Mouvement rectiligne uniforme

Sur l’autoroute, tu enclenches le régulateur de vitesse à 108 km/h. La voiture roule maintenant tout le temps à la même vitesse, tout droit devant elle, et l’aiguille du compteur ne bouge pas d’un poil. Combien de mètres parcourt-elle en une seconde ? Nous convertissons la vitesse en mètres par seconde, donc nous divisons par 3,6 :

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Chaque seconde, la voiture parcourt 30 m. En deux secondes 60 m, en trois 90 m, et ainsi de suite, à chaque seconde trente mètres de plus.

À gauche, nous voyons la route vue de dessus, la voiture y roule vers le haut. Notre voiture laisse derrière elle à chaque seconde entière un repère orange sur la route, par exemple une goutte de peinture. Tous les repères sont à la même distance les uns des autres, 30 m, car la voiture parcourt la même distance à chaque seconde. À droite, il y a le graphique. Sur l’axe horizontal figure le temps t en secondes, sur l’axe vertical la distance d en mètres que la voiture a parcourue depuis le premier repère. L’axe vertical a la même échelle que la route, donc le point rouge du graphique est tout le temps à la même hauteur que la voiture. Dans l’animation, six secondes de trajet s’écoulent et à chaque seconde s’ajoutent un repère sur la route et un point orange sur le graphique.

Un mouvement sur une droite pendant lequel la valeur de la vitesse du corps ne change pas s’appelle un mouvement rectiligne uniforme. Un mouvement est rectiligne quand sa trajectoire est une droite. Il est uniforme quand le corps parcourt des distances égales en des durées égales, ce qui revient à dire que la valeur de la vitesse instantanée est constante. Une voiture qui roule à vitesse constante sur une droite ne peut pas tourner, car elle quitterait la droite, et elle ne peut pas non plus faire demi-tour, car pour cela elle devrait ralentir jusqu’à zéro. La direction de sa vitesse ne change donc pas non plus. Contrairement à la voiture sur le rond-point, c’est la vitesse tout entière comme vecteur qui reste constante, donc la norme comme la direction.

Rien ne se déplace exactement ainsi : il y a toujours un peu de vent ou la route qui monte. Mais une voiture avec régulateur de vitesse sur une autoroute plate, un escalator dans le métro ou un train sur une voie droite se rapprochent beaucoup du mouvement rectiligne uniforme.

La formule de la distance

Si tu cherches seulement la formule, la distance d que parcourt un corps en mouvement uniforme à la vitesse v pendant le temps t se calcule ainsi :

$$d=v\cdot t$$

Nous la déduisons de la formule de la vitesse $v=\frac{d}{t}$ que nous connaissons déjà. Il suffit de multiplier les deux côtés par le temps t :

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{d}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& d\end{array}$$

En clair : si la voiture parcourt 30 m chaque seconde, elle parcourt dix fois plus en dix secondes. En une minute, donc en 60 s, la voiture avec régulateur de vitesse parcourt

$$d=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Nous calculons avec les unités comme avec des nombres. Les secondes du dénominateur se simplifient avec celles par lesquelles nous multiplions, et il reste des mètres :

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Si tu obtenais par exemple des mètres fois des secondes, tu saurais qu’il y a quelque part une erreur.

Attention, la formule d = v · t ne vaut que pour un mouvement uniforme. Quand la vitesse varie, nous ne savons pas laquelle prendre dans la formule. Seule la vitesse moyenne nous aide, d = v_m · t. Les Martin ont roulé vers Le Mans à 82 km/h en moyenne pendant 2,5 h, donc ils ont parcouru 82 km/h · 2,5 h = 205 km, même si leur compteur indiquait toutes sortes de valeurs de zéro à cent trente.

Combien de temps cela prendra-t-il ?

Quand nous divisons la formule d = v · t par la vitesse v, nous obtenons le temps :

$$t=\frac{d}{v}$$

De Paris au Mans, il y a l’autoroute A11 et elle mesure environ 205 km. Si la voiture roulait tout le trajet à la vitesse constante de 100 km/h, le trajet durerait

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

L’autoroute n’est certes pas droite comme une règle, mais cela ne gêne pas la formule. La distance se mesure le long de la trajectoire, donc d = v · t vaut pour tout mouvement uniforme, même pour la voiture qui prend des virages à vitesse constante.

Combien font 2,05 h en heures et minutes ? Sûrement pas deux heures et cinq minutes. Une heure a soixante minutes, pas cent. Nous gardons les deux heures entières et nous convertissons en minutes les cinq centièmes d’heure restants :

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Le trajet durerait 2 h et 3 min.

Il reste la troisième grandeur, la vitesse. Nous la calculons avec la formule $v=\frac{d}{t}$. Élise roule à vélo sur une piste cyclable droite le long de la Loire toujours au même rythme et parcourt 6 km en 20 min. Vingt minutes, c’est un tiers d’heure :

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Diviser par un tiers revient à multiplier par trois, c’est pourquoi on a obtenu 6 · 3 = 18. Celui qui n’aime pas les fractions convertit tout en mètres et en secondes. Vingt minutes, c’est 20 · 60 s = 1 200 s :

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Les deux méthodes donnent la même chose, car 5 m/s fois 3,6 font 18 km/h.

Le graphique de la distance est une droite

Écrivons dans un tableau les distances de la voiture avec régulateur de vitesse du début :

Chaque ligne du tableau est un point du graphique : nous reportons le temps sur l’axe horizontal, la distance sur l’axe vertical. C’est exactement ainsi qu’ont été formés les points orange de l’animation du haut. Ils sont tous alignés sur une droite qui part de l’origine. Pourquoi justement sur une droite ?

De chaque point au suivant, il y a la même marche : une seconde vers la droite (en bleu) et 30 m vers le haut (en rouge). Les marches ont toutes la même largeur et la même hauteur, donc les segments qui relient les points voisins ont la même inclinaison et se prolongent l’un l’autre sans cassure. Tous les points sont donc sur une même ligne droite. Si la voiture avait accéléré quelque part, il y aurait là une marche plus haute et la ligne se briserait vers le haut. Il en va de même entre les secondes entières. En une demi-seconde, la voiture parcourt 15 m, en un dixième de seconde 3 m, et tous ces points sont sur la même droite. C’est pourquoi nous traçons le graphique en trait plein, pas seulement avec sept points.

On voit à quel point la droite est pentue en regardant de combien elle monte quand on avance un peu vers la droite. La largeur de la marche, donc la variation du temps, nous la notons Δt et la hauteur de la marche, la variation de la distance, Δd. Leur quotient nous donne la pente :

$$\frac{\mathrm{\Delta }d}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nous avons obtenu un nombre que nous connaissons : la vitesse de la voiture. La pente du graphique de la distance est la vitesse. C’est exactement la formule $v=\frac{\mathrm{\Delta }d}{\mathrm{\Delta }t}$ de la vitesse instantanée, sauf que dans un mouvement uniforme nous n’avons pas à veiller à ce que le tronçon soit court. Si nous prenons un plus grand morceau du graphique, la pente est la même. Entre la première et la cinquième seconde, 4 s se sont écoulées et la voiture a parcouru pendant ce temps 150 m − 30 m = 120 m :

$$\frac{\mathrm{\Delta }d}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Un mathématicien dirait que la distance est une fonction affine du temps. Les fonctions affines s’écrivent y = a · x + b et leur graphique est toujours une droite. Le nombre a dit de combien y augmente quand x augmente de un, et s’appelle le coefficient directeur (ou pente). Le nombre b, l’ordonnée à l’origine, détermine à quelle hauteur la droite coupe l’axe vertical. Notre formule d = v · t est une fonction affine où, à la place de x, il y a le temps, à la place de y la distance, où le coefficient directeur est la vitesse et où b = 0, donc la droite passe par l’origine. Une telle dépendance est une proportionnalité : en un temps deux fois plus long, la voiture parcourt une distance deux fois plus longue, en un temps trois fois plus long une distance trois fois plus longue.

Voiture plus rapide, graphique plus pentu

Sur un pont, notre voiture avec régulateur de vitesse double un camion qui roule à 72 km/h, donc à

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Nous mesurerons le temps et la distance des deux à partir du pont et nous tracerons les deux graphiques sur une même figure.

La droite rouge de la voiture est plus pentue que la droite bleue du camion, parce que la voiture parcourt plus de chemin chaque seconde. Plus le graphique de la distance est pentu, plus le mouvement est rapide. Si le camion était à l’arrêt, son graphique serait horizontal, de pente nulle.

On peut aussi lire des valeurs sur le graphique, c’est pourquoi nous y avons tracé un quadrillage. Où arrive le camion en 3 s ? Sur l’axe horizontal, nous trouvons trois et nous montons le long de la ligne en pointillés jusqu’à rencontrer la droite bleue. De là, nous allons vers la gauche sur l’axe vertical et nous lisons 60 m. Dans l’autre sens, demandons-nous quand la voiture sera à 120 m après le pont. Sur l’axe vertical, nous trouvons 120, nous allons vers la droite jusqu’à la droite rouge puis vers le bas jusqu’à l’axe du temps : en 4 s. Nous pouvons vérifier les deux par le calcul :

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

La distance verticale entre les droites montre de combien la voiture devance le camion. Après six secondes, c’est 180 m − 120 m = 60 m. L’avance augmente de 10 m à chaque seconde, ce qui est exactement la différence des deux vitesses, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Quand la voiture ne part pas de zéro

Jusqu’ici, nous mesurions la distance à partir de l’endroit où nous avons déclenché le chronomètre. Mais souvent, nous ne déclenchons le chronomètre que quand le corps a déjà fait un bout de chemin. Le long de l’autoroute se trouvent des bornes kilométriques, des poteaux avec des nombres, qui indiquent combien de kilomètres il y a depuis le début de l’autoroute. Une voiture passe devant la borne du 21e kilomètre et, à partir de cet instant, roule à la vitesse constante de 90 km/h. À quel kilomètre sera-t-elle dans deux heures ?

En deux heures, elle parcourt 90 km/h · 2 h = 180 km. Mais la borne n’indiquera pas 180, parce que la voiture n’est pas partie de zéro. Nous calculons comme si, à l’instant où nous avons déclenché le chronomètre, elle avait déjà 21 km derrière elle, puisque la borne mesure depuis le début de l’autoroute. Cette distance s’appelle la distance initiale et se note d₀. La distance à l’instant t, nous l’obtenons en ajoutant à la distance initiale ce que la voiture a parcouru depuis le déclenchement du chronomètre :

$$d=d_0+v\cdot t$$

Nous remplaçons :

$$\begin{array}{rl}d& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Dans deux heures, la voiture sera au 201e kilomètre. Quand la distance initiale est nulle, nous retrouvons la formule d’origine d = v · t.

Le graphique ne commence plus à l’origine, mais sur l’axe vertical à la hauteur d₀ = 21 km, que montre le segment bleu. La pente est toujours la vitesse, à chaque heure le graphique monte de 90 km. La droite grise en pointillés est le graphique d’une voiture qui roule aussi vite, mais qui est partie du début de l’autoroute. Les deux droites sont parallèles, car elles ont la même pente. La rouge est seulement plus haute de d₀. Dans le langage de la fonction affine y = a · x + b, le coefficient directeur a est la vitesse et l’ordonnée à l’origine b la distance initiale.

Retournons la question : quand la voiture arrivera-t-elle au 156e kilomètre ? On est tenté de diviser 156 par quatre-vingt-dix, mais nous saurions alors en combien de temps elle arriverait depuis le début de l’autoroute. Partons de la formule et exprimons-en le temps :

$$\begin{array}{rcl}{d}_0+v\cdot t& =& d/-d_0\\ v\cdot t& =& d-d_0/:v\\ t& =& \frac{d-d_0}{v}\end{array}$$

Nous remplaçons :

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Au 156e kilomètre, la voiture arrivera en une heure et demie, donc en 1 h et 30 min.

Le nombre de la borne ne dit pas exactement quelle distance la voiture a parcourue, mais où elle se trouve sur l’autoroute. Tant que la voiture ne fait qu’avancer, c’est la même chose que la distance qu’elle aurait parcourue depuis le début de l’autoroute. Pourquoi cela importe, nous le verrons à la fin de l’article.

Graphique de la vitesse

Dans un graphique, on peut aussi tracer la vitesse. La voiture avec régulateur de vitesse roule tout le temps à 30 m/s, quel que soit le temps, et c’est pourquoi le graphique de sa vitesse est une ligne horizontale à la hauteur 30.

La distance, nous ne la trouvons sur aucun axe de ce graphique. Elle est cachée dans l’aire sous le graphique. Sous la ligne, pendant les dix premières secondes, s’est formé un rectangle rouge de largeur 10 s et de hauteur 30 m/s. Son aire, largeur fois hauteur, est

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

C’est exactement la distance d = v · t que la voiture parcourt en dix secondes. L’aire ne s’exprime pas ici en mètres carrés, mais en mètres, parce que les côtés du rectangle ne sont pas des longueurs, mais une vitesse et un temps. Les lignes blanches partagent le rectangle en dix bandes, une par seconde. Chacune a une aire de 30 m/s · 1 s = 30 m, tout comme il y a trente mètres entre les repères voisins sur la route dans l’animation du début.

Pourquoi s’embêter avec l’aire alors qu’il suffit de multiplier ? Parce que l’aire sous le graphique de la vitesse représente la distance même quand le graphique n’est pas horizontal. Quand nous arriverons au mouvement accéléré, le graphique de la vitesse montera et, en dessous, il y aura à la place du rectangle un triangle ou un trapèze. Nous calculerons alors la distance comme leur aire, et pour cela les formules de l’aire du triangle et du rectangle suffisent, le trapèze se découpe en ces deux figures.

À l’arrêt ou en train de revenir ?

Hugo part le matin à vélo de chez lui sur une route droite. Pendant deux heures, il roule à la vitesse constante de 20 km/h, puis il déjeune une heure au restaurant et enfin rentre chez lui à la même vitesse.

Sur l’axe vertical, il n’y a cette fois pas la distance, mais la position. Le long de la route, nous tendons un axe x et nous mettons l’origine chez Hugo. La position x dit alors à quelle distance de chez lui, le long de la route, Hugo se trouve, de même que la borne kilométrique indique où la voiture est sur la route. La ligne grise en pointillés est la distance que Hugo a parcourue et qu’indique le compteur fixé sur son guidon. Jusqu’à la fin du déjeuner, elle coïncide avec la position. Le tronçon rouge, nous le connaissons déjà. En deux heures, Hugo parcourt 40 km et le graphique monte avec une pente de 20 km/h.

Le tronçon bleu est horizontal. Le temps passe, mais Hugo reste à 40 km de chez lui, donc il est à l’arrêt. Un graphique horizontal signifie le repos, la pente est nulle et la vitesse aussi.

Le tronçon vert descend. Hugo rentre et sa position x diminue de 20 km chaque heure. Un graphique descendant signifie un mouvement en sens inverse. On voit à quelle vitesse roule Hugo en regardant de combien le graphique descend en une heure, ici 20 km, donc il roule à 20 km/h. La vitesse a maintenant le sens opposé à celui du matin. C’est pourquoi les physiciens lui attribuent parfois le signe moins, qui dit que la position x diminue avec le temps.

On voit maintenant pourquoi, avec la borne kilométrique, nous distinguions où se trouve le corps et quelle distance il a parcourue. Le compteur de vélo mesure la distance parcourue, et celle-ci ne diminue jamais avec le temps. La ligne en pointillés continue donc de monter après le déjeuner et finit le soir à 80 km, tandis que le graphique de la position a fini à zéro, car Hugo est de nouveau chez lui. Quand on roule dans un seul sens, la position et la distance ne diffèrent que de la valeur initiale, c’est pourquoi pour la borne kilométrique la formule de la distance d = d₀ + v · t suffisait. Quand le corps fait demi-tour, nous devons calculer avec la position.

La sortie de Hugo dans son ensemble n’est pas uniforme, elle se compose de trois morceaux uniformes. La vitesse moyenne sur toute la journée est la distance totale divisée par le temps total, déjeuner compris. La distance totale n’est pas la position finale, qui est nulle. C’est 80 km, où finit le graphique en pointillés, c’est-à-dire 40 km + 0 km + 40 km :

$$v_m=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Il n’y aura jamais de tronçon vertical dans le graphique. Cela signifierait que Hugo s’est transporté plus loin en un temps nul. Et un graphique qui reviendrait vers la gauche signifierait que pour Hugo le temps s’écoule à l’envers. Personne n’y est encore parvenu.

Calculatrice

La première calculatrice calcule la distance à partir de la vitesse et du temps, la seconde le temps à partir de la distance et de la vitesse. Les valeurs préremplies viennent des exemples de l’article : dix secondes avec le régulateur de vitesse à 108 km/h et le trajet de Paris au Mans à cent kilomètres à l’heure constants.

Avec la formule d = d₀ + v · t et le graphique de la distance, on peut aussi résoudre des problèmes dans lesquels une voiture en rattrape une autre ou deux trains roulent l’un vers l’autre. Chaque véhicule a dans le graphique sa droite, et l’endroit où ils se rencontrent est le point d’intersection des droites. Nous reviendrons à de tels problèmes.

Avant de nous y mettre, nous passerons en revue dans l’article Comment résoudre les exercices de cinématique et de dynamique une méthode utile pour tout exercice de physique : écrire les données, convertir les unités, faire un schéma et résoudre littéralement.