Jævn retlinet bevægelse

På motorvejen sætter du fartpiloten til 108 km/h. Bilen kører nu hele tiden lige hurtigt, ligeud, og viseren på speedometeret rører sig ikke. Hvor mange meter kører den på ét sekund? Farten omregner vi til meter pr. sekund, altså dividerer vi med tallet 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hvert sekund kører bilen 30 m. På to sekunder 60 m, på tre 90 m, og så fremdeles, for hvert sekund tredive meter mere.

Til venstre ser vi vejen oppefra, bilen kører opad. Vores bil efterlader efter sig for hvert helt sekund et orange mærke på vejen, for eksempel en klat maling. Alle mærkerne ligger lige langt fra hinanden, 30 m, fordi bilen på hvert sekund tilbagelægger den samme strækning. Til højre er grafen. På den vandrette akse er tiden t i sekunder, på den lodrette strækningen s i meter, som bilen har kørt fra det første mærke. Den lodrette akse har samme målestok som vejen, så det røde punkt i grafen hele tiden sidder i samme højde som bilen. I animationen går der seks sekunders kørsel, og for hvert sekund kommer der et mærke til på vejen og et orange punkt i grafen.

En bevægelse langs en ret linje, hvor størrelsen af legemets hastighed ikke ændrer sig, kalder vi jævn retlinet bevægelse. Retlinet er en bevægelse, hvis bane er en ret linje. Jævn er en bevægelse, hvor legemet i lige lange tidsrum tilbagelægger lige store strækninger, hvilket er det samme som en konstant størrelse af øjeblikshastigheden. En bil, der kører med konstant fart ad en ret linje, kan ikke dreje, for så ville den forlade linjen, og den kan heller ikke vende om, for så skulle den først sænke farten helt til nul. Hastighedens retning ændrer sig altså heller ikke. I modsætning til bilen i rundkørslen er hele hastigheden som vektor konstant, altså både størrelse og retning.

Helt præcist bevæger intet sig sådan: Der blæser altid lidt vind, eller vejen stiger op ad en bakke. Men en bil med fartpilot på en lige motorvej, en rulletrappe i metroen eller et tog på et lige spor kommer meget tæt på en jævn retlinet bevægelse.

Formlen for strækning

Hvis du kun leder efter formlen, kan du beregne strækningen s, som et legeme tilbagelægger ved jævn bevægelse med farten v i tiden t, som

$$s=v\cdot t$$

Vi udleder den af formlen for fart $v=\frac{s}{t}$, som vi allerede kender. Det er nok at gange begge sider med tiden t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Sagt på almindeligt dansk: Når bilen kører 30 m hvert sekund, kører den på ti sekunder ti gange så meget. På et minut, altså 60 s, kører bilen med fartpilot

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Med enhederne regner vi som med tal. Sekunderne i nævneren forkortes med dem, vi ganger med, og tilbage er meter:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Hvis du for eksempel får meter gange sekunder, ved du, at der er sket en fejl et sted.

Pas på, formlen s = v · t gælder kun for jævn bevægelse. Når farten svinger, ved vi ikke, hvilken af dem vi skal bruge i formlen. Her hjælper kun gennemsnitsfarten, $s=\overline{v}\cdot t$. Familien Hansen kørte til Vejle med en gennemsnitsfart på 82 km/h i 2,5 h, så de kørte 82 km/h · 2,5 h = 205 km, selv om deres speedometer viste alt muligt fra nul til hundrede og tredive.

Hvor lang tid tager det?

Når vi dividerer formlen s = v · t med farten v, får vi tiden:

$$t=\frac{s}{v}$$

Fra Aalborg til Vejle går motorvejen E45, og den er cirka 205 km lang. Hvis bilen kørte hele turen med konstant fart 100 km/h, ville turen vare

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Motorvejen er rigtignok ikke lige som en lineal, men det gør ikke noget for formlen. Strækningen måles langs banen, så s = v · t gælder for enhver jævn bevægelse, også for en bil, der kører gennem sving med konstant fart.

Hvor meget er 2,05 h i timer og minutter? Bestemt ikke to timer og fem minutter. En time har tres minutter, ikke hundrede. Vi beholder de to hele timer og omregner de resterende fem hundrededele af en time til minutter:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Turen ville vare 2 h og 3 min.

Tilbage er den tredje størrelse, farten. Den beregner vi med formlen $v=\frac{s}{t}$. Ella cykler på cykelstien langs Gudenåen hele tiden i det samme tempo og kører 6 km på 20 min. Tyve minutter er en tredjedel time:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

At dividere med en tredjedel er det samme som at gange med tre, derfor blev det 6 · 3 = 18. Den, der ikke kan lide brøker, omregner alt til meter og sekunder. Tyve minutter er 20 · 60 s = 1200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Begge veje giver det samme, for 5 m/s gange 3,6 er 18 km/h.

Strækningsgrafen er en ret linje

Vi skriver strækningerne for bilen med fartpiloten fra indledningen ind i en tabel:

Hver række i tabellen er et punkt i grafen: Tiden afsætter vi på den vandrette akse, strækningen på den lodrette. Præcis sådan opstod de orange punkter i animationen ovenfor. De ligger alle på én ret linje, som udgår fra origo. Hvorfor lige på en ret linje?

Fra hvert punkt går det samme trin til det næste: et sekund mod højre (blåt) og 30 m opad (rødt). Trinene er alle lige brede og lige høje, så forbindelseslinjerne mellem nabopunkter har samme hældning og slutter sig til hinanden uden knæk. Alle punkterne ligger altså på én ret linje. Hvis bilen et sted accelererede, ville der være et højere trin dér, og linjen ville knække opad. Det samme gælder mellem de hele sekunder. På et halvt sekund kører bilen 15 m, på et tiendedels sekund 3 m, og alle disse punkter ligger på den samme linje. Derfor tegner vi grafen som en hel streg, ikke bare som syv prikker.

Hvor stejl linjen er, ser vi ud fra, hvor meget den stiger, når vi flytter os et stykke mod højre. Trinets bredde, altså ændringen i tid, skriver vi Δt og trinets højde, ændringen i strækning, Δs. Deres forhold giver hældningen:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Der kom et tal ud, som vi allerede kender: bilens fart. Hældningen af (t,s)-grafen er farten. Det er præcis formlen $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ for øjeblikshastigheden, men ved jævn bevægelse behøver vi ikke at sørge for, at stykket er kort. Tager vi et større stykke af grafen, bliver hældningen den samme. Mellem det første og det femte sekund gik der 4 s, og i den tid kørte bilen 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

En matematiker ville sige, at strækningen er en lineær funktion af tiden. Lineære funktioner skrives med forskriften y = a · x + b, og deres graf er altid en ret linje. Tallet a fortæller, hvor meget y vokser, når x vokser med én, og kaldes hældningskoefficienten. Tallet b bestemmer, i hvilken højde linjen skærer den lodrette akse. Vores formel s = v · t er en lineær funktion, hvor tiden står i stedet for x, strækningen i stedet for y, hældningskoefficienten er farten og b = 0, så linjen går gennem origo. En sådan sammenhæng er ligefrem proportionalitet: På dobbelt så lang tid kører bilen dobbelt så langt, på tre gange så lang tid tre gange så langt.

Hurtigere bil, stejlere graf

På broen overhaler vores bil med fartpilot en lastbil, der kører 72 km/h, altså

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Tid og strækning for begge måler vi fra broen, og begge grafer tegner vi på samme figur.

Bilens røde linje er stejlere end lastbilens blå linje, fordi bilen kører længere hvert sekund. Jo stejlere (t,s)-graf, desto hurtigere bevægelse. Hvis lastbilen stod stille, ville dens graf være vandret med hældningen nul.

I grafen kan man også aflæse værdier, derfor har vi tegnet et gitter i den. Hvor kommer lastbilen hen på 3 s? På den vandrette akse finder vi tallet 3 og følger den stiplede linje opad, indtil vi rammer den blå linje. Derfra går vi til venstre til den lodrette akse og aflæser 60 m. Omvendt kan vi spørge, hvornår bilen er 120 m efter broen. På den lodrette akse finder vi 120, går mod højre til den røde linje og så nedad til tidsaksen: efter 4 s. Begge dele kan vi kontrollere ved beregning:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Den lodrette afstand mellem linjerne viser, hvor meget bilen er foran lastbilen. Efter seks sekunder er det 180 m − 120 m = 60 m. Forspringet vokser med 10 m hvert sekund, hvilket er præcis forskellen på de to farter, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Når bilen ikke starter ved nul

Indtil nu har vi målt strækningen fra det sted, hvor vi startede stopuret. Men stopuret starter vi ofte først, når legemet allerede har et stykke vej bag sig. Langs motorvejen står kilometerpælene, stolper med tal, der viser, hvor mange kilometer der er fra motorvejens begyndelse i Aalborg. Syd for Aalborg passerer bilen kilometer 21, og fra det øjeblik kører den med den konstante fart 90 km/h. Ved hvilken kilometer er den efter to timer?

På to timer kører den 90 km/h · 2 h = 180 km. Men på kilometerpælen vil der ikke stå 180, for bilen startede ikke fra nul. Vi regner, som om den allerede i det øjeblik, hvor vi startede stopuret, havde 21 km bag sig, for kilometerpælen måler fra motorvejens begyndelse. Den strækning kalder vi begyndelsesstrækningen og skriver den s₀. Strækningen til tiden t får vi så ved at lægge det, bilen har kørt siden stopurets start, til begyndelsesstrækningen:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Vi sætter ind:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Efter to timer er bilen ved kilometer 201. Når begyndelsesstrækningen er nul, får vi den oprindelige formel s = v · t.

Grafen begynder ikke længere i origo, men på den lodrette akse i højden s₀ = 21 km, som det blå linjestykke viser. Hældningen er stadig farten, for hver time stiger grafen med 90 km. Den grå stiplede linje er grafen for en bil, der kører lige hurtigt, men er startet ved motorvejens begyndelse. De to linjer er parallelle, fordi de har samme hældning. Den røde ligger bare s₀ højere. I sproget for den lineære funktion y = a · x + b er a farten og b begyndelsesstrækningen.

Lad os vende det om: Hvornår når bilen kilometer 156? Det frister at dividere 156 med halvfems, men så ville vi finde ud af, hvor lang tid den ville bruge fra motorvejens begyndelse. Vi tager udgangspunkt i formlen og isolerer tiden:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Vi sætter ind:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Til kilometer 156 kommer bilen på halvanden time, altså på 1 h og 30 min.

Tallet på kilometerpælen fortæller helt præcist ikke, hvilken strækning bilen har kørt, men hvor på motorvejen den er. Så længe bilen kun kører fremad, er det det samme som den strækning, den ville have kørt fra motorvejens begyndelse. Hvorfor det har betydning, ser vi til sidst i artiklen.

Hastighedsgrafen

I en graf kan vi også tegne farten. Bilen med fartpiloten kører hele tiden 30 m/s, uanset tiden, og derfor er grafen for dens fart en vandret streg i højden 30.

Strækningen finder vi ikke på nogen af akserne i denne graf. Den er skjult i arealet under grafen. Under stregen de første ti sekunder opstod et rødt rektangel, 10 s bredt og 30 m/s højt. Dets areal, bredde gange højde, er

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Det er præcis strækningen s = v · t, som bilen kører på ti sekunder. Arealet bliver her ikke udtrykt i kvadratmeter, men i meter, for rektanglets sider er ikke længder, men fart og tid. De hvide streger deler rektanglet i ti strimler, en for hvert sekund. Hver har arealet 30 m/s · 1 s = 30 m, ligesom der er tredive meter mellem nabomærkerne på vejen i animationen i begyndelsen.

Hvorfor bøvle med arealet, når det er nok at gange? Fordi arealet under (t,v)-grafen betyder strækning, også når grafen ikke er vandret. Når vi når til accelereret bevægelse, vil (t,v)-grafen stige, og under den vil der i stedet for et rektangel være en trekant eller et trapez. Strækningen beregner vi så som deres areal, og dertil er formlerne for arealet af en trekant og et rektangel nok, et trapez kan deles op i dem.

Står den stille, eller kører den tilbage?

Emil kører om morgenen hjemmefra på cykel ad en lige vej. I to timer kører han med den konstante fart 20 km/h, derefter spiser han frokost på en kro i en time, og til sidst kører han hjem med samme fart.

På den lodrette akse er der denne gang ikke strækning, men position. Langs vejen lægger vi aksen x og placerer origo ved Emils hjem. Positionen x fortæller så, hvor langt fra hjemmet ad vejen Emil er, ligesom en kilometerpæl viser, hvor på vejen bilen er. Den grå stiplede linje er den strækning, Emil har kørt, og som cykelcomputeren på styret viser. Til slutningen af frokosten falder den sammen med positionen. Det røde stykke kender vi allerede. På to timer kører Emil 40 km, og grafen stiger med hældningen 20 km/h.

Det blå stykke er vandret. Tiden går, men Emil forbliver 40 km fra hjemmet, så han står stille. En vandret graf betyder hvile, hældningen er nul og farten også.

Det grønne stykke falder. Emil er på vej hjem, og hans position x bliver mindre med 20 km hver time. En faldende graf betyder bevægelse tilbage. Hvor hurtigt Emil kører, ser vi ud fra, hvor meget grafen falder pr. time, her 20 km, så han kører 20 km/h. Hastigheden har nu den modsatte retning end om morgenen. Derfor giver fysikere den sommetider et minustegn, der fortæller, at positionen x falder med tiden.

Nu kan vi se, hvorfor vi ved kilometerpælen skelnede mellem, hvor legemet er, og hvilken strækning det har tilbagelagt. Cykelcomputeren måler strækning, og den aftager aldrig med tiden. Den stiplede linje stiger derfor videre efter frokosten og ender om aftenen på 80 km, mens grafen for positionen ender på nul, fordi Emil er hjemme igen. Ved kørsel i én retning adskiller position og strækning sig kun ved begyndelsesværdien, derfor var formlen for strækning s = s₀ + v · t nok ved kilometerpælen. Når legemet vender om, må vi regne med positionen.

Hele Emils tur er ikke jævn, den består af tre jævne stykker. Gennemsnitsfarten for hele dagen er den samlede strækning divideret med den samlede tid, inklusive frokosten. Den samlede strækning er ikke slutpositionen, den er nul. Det er 80 km, hvor den stiplede graf ender, eller 40 km + 0 km + 40 km:

$$\overline{v}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Et lodret stykke vil der aldrig være i grafen. Det ville betyde, at Emil i løbet af nul tid flyttede sig et stykke videre. Og en graf, der drejede til venstre, ville betyde, at tiden løb baglæns for Emil. Ingen af delene er endnu lykkedes for nogen.

Beregner

Den første beregner udregner strækningen ud fra fart og tid, den anden tiden ud fra strækning og fart. De forudfyldte værdier stammer fra eksemplerne i artiklen: ti sekunder med fartpiloten på 108 km/h og turen fra Aalborg til Vejle med en konstant fart på 100 km/h.

Med formlen s = s₀ + v · t og (t,s)-grafen kan man også løse tekstopgaver, hvor en bil indhenter en anden, eller to tog kører mod hinanden. Hvert køretøj har sin linje i grafen, og stedet, hvor de mødes, er linjernes skæringspunkt. Til sådanne opgaver kommer vi senere.

Inden vi går i gang med dem, gennemgår vi i artiklen Sådan løser du opgaver i kinematik og dynamik en fremgangsmåde, der kan betale sig til enhver fysikopgave: opskrivning af opgaven, omregning af enheder, skitse og den generelle løsning.