число 3,6:

$$108\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{108}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=30\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Щосекунди авто проїжджає 30 м. За дві секунди 60 м, за три 90 м, і так далі й далі, з кожною секундою на тридцять метрів більше.

Ліворуч бачимо дорогу зверху, авто їде по ній угору. Наше авто після кожної цілої секунди лишає позаду на дорозі помаранчеву позначку, наприклад краплю фарби. Усі позначки розташовані на однаковій відстані одна від одної, по 30 м, бо авто за кожну секунду проїжджає однаковий шлях. Праворуч графік. На горизонтальній осі час t у секундах, на вертикальній шлях s у метрах, який авто проїхало від першої позначки. Вертикальна вісь має такий самий масштаб, як дорога, тож червона точка на графіку весь час на тій самій висоті, що й авто. В анімації спливає шість секунд їзди, і з кожною секундою додається позначка на дорозі та помаранчева точка на графіку.

Рух по прямій, за якого модуль швидкості тіла не змінюється, називаємо рівномірним прямолінійним рухом. Прямолінійний — це рух, траєкторією якого є пряма. Рівномірний — такий, за якого тіло за однакові проміжки часу проходить однакові шляхи, а це те саме, що сталий модуль миттєвої швидкості. Авто, що їде зі сталою швидкістю по прямій, не може повернути, бо зійшло б із прямої, і не може розвернутися назад, бо для цього мусило б сповільнитися до нуля. Отже, не змінюється й напрямок його швидкості. На відміну від авто на кільцевій розв'язці, стала лишається вся швидкість як вектор, тобто і модуль, і напрямок.

Цілком точно так не рухається ніщо: завжди трохи війне вітер або дорога підніметься вгору. Але авто з круїз-контролем на рівній трасі, ескалатор у метро чи поїзд на рівній колії дуже наближаються до рівномірного прямолінійного руху.

Формула шляху

Якщо шукаєш лише формулу, шлях s, який тіло проходить рівномірним рухом зі швидкістю v за час t, обчислиш як

$$s=v\cdot t$$

Виведемо її з формули швидкості $v=\frac{s}{t}$, яку вже знаємо. Досить обидві частини помножити на час t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Простими словами: якщо авто щосекунди проїжджає 30 м, за десять секунд проїде вдесятеро більше. За хвилину, тобто за 60 с, авто з круїз-контролем проїде

$$s=30\mathrm{м}/\mathrm{с}\cdot 60\mathrm{с}=1800\mathrm{м}=1,8\mathrm{к}\mathrm{м}.$$

З одиницями рахуємо як із числами. Секунди в знаменнику скорочуються з тими, на які множимо, і лишаються метри:

$$\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\cdot \mathrm{с}=\mathrm{м}$$

Якби в тебе вийшли, скажімо, метри, помножені на секунди, знатимеш, що десь сталася помилка.

Зверни увагу, що формула s = v · t діє лише для рівномірного руху. Коли швидкість коливається, ми не знаємо, яку з них підставити у формулу. Допоможе нам лише середня швидкість, s = v_сер · t. Коваленки їхали до Умані із середньою швидкістю 82 км/год протягом 2,5 год, тож проїхали 82 км/год · 2,5 год = 205 км, хоч їхній спідометр показував усе можливе від нуля до ста тридцяти.

Скільки це триватиме?

Коли формулу s = v · t поділимо на швидкість v, отримаємо час:

$$t=\frac{s}{v}$$

З Києва до Умані веде траса М-05, і вона сягає приблизно 205 км. Якби авто їхало весь шлях зі сталою швидкістю 100 км/год, дорога тривала б

$$t=\frac{205\mathrm{к}\mathrm{м}}{100\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=2,05\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}.$$

Траса, щоправда, не пряма, як лінійка, але формулі це не заважає. Шлях вимірюється вздовж траєкторії, тож s = v · t діє для кожного рівномірного руху, і для авто, що проїжджає повороти зі сталою швидкістю.

Скільки годин і хвилин становить 2,05 год? Звісно, не дві години п'ять хвилин. Година має шістдесят хвилин, а не сто. Дві цілі години лишимо, а решту, п'ять сотих години, переведемо в хвилини:

$$0,05\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=0,05\cdot 60\mathrm{х}\mathrm{в}=3\mathrm{х}\mathrm{в}$$

Дорога тривала б 2 год і 3 хв.

Лишається третя величина, швидкість. Її обчислимо за формулою $v=\frac{s}{t}$. Олеся їде на велосипеді по рівній велодоріжці вздовж Дніпра увесь час однаковим темпом і 6 км проїжджає за 20 хв. Двадцять хвилин — це третина години:

$$v=\frac{6\mathrm{к}\mathrm{м}}{\frac{1}{3}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Ділення на третину — те саме, що множення на три, тому й вийшло 6 · 3 = 18. Хто не любить дробів, переведе все на метри й секунди. Двадцять хвилин — це 20 · 60 с = 1 200 с:

$$v=\frac{6000\mathrm{м}}{1200\mathrm{с}}=5\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Обидва способи дають те саме, бо 5 м/с помножити на 3,6 — це 18 км/год.

Графік шляху — пряма

Запишемо шляхи авто з круїз-контролем зі вступу в таблицю:

Кожен рядок таблиці — одна точка графіка: час відкладаємо на горизонтальній осі, шлях на вертикальній. Саме так виникли помаранчеві точки в анімації вгорі. Усі лежать на одній прямій, що виходить із початку координат. Чому саме на прямій?

Від кожної точки до наступної веде однакова сходинка: на одну секунду праворуч (синім) і на 30 м угору (червоним). Сходинки всі однаково широкі й однаково високі, тож лінії, що з'єднують сусідні точки, мають однаковий нахил і переходять одна в одну без зламу. Усі точки, отже, лежать на одній рівній лінії. Якби авто десь розігналося, там була б вища сходинка, і лінія зламалася б угору. Те саме стосується й проміжків між цілими секундами. За півсекунди авто проїжджає 15 м, за десяту частку секунди 3 м, і всі ці точки лежать на тій самій прямій. Тому графік малюємо суцільною лінією, а не лише сімома крапками.

Наскільки крута пряма, дізнаємося за тим, на скільки вона підіймається, коли зсунемося трохи праворуч. Ширину сходинки, тобто зміну часу, запишемо Δt, а висоту сходинки, зміну шляху, Δs. Їхня частка дає крутизну:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{м}}{1\mathrm{с}}=30\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Вийшло число, яке вже знаємо: швидкість авто. Крутизна графіка шляху — це швидкість. Це саме формула $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ для миттєвої швидкості, тільки в рівномірному русі нам не потрібно стежити, щоб ділянка була короткою. Візьмемо більший шматок графіка, і крутизна вийде така сама. Між першою й п'ятою секундою минуло 4 с, і за них авто проїхало 150 м − 30 м = 120 м:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{м}}{4\mathrm{с}}=30\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Математик сказав би, що шлях є лінійною функцією часу. Лінійні функції записуються формулою y = a · x + b, і їхній графік — завжди пряма. Число a показує, на скільки зростає y, коли x зростає на одиницю, і називається кутовим коефіцієнтом. Число b визначає, на якій висоті пряма перетинає вертикальну вісь. Наша формула s = v · t — лінійна функція, в якій замість x час, замість y шлях, кутовий коефіцієнт — швидкість, а b = 0, тому пряма проходить через початок координат. Така залежність — пряма пропорційність: за вдвічі довший час авто проїде вдвічі довший шлях, за втричі довший — утричі.

Швидше авто, крутіший графік

На мосту наше авто з круїз-контролем обганяє вантажівку, що їде 72 км/год, тобто

$$72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{72}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=20\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Час і шлях обох виміряємо від мосту й обидва графіки накреслимо на одному рисунку.

Червона пряма авто крутіша за синю пряму вантажівки, бо авто щосекунди проїжджає більше. Що крутіший графік шляху, то швидший рух. Якби вантажівка стояла, її графік був би горизонтальним, з крутизною нуль.

З графіка можна й зчитувати значення, тому ми накреслили на ньому сітку. Куди доїде вантажівка за 3 с? На горизонтальній осі знайдемо трійку й по пунктирній лінії підіймаємося вгору, доки не натрапимо на синю пряму. Звідти повернемо ліворуч до вертикальної осі й зчитаємо 60 м. Навпаки, запитаймо, коли авто буде на відстані 120 м від мосту. На вертикальній осі знайдемо 120, йдемо праворуч до червоної прямої, а потім униз до осі часу: за 4 с. Обидва результати можемо перевірити обчисленням:

$$20\mathrm{м}/\mathrm{с}\cdot 3\mathrm{с}=60\mathrm{м},\frac{120\mathrm{м}}{30\mathrm{м}/\mathrm{с}}=4\mathrm{с}$$

Вертикальна відстань між прямими показує, наскільки авто попереду вантажівки. Через шість секунд це 180 м − 120 м = 60 м. Перевага щосекунди зростає на 10 м, а це якраз різниця обох швидкостей, 30 м/с − 20 м/с = 10 м/с.

Коли авто починає не з нуля

Досі ми вимірювали шлях від місця, де ввімкнули секундомір. Але секундомір часто вмикаємо, лише коли тіло вже має за собою шмат дороги. Уздовж траси М-05 стоять кілометрові стовпчики, стовпчики з числами, які показують, скільки кілометрів звідси до початку траси в Києві. Авто минає стовпчик 21-го кілометра і від тієї миті їде зі сталою швидкістю 90 км/год. На якому кілометрі воно буде за дві години?

За дві години воно проїде 90 км/год · 2 год = 180 км. Але на стовпчику не буде 180, бо авто виїхало не з нуля. Рахуємо так, ніби вже в мить, коли ми ввімкнули секундомір, воно мало за собою 21 км, оскільки кілометри на стовпчиках відлічують від початку траси. Цей шлях називається початковим шляхом і позначається s₀. Шлях у момент часу t отримаємо, додавши до початкового шляху те, що авто проїхало від увімкнення секундоміра:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Підставимо:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{к}\mathrm{м}+90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\cdot 2\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ & =21\mathrm{к}\mathrm{м}+180\mathrm{к}\mathrm{м}=201\mathrm{к}\mathrm{м}\end{array}$$

За дві години авто буде на 201-му кілометрі. Коли початковий шлях нульовий, отримуємо первісну формулу s = v · t.

Графік уже починається не на початку координат, а на вертикальній осі на висоті s₀ = 21 км, яку показує синій відрізок. Крутизна й далі є швидкістю, за кожну годину графік підіймається на 90 км. Сіра пунктирна пряма — графік авто, що їде так само швидко, але виїхало з початку траси. Обидві прямі паралельні, бо мають однакову крутизну. Червона лише на s₀ вища. Мовою лінійної функції y = a · x + b число a — це швидкість, а b — початковий шлях.

Обернімо запитання: коли авто доїде до 156-го кілометра? Спокуса поділити 156 на дев'яносто, але так ми дізналися б, за скільки воно доїхало б від початку траси. Вийдемо з формули й виразимо з неї час:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Підставимо:

$$t=\frac{156\mathrm{к}\mathrm{м}-21\mathrm{к}\mathrm{м}}{90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=\frac{135\mathrm{к}\mathrm{м}}{90\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=1,5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

До 156-го кілометра авто доїде за півтори години, тобто за 1 год і 30 хв.

Число з кілометрового стовпчика, строго кажучи, показує не те, який шлях авто проїхало, а те, де воно на трасі. Поки авто їде лише вперед, це те саме, що шлях, який воно проїхало б від початку траси. Чому це важливо, побачимо наприкінці статті.

Графік швидкості

На графіку можемо малювати й швидкість. Авто з круїз-контролем їде весь час 30 м/с, який би не був час, і тому графік його швидкості — горизонтальна лінія на висоті 30.

Шляху на жодній осі цього графіка не знайдемо. Він захований у площі під графіком. Під лінією за перші десять секунд утворився червоний прямокутник завширшки 10 с і заввишки 30 м/с. Його площа, ширина помножена на висоту, дорівнює

$$30\mathrm{м}/\mathrm{с}\cdot 10\mathrm{с}=300\mathrm{м}.$$

Це саме шлях s = v · t, який авто проїжджає за десять секунд. Площа тут виходить не в квадратних метрах, а в метрах, бо сторони прямокутника — не довжини, а швидкість і час. Білі лінії ділять прямокутник на десять смужок, по одній на кожну секунду. Кожна має площу 30 м/с · 1 с = 30 м, так само як тридцять метрів між сусідніми позначками на дорозі в анімації на початку.

Навіщо морочитися з площею, коли досить помножити? Бо площа під графіком швидкості означає шлях і тоді, коли графік не горизонтальний. Коли дійдемо до прискореного руху, графік швидкості підніматиметься, а під ним замість прямокутника буде трикутник або трапеція. Шлях тоді обчислимо як їхню площу, і для цього досить формул площі трикутника й прямокутника, трапеція розбивається на них.

Стоїть чи їде назад?

Андрій уранці вирушає на велосипеді з дому по рівній дорозі. Дві години їде зі сталою швидкістю 20 км/год, потім годину обідає в кафе й нарешті з такою самою швидкістю повертається додому.

На вертикальній осі цього разу не шлях, а положення. Уздовж дороги протягнемо вісь x і початок координат поставимо біля Андрія вдома. Положення x тоді показує, як далеко від дому по дорозі Андрій перебуває, так само як кілометровий стовпчик показує, де на дорозі авто. Сіра пунктирна лінія — шлях, який Андрій проїхав і який показує велокомп'ютер на кермі. До кінця обіду вона збігається з положенням. Червону ділянку вже знаємо. За дві години Андрій проїжджає 40 км, і графік підіймається з крутизною 20 км/год.

Синя ділянка горизонтальна. Час іде, а Андрій лишається за 40 км від дому, тобто стоїть. Горизонтальний графік означає спокій, крутизна нульова, і швидкість теж.

Зелена ділянка спадає. Андрій повертається, і його положення x щогодини зменшується на 20 км. Спадний графік означає рух назад. Як швидко Андрій їде, дізнаємося за тим, на скільки графік за годину спадає, тут на 20 км, тож їде він 20 км/год. Швидкість тепер має протилежний напрямок, ніж уранці. Тому фізики іноді приписують їй знак мінус, який говорить, що положення x із часом зменшується.

Тепер видно, чому ми біля кілометрового стовпчика розрізняли, де тіло перебуває і який шлях проїхало. Велокомп'ютер міряє шлях, а той із часом ніколи не зменшується. Пунктирна лінія тому після обіду зростає далі й увечері закінчується на 80 км, тоді як графік положення закінчився на нулі, бо Андрій знову вдома. Під час руху в один бік положення й шлях відрізняються лише на початкове значення, тому біля кілометрового стовпчика вистачало формули шляху s = s₀ + v · t. Коли тіло розвертається, мусимо працювати з положенням.

Уся Андрієва подорож не рівномірна, вона складається з трьох рівномірних шматків. Середня швидкість за весь день — це загальний шлях, поділений на загальний час, з обідом включно. Загальний шлях — не кінцеве положення, воно нульове. Це 80 км, де закінчується пунктирний графік, тобто 40 км + 0 км + 40 км:

$$v_{\mathrm{с}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\frac{80\mathrm{к}\mathrm{м}}{5\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=16\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Вертикальної ділянки на графіку ніколи не буде. Вона означала б, що Андрій за нульовий час перенісся на шматок далі. А графік, що загинався б ліворуч, означав би, що в Андрія час іде навспак. Ні того, ні іншого поки що нікому не вдалося.

Калькулятор

Перший калькулятор обчислює шлях зі швидкості й часу, другий — час із шляху та швидкості. Заздалегідь введені значення взято з прикладів у статті: десять секунд із круїз-контролем на 108 км/год і дорога з Києва до Умані зі сталою швидкістю сто кілометрів за годину.

За допомогою формули s = s₀ + v · t і графіка шляху можна розв'язувати й текстові задачі, в яких одне авто наздоганяє друге або два потяги їдуть назустріч. Кожен транспортний засіб має на графіку свою пряму, а місце, де вони зустрічаються, — це точка перетину прямих. До таких задач ми ще дійдемо.

Перш ніж за них братися, у статті Як розв'язувати задачі з кінематики та динаміки розберемо порядок дій, який стане в пригоді в кожній фізичній задачі: запис умови, переведення одиниць, схематичний рисунок і розв'язок у загальному вигляді.