Tasainen suoraviivainen liike

Moottoritiellä kytket vakionopeussäätimen nopeuteen 108 km/h. Auto ajaa nyt koko ajan yhtä nopeasti, suoraan eteenpäin, eikä nopeusmittarin neula liikahda. Montako metriä se kulkee yhdessä sekunnissa? Nopeus muunnetaan metreiksi sekunnissa, eli jaetaan luvulla 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Joka sekunti auto kulkee 30 m. Kahdessa sekunnissa 60 m, kolmessa 90 m, ja niin edelleen, jokaisen sekunnin myötä kolmekymmentä metriä lisää.

Vasemmalla on tie ylhäältä, auto ajaa sitä pitkin ylöspäin. Auto jättää tielle joka täyden sekunnin jälkeen oranssin merkin, vaikka maalitipan. Kaikki merkit ovat yhtä kaukana toisistaan, 30 m, koska auto kulkee joka sekunti saman matkan. Oikealla on kuvaaja. Vaaka-akselilla on aika t sekunteina ja pystyakselilla matka s metreinä, jonka auto on kulkenut ensimmäisestä merkistä. Pystyakselilla on sama mittakaava kuin tiellä, joten kuvaajan punainen piste on koko ajan samalla korkeudella kuin auto. Animaatiossa kuluu kuusi sekuntia ajoa, ja joka sekunti tielle ja kuvaajaan tulee uusi merkki ja oranssi piste.

Liikettä suoraa pitkin, jossa kappaleen nopeuden suuruus ei muutu, sanotaan tasaiseksi suoraviivaiseksi liikkeeksi. Suoraviivainen on liike, jonka rata on suora. Tasainen on liike, jossa kappale kulkee yhtä pitkinä aikoina yhtä pitkät matkat, mikä on sama asia kuin hetkellisen nopeuden vakio suuruus. Auto, joka ajaa vakionopeudella suoraa pitkin, ei voi kääntyä, koska se ajaisi pois suoralta, eikä se voi myöskään kääntyä ympäri, koska sen täytyisi sitä varten hidastaa nollaan. Myös nopeuden suunta pysyy siis samana. Toisin kuin liikenneympyrässä ajavalla autolla, vakiona pysyy koko nopeus vektorina, eli sekä suuruus että suunta.

Aivan täsmälleen mikään ei liiku näin: aina tuulee vähän tai tie nousee mäkeen. Vakionopeussäätimellä varustettu auto suoralla moottoritiellä, metron rullaportaat tai juna suoralla radalla lähestyvät kuitenkin tasaista suoraviivaista liikettä kovasti.

Matkan kaava

Jos haluat vain kaavan, matkan s, jonka kappale kulkee tasaisessa liikkeessä nopeudella v ajassa t, saat laskemalla

$$s=v\cdot t$$

Se johdetaan nopeuden kaavasta $v=\frac{s}{t}$, joka on jo tuttu. Riittää kertoa molemmat puolet ajalla t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Selkokielellä: kun auto kulkee joka sekunti 30 m, se kulkee kymmenessä sekunnissa kymmenkertaisen matkan. Minuutissa, eli ajassa 60 s, vakionopeussäätimellä varustettu auto kulkee

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Yksiköillä lasketaan kuten luvuilla. Nimittäjässä olevat sekunnit supistuvat niiden sekuntien kanssa, joilla kerrotaan, ja jäljelle jäävät metrit:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Jos tulokseksi tulisi vaikkapa metriä kertaa sekunti, tiedät, että jossain on tapahtunut virhe.

Huomaa, että kaava s = v · t pätee vain tasaiselle liikkeelle. Kun nopeus vaihtelee, ei tiedetä, mikä niistä kaavaan pitäisi ottaa. Auttaa vain keskinopeus, s = v_k · t. Virtaset ajoivat Brnoon keskimäärin nopeudella 82 km/h ajan 2,5 h, joten he kulkivat 82 km/h · 2,5 h = 205 km, vaikka heidän nopeusmittarinsa näytti kaikkea nollasta sataankolmeenkymmeneen.

Kuinka kauan se kestää?

Kun kaava s = v · t jaetaan nopeudella v, saadaan aika:

$$t=\frac{s}{v}$$

Prahasta Brnoon johtaa moottoritie D1, ja se on noin 205 km pitkä. Jos auto ajaisi koko matkan vakionopeudella 100 km/h, matka kestäisi

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Moottoritie ei tosin ole viivoittimen suora, mutta kaavaa se ei haittaa. Matka mitataan radan mukaan, joten s = v · t pätee jokaiselle tasaiselle liikkeelle, myös autolle, joka ajaa mutkat vakionopeudella.

Paljonko 2,05 h on tunteina ja minuutteina? Ei varmasti kaksi tuntia ja viisi minuuttia. Tunnissa on kuusikymmentä minuuttia, ei sata. Kaksi kokonaista tuntia jätetään ennalleen ja jäljelle jäävät viisi sadasosatuntia muunnetaan minuuteiksi:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Matka kestäisi 2 h ja 3 min.

Jäljellä on kolmas suure, nopeus. Se lasketaan kaavalla $v=\frac{s}{t}$. Ellen pyöräilee suoraa pyörätietä Aurajoen varrella koko ajan samaa vauhtia ja kulkee 6 km ajassa 20 min. Kaksikymmentä minuuttia on kolmasosa tunnista:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Kolmasosalla jakaminen on sama asia kuin kolmella kertominen, siksi tuli 6 · 3 = 18. Joka ei pidä murtoluvuista, muuntaa kaiken metreiksi ja sekunneiksi. Kaksikymmentä minuuttia on 20 · 60 s = 1 200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Molemmat tavat antavat saman, sillä 5 m/s kertaa 3,6 on 18 km/h.

Matkan kuvaaja on suora

Kirjoitetaan johdannon vakionopeussäätimellä varustetun auton matkat taulukkoon:

Jokainen taulukon rivi on kuvaajan yksi piste: aika mitataan vaaka-akselilta, matka pystyakselilta. Juuri näin syntyivät yllä olevan animaation oranssit pisteet. Ne kaikki ovat samalla suoralla, joka lähtee origosta. Miksi juuri suoralla?

Jokaisesta pisteestä seuraavaan johtaa sama porras: sekunti oikealle (sinisellä) ja 30 m ylös (punaisella). Portaat ovat kaikki yhtä leveitä ja yhtä korkeita, joten vierekkäisten pisteiden yhdysjanoilla on sama kulmakerroin ja ne jatkuvat toistensa perään ilman taitetta. Kaikki pisteet ovat siis samalla suoralla viivalla. Jos auto kiihtyisi jossain, siinä olisi korkeampi porras ja viiva taittuisi ylöspäin. Sama pätee myös kokonaisten sekuntien välissä. Puolessa sekunnissa auto kulkee 15 m, kymmenesosasekunnissa 3 m, ja kaikki nämä pisteet ovat samalla suoralla. Siksi kuvaaja piirretään yhtenäisellä viivalla eikä vain seitsemänä pisteenä.

Kuinka jyrkkä suora on, näkee siitä, kuinka paljon se nousee, kun siirrytään palan oikealle. Portaan leveyttä, eli ajan muutosta, merkitään Δt ja portaan korkeutta, eli matkan muutosta, Δs. Niiden osamäärä antaa jyrkkyyden:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Tuli jo tuttu luku: auton nopeus. Matkan kuvaajan jyrkkyys on nopeus. Se on täsmälleen hetkellisen nopeuden kaava $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$, vain tasaisessa liikkeessä ei tarvitse huolehtia siitä, että osuus on lyhyt. Kun kuvaajasta otetaan isompi pala, jyrkkyys on sama. Ensimmäisen ja viidennen sekunnin välillä on kulunut 4 s ja auto kulki niiden aikana 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Matemaatikko sanoisi, että matka on ajan lineaarinen funktio. Lineaariset funktiot kirjoitetaan lausekkeella y = a · x + b, ja niiden kuvaaja on aina suora. Luku a kertoo, kuinka paljon y kasvaa, kun x kasvaa yhdellä, ja sitä sanotaan kulmakertoimeksi. Luku b määrää, millä korkeudella suora leikkaa pystyakselin. Kaava s = v · t on lineaarinen funktio, jossa x:n paikalla on aika, y:n paikalla matka, kulmakertoimena nopeus ja b = 0, joten suora kulkee origon kautta. Tällainen riippuvuus on suoraan verrannollisuus: kaksi kertaa pidemmässä ajassa auto kulkee kaksi kertaa pidemmän matkan, kolme kertaa pidemmässä kolminkertaisen.

Nopeampi auto, jyrkempi kuvaaja

Sillalla vakionopeussäätimellä varustettu auto ohittaa rekan, joka ajaa nopeudella 72 km/h, eli

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Sekä aika että kummankin matka mitataan sillalta, ja molemmat kuvaajat piirretään samaan kuvaan.

Auton punainen suora on jyrkempi kuin rekan sininen suora, koska auto kulkee joka sekunti pidemmän matkan. Mitä jyrkempi matkan kuvaaja, sitä nopeampi liike. Jos rekka seisoisi, sen kuvaaja olisi vaakasuora ja jyrkkyys nolla.

Kuvaajasta voi myös lukea arvoja, siksi siihen on piirretty ruudukko. Minne rekka ehtii ajassa 3 s? Etsitään vaaka-akselilta kolmonen ja noustaan katkoviivaa pitkin ylös, kunnes osutaan siniseen suoraan. Sieltä mennään vasemmalle pystyakselille ja luetaan 60 m. Toisinpäin kysytään, milloin auto on 120 m sillan jälkeen. Pystyakselilta etsitään 120, mennään oikealle punaiseen suoraan ja sitten alas aika-akselille: ajassa 4 s. Molemmat voi tarkistaa laskemalla:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Suorien välinen pystyetäisyys näyttää, kuinka paljon auto on rekan edellä. Kuuden sekunnin jälkeen se on 180 m − 120 m = 60 m. Etumatka kasvaa joka sekunti 10 m, mikä on täsmälleen nopeuksien erotus, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Kun auto ei aloita nollasta

Tähän asti matka on mitattu paikasta, jossa sekuntikello käynnistettiin. Kello kuitenkin usein käynnistetään vasta, kun kappaleella on jo osa matkasta takanaan. Moottoritien D1 varrella on kilometripylväitä, numeroituja tolppia, jotka näyttävät, montako kilometriä on moottoritien alusta Prahassa. Auto ohittaa 21. kilometrin ja ajaa siitä lähtien vakionopeudella 90 km/h. Missä kohdassa se on kahden tunnin kuluttua?

Kahdessa tunnissa se kulkee 90 km/h · 2 h = 180 km. Kilometripylväässä ei kuitenkaan lue 180, koska auto ei lähtenyt nollasta. Lasketaan niin kuin sillä olisi jo sekuntikellon käynnistyshetkellä takanaan 21 km, koska kilometripylväs mittaa moottoritien alusta. Tätä matkaa sanotaan alkumatkaksi, ja se merkitään s₀. Matka ajanhetkellä t saadaan lisäämällä alkumatkaan sen, minkä auto on kulkenut kellon käynnistämisen jälkeen:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Sijoitetaan:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Kahden tunnin kuluttua auto on 201. kilometrillä. Kun alkumatka on nolla, saadaan alkuperäinen kaavan s = v · t.

Kuvaaja ei enää ala origosta vaan pystyakselilta korkeudelta s₀ = 21 km, jonka sininen jana näyttää. Jyrkkyys on edelleen nopeus, joka tunti kuvaaja nousee 90 km. Harmaa katkoviivasuora on kuvaaja autolle, joka ajaa yhtä nopeasti mutta lähti moottoritien alusta. Suorat ovat yhdensuuntaiset, koska niillä on sama jyrkkyys. Punainen on vain s₀ ylempänä. Lineaarisen funktion y = a · x + b kielellä a on nopeus ja b alkumatka.

Käännetään asia: milloin auto saapuu 156. kilometrille? Houkuttaa jakaa 156 luvulla yhdeksänkymmentä, mutta silloin saataisiin selville, kuinka kauan siihen kuluisi moottoritien alusta. Lähdetään kaavasta ja ratkaistaan siitä aika:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Sijoitetaan:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

156. kilometrille auto saapuu tunnissa ja puolessa, eli ajassa 1 h ja 30 min.

Kilometripylvään luku ei tarkkaan ottaen kerro, minkä matkan auto on kulkenut, vaan missä kohdassa moottoritietä se on. Niin kauan kuin auto ajaa vain eteenpäin, se on sama asia kuin matka, jonka se olisi kulkenut moottoritien alusta. Miksi sillä on merkitystä, nähdään artikkelin lopussa.

Nopeuden kuvaaja

Kuvaajaan voi piirtää myös nopeuden. Vakionopeussäätimellä varustettu auto ajaa koko ajan 30 m/s, mikä hetki tahansa, ja siksi sen nopeuden kuvaaja on vaakasuora viiva korkeudella 30.

Matkaa ei löydy tämän kuvaajan miltään akselilta. Se on piilossa kuvaajan alla olevassa alassa. Viivan alle ensimmäisten kymmenen sekunnin ajalta syntyi punainen suorakulmio, jonka leveys on 10 s ja korkeus 30 m/s. Sen pinta-ala, leveys kertaa korkeus, on

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Se on täsmälleen matka s = v · t, jonka auto kulkee kymmenessä sekunnissa. Pinta-ala ei tässä tule neliömetreinä vaan metreinä, koska suorakulmion sivut eivät ole pituuksia vaan nopeus ja aika. Valkoiset viivat jakavat suorakulmion kymmeneen kaistaan, yksi jokaista sekuntia kohti. Kunkin pinta-ala on 30 m/s · 1 s = 30 m, aivan kuten kolmekymmentä metriä on vierekkäisten merkkien välillä tiellä alun animaatiossa.

Miksi vaivautua pinta-alalla, kun riittää kertoa? Koska nopeuden kuvaajan alla oleva ala tarkoittaa matkaa silloinkin, kun kuvaaja ei ole vaakasuora. Kun päästään kiihtyvään liikkeeseen, nopeuden kuvaaja nousee ja sen alla on suorakulmion tilalla kolmio tai puolisuunnikas. Matka lasketaan silloin niiden pinta-alana, ja siihen riittävät kolmion ja suorakulmion pinta-alan kaavat, puolisuunnikkaan voi jakaa niihin.

Seisooko vai ajaako takaisin?

Onni lähtee aamulla pyörällä kotoa suoraa tietä pitkin. Kaksi tuntia hän ajaa vakionopeudella 20 km/h, sitten hän syö tunnin lounasta kuppilassa ja lopuksi palaa samalla nopeudella kotiin.

Pystyakselilla ei tällä kertaa ole matka vaan paikka. Tien suuntaisesti asetetaan akseli x ja origo Onnin kotiin. Paikka x kertoo silloin, kuinka kaukana kotoa tietä pitkin Onni on, aivan kuten kilometripylväs näyttää, missä kohdassa tietä auto on. Harmaa katkoviiva on matka, jonka Onni on ajanut ja jonka ohjaustangon pyörätietokone näyttää. Lounaan loppuun asti se on sama kuin paikka. Punainen osa on jo tuttu. Kahdessa tunnissa Onni ajaa 40 km ja kuvaaja nousee jyrkkyydellä 20 km/h.

Sininen osa on vaakasuora. Aika kuluu, mutta Onni pysyy 40 km päässä kotoa, joten hän seisoo. Vaakasuora kuvaaja tarkoittaa lepoa, jyrkkyys on nolla ja nopeuskin.

Vihreä osa laskee. Onni palaa, ja hänen paikkansa x pienenee joka tunti 20 km. Laskeva kuvaaja tarkoittaa liikettä takaisin päin. Kuinka nopeasti Onni ajaa, näkee siitä, kuinka paljon kuvaaja laskee tunnissa, tässä 20 km, joten hän ajaa 20 km/h. Nopeudella on nyt vastakkainen suunta kuin aamulla. Siksi fyysikot antavat sille joskus miinusmerkin, joka kertoo, että paikka x pienenee ajan myötä.

Nyt näkyy, miksi kilometripylvään kohdalla eroteltiin, missä kappale on ja minkä matkan se on kulkenut. Pyörätietokone mittaa matkaa, eikä se koskaan pienene ajan kuluessa. Katkoviiva siksi nousee lounaan jälkeenkin ja päättyy illalla lukuun 80 km, kun taas paikan kuvaaja päättyi nollaan, koska Onni on taas kotona. Kun ajetaan yhteen suuntaan, paikka ja matka eroavat vain alkuarvolla, siksi kilometripylvään kohdalla riitti matkan kaava s = s₀ + v · t. Kun kappale kääntyy, täytyy laskea paikalla.

Koko Onnin retki ei ole tasainen, se koostuu kolmesta tasaisesta palasta. Keskinopeus koko päivältä on kokonaismatka jaettuna kokonaisajalla, lounas mukaan lukien. Kokonaismatka ei ole loppupaikka, se on nolla. Se on 80 km, mihin katkoviivakuvaaja päättyy, eli 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_k=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Pystysuoraa osaa kuvaajassa ei koskaan tule. Se tarkoittaisi, että Onni siirtyi nollassa ajassa palan matkaa eteenpäin. Ja kuvaaja, joka kääntyisi vasemmalle, tarkoittaisi, että Onnille aika kulkee takaperin. Kumpikaan ei ole toistaiseksi onnistunut kenellekään.

Laskuri

Ensimmäinen laskuri laskee matkan nopeudesta ja ajasta, toinen ajan matkasta ja nopeudesta. Valmiiksi täytetyt arvot ovat artikkelin esimerkeistä: kymmenen sekuntia vakionopeussäätimellä nopeudella 108 km/h ja matka Prahasta Brnoon tasaisella sadalla.

Kaavalla s = s₀ + v · t ja matkan kuvaajalla voi ratkaista myös sanallisia tehtäviä, joissa yksi auto ottaa toista kiinni tai kaksi junaa ajaa toisiaan vastaan. Jokaisella ajoneuvolla on kuvaajassa oma suoransa, ja paikka, jossa ne kohtaavat, on suorien leikkauspiste. Tällaisiin tehtäviin palataan vielä.

Ennen niitä käydään artikkelissa Näin ratkaiset kinematiikan ja dynamiikan tehtäviä läpi menettely, josta on hyötyä jokaisessa fysiikan tehtävässä: tehtävänannon kirjaaminen, yksiköiden muuntaminen, havainnekuva ja yleinen ratkaisu.