Ruch jednostajny prostoliniowy

Na autostradzie włączasz tempomat na 108 km/h. Samochód jedzie teraz cały czas równie szybko, prosto przed siebie, a wskazówka prędkościomierza ani drgnie. Ile metrów przejedzie w jedną sekundę? Prędkość przeliczymy na metry na sekundę, czyli podzielimy przez 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

W każdej sekundzie samochód przejeżdża 30 m. W dwie sekundy 60 m, w trzy 90 m i tak dalej, z każdą sekundą o trzydzieści metrów więcej.

Po lewej widzimy jezdnię z góry, samochód jedzie po niej do góry. Nasz samochód co pełną sekundę zostawia na jezdni pomarańczowy znak, na przykład kroplę farby. Wszystkie znaki są od siebie równo oddalone, co 30 m, bo samochód w każdej sekundzie przejeżdża tę samą drogę. Po prawej jest wykres. Na osi poziomej jest czas t w sekundach, na pionowej droga s w metrach, którą samochód przejechał od pierwszego znaku. Oś pionowa ma tę samą skalę co jezdnia, więc czerwony punkt na wykresie jest stale na tej samej wysokości co samochód. W animacji mija sześć sekund jazdy i z każdą sekundą przybywa znak na jezdni i pomarańczowy punkt na wykresie.

Ruch po prostej, w którym wartość prędkości ciała się nie zmienia, nazywamy ruchem jednostajnym prostoliniowym. Prostoliniowy jest ruch, którego torem jest prosta. Jednostajny to taki, w którym ciało w jednakowych odstępach czasu przebywa jednakowe drogi, a to jest to samo co stała wartość prędkości chwilowej. Samochód jadący ze stałą prędkością po prostej nie może skręcić, bo zjechałby z prostej, i nie może też zawrócić, bo musiałby w tym celu zwolnić aż do zera. Nie zmienia się więc ani kierunek, ani zwrot jego prędkości. W odróżnieniu od samochodu na rondzie stała pozostaje cała prędkość jako wektor, czyli wartość, kierunek i zwrot.

Zupełnie dokładnie nic się tak nie porusza: zawsze trochę zawieje wiatr albo szosa wzniesie się pod górę. Samochód z tempomatem na prostej autostradzie, schody ruchome w metrze czy pociąg na prostym torze są jednak bardzo bliskie ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Wzór na drogę

Jeśli szukasz tylko wzoru: drogę s, którą ciało przebywa ruchem jednostajnym z prędkością v w czasie t, obliczysz jako

$$s=v\cdot t$$

Wyprowadzimy go ze znanego już wzoru na prędkość $v=\frac{s}{t}$. Wystarczy pomnożyć obie strony przez czas t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Mówiąc po ludzku: jeśli samochód w każdej sekundzie przejeżdża 30 m, to w dziesięć sekund przejedzie dziesięć razy tyle. W minutę, czyli w 60 s, samochód z tempomatem przejedzie

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Z jednostkami liczymy jak z liczbami. Sekundy w mianowniku skracają się z tymi, przez które mnożymy, i zostają metry:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Gdyby wyszły ci na przykład metry razy sekundy, wiesz, że gdzieś jest błąd.

Uwaga, wzór s = v · t obowiązuje tylko dla ruchu jednostajnego. Gdy prędkość się zmienia, nie wiemy, którą z nich wstawić do wzoru. Pomoże nam tylko prędkość średnia, s = v_śr · t. Nowakowie jechali do Białegostoku średnio 82 km/h przez 2,5 h, więc przejechali 82 km/h · 2,5 h = 205 km, chociaż ich prędkościomierz pokazywał wszystko od zera do stu trzydziestu.

Ile to potrwa?

Gdy wzór s = v · t podzielimy przez prędkość v, dostaniemy czas:

$$t=\frac{s}{v}$$

Z Warszawy do Białegostoku prowadzi droga ekspresowa S8 i ma około 205 km. Gdyby samochód jechał całą trasę ze stałą prędkością 100 km/h, podróż trwałaby

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Ekspresówka nie jest wprawdzie prosta jak linijka, ale wzorowi to nie przeszkadza. Drogę mierzy się wzdłuż toru, więc s = v · t obowiązuje dla każdego ruchu jednostajnego, także dla samochodu, który ze stałą prędkością pokonuje zakręty.

Ile to 2,05 h w godzinach i minutach? Na pewno nie dwie godziny i pięć minut. Godzina ma sześćdziesiąt minut, a nie sto. Dwie pełne godziny zostawiamy, a pozostałe pięć setnych godziny zamieniamy na minuty:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Podróż trwałaby 2 h i 3 min.

Została trzecia wielkość, prędkość. Obliczymy ją ze wzoru $v=\frac{s}{t}$. Ela jedzie rowerem po prostej ścieżce rowerowej wzdłuż Wisły cały czas tym samym tempem i 6 km przejeżdża w 20 min. Dwadzieścia minut to jedna trzecia godziny:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Dzielenie przez jedną trzecią to to samo co mnożenie przez trzy, dlatego wyszło 6 · 3 = 18. Kto nie lubi ułamków, zamieni wszystko na metry i sekundy. Dwadzieścia minut to 20 · 60 s = 1200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Oba sposoby dają to samo, bo 5 m/s razy 3,6 to 18 km/h.

Wykres drogi jest prostą

Zapiszmy drogi samochodu z tempomatem ze wstępu w tabeli:

Każdy wiersz tabeli to jeden punkt wykresu: czas odmierzamy na osi poziomej, drogę na pionowej. Dokładnie tak powstały pomarańczowe punkty w animacji powyżej. Wszystkie leżą na jednej prostej, która wychodzi z początku układu współrzędnych. Dlaczego akurat na prostej?

Z każdego punktu do następnego prowadzi taki sam schodek: o jedną sekundę w prawo (na niebiesko) i o 30 m w górę (na czerwono). Wszystkie schodki są równie szerokie i równie wysokie, więc odcinki łączące sąsiednie punkty mają to samo nachylenie i przechodzą jeden w drugi bez załamania. Wszystkie punkty leżą zatem na jednej prostej linii. Gdyby samochód gdzieś przyspieszył, schodek byłby tam wyższy i linia załamałaby się w górę. To samo dotyczy chwil między pełnymi sekundami. W pół sekundy samochód przejeżdża 15 m, w dziesiątą część sekundy 3 m, i wszystkie te punkty leżą na tej samej prostej. Dlatego wykres rysujemy ciągłą linią, a nie tylko jako siedem kropek.

Jak stroma jest prosta, poznamy po tym, o ile się wznosi, gdy przesuniemy się o kawałek w prawo. Szerokość schodka, czyli zmianę czasu, zapisujemy Δt, a wysokość schodka, zmianę drogi, Δs. Ich iloraz daje nachylenie:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Wyszła liczba, którą już znamy: prędkość samochodu. Nachylenie wykresu drogi to prędkość. To dokładnie wzór $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ na prędkość chwilową, tylko w ruchu jednostajnym nie musimy pilnować, żeby odcinek był krótki. Gdy weźmiemy większy kawałek wykresu, nachylenie wyjdzie takie samo. Między pierwszą a piątą sekundą upłynęły 4 s, a samochód przejechał w tym czasie 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Matematyk powiedziałby, że droga jest funkcją liniową czasu. Funkcje liniowe zapisuje się wzorem y = a · x + b, a ich wykresem jest zawsze prosta. Liczba a mówi, o ile wzrośnie y, gdy x wzrośnie o jeden, i nazywa się współczynnikiem kierunkowym. Liczba b określa, na jakiej wysokości prosta przecina oś pionową. Nasz wzór s = v · t to funkcja liniowa, w której zamiast x jest czas, zamiast y droga, współczynnikiem kierunkowym jest prędkość, a b = 0, więc prosta przechodzi przez początek układu. Taka zależność to proporcjonalność prosta: w dwa razy dłuższym czasie samochód przejedzie dwa razy dłuższą drogę, w trzy razy dłuższym trzy razy dłuższą.

Szybszy samochód, bardziej stromy wykres

Na moście nasz samochód z tempomatem wyprzedza ciężarówkę, która jedzie 72 km/h, czyli

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Czas i drogę obu pojazdów będziemy mierzyć od mostu, a oba wykresy narysujemy na jednym rysunku.

Czerwona prosta samochodu jest bardziej stroma niż niebieska prosta ciężarówki, bo samochód w każdej sekundzie przejeżdża więcej. Im bardziej stromy wykres drogi, tym szybszy ruch. Gdyby ciężarówka stała, jej wykres byłby poziomy, z nachyleniem zero.

Z wykresu można też odczytywać wartości, dlatego narysowaliśmy na nim siatkę. Dokąd dojedzie ciężarówka w 3 s? Na osi poziomej znajdujemy trójkę i po przerywanej linii idziemy w górę, aż natrafimy na niebieską prostą. Stamtąd kierujemy się w lewo na oś pionową i odczytujemy 60 m. Odwrotnie: zapytajmy, kiedy samochód będzie 120 m za mostem. Na osi pionowej znajdujemy 120, idziemy w prawo do czerwonej prostej, a potem w dół na oś czasu: po 4 s. Jedno i drugie możemy sprawdzić rachunkiem:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Pionowa odległość między prostymi pokazuje, o ile samochód wyprzedza ciężarówkę. Po sześciu sekundach jest to 180 m − 120 m = 60 m. Przewaga rośnie w każdej sekundzie o 10 m, a to dokładnie różnica obu prędkości, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Gdy samochód nie startuje od zera

Do tej pory mierzyliśmy drogę od miejsca, w którym włączyliśmy stoper. Często jednak włączamy stoper dopiero wtedy, gdy ciało ma już kawałek drogi za sobą. Wzdłuż autostrady stoją słupki kilometrowe z liczbami, które pokazują, ile kilometrów jest od początku autostrady. Samochód mija 21. kilometr i od tej chwili jedzie ze stałą prędkością 90 km/h. Na którym kilometrze będzie za dwie godziny?

W dwie godziny przejedzie 90 km/h · 2 h = 180 km. Na słupku nie będzie jednak 180, bo samochód nie wyjechał od zera. Liczymy tak, jakby w chwili włączenia stopera miał już za sobą 21 km, bo słupki mierzą od początku autostrady. Tę drogę nazywamy drogą początkową i oznaczamy s₀. Drogę w chwili t dostajemy, dodając do drogi początkowej to, co samochód przejechał od włączenia stopera:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Podstawiamy:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Za dwie godziny samochód będzie na 201. kilometrze. Gdy droga początkowa jest zerowa, dostajemy wyjściowy wzór s = v · t.

Wykres nie zaczyna się już w początku układu, ale na osi pionowej na wysokości s₀ = 21 km, którą pokazuje niebieski odcinek. Nachylenie to nadal prędkość, w każdej godzinie wykres wznosi się o 90 km. Szara przerywana prosta to wykres samochodu, który jedzie równie szybko, ale wyjechał z początku autostrady. Obie proste są równoległe, bo mają to samo nachylenie. Czerwona jest tylko o s₀ wyżej. W języku funkcji liniowej y = a · x + b liczba a to prędkość, a b to droga początkowa.

Odwróćmy to: kiedy samochód dojedzie do 156. kilometra? Kusi, żeby podzielić 156 przez dziewięćdziesiąt, ale w ten sposób obliczylibyśmy, po jakim czasie dojechałby tam z początku autostrady. Wyjdziemy od wzoru i wyznaczymy z niego czas:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Podstawiamy:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Do 156. kilometra samochód dojedzie po półtorej godziny, czyli po 1 h i 30 min.

Liczba ze słupka, ściśle biorąc, nie mówi, jaką drogę samochód przejechał, tylko gdzie na autostradzie się znajduje. Dopóki samochód jedzie tylko do przodu, to to samo co droga, którą przejechałby od początku autostrady. Dlaczego to ma znaczenie, zobaczymy na końcu artykułu.

Wykres prędkości

Na wykresie możemy przedstawić także prędkość. Samochód z tempomatem jedzie cały czas 30 m/s, niezależnie od chwili, dlatego wykres jego prędkości to pozioma linia na wysokości 30.

Drogi nie znajdziemy na żadnej osi tego wykresu. Jest ukryta w polu pod wykresem. Pod linią w ciągu pierwszych dziesięciu sekund powstał czerwony prostokąt o szerokości 10 s i wysokości 30 m/s. Jego pole, szerokość razy wysokość, wynosi

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

To dokładnie droga s = v · t, którą samochód przejeżdża w dziesięć sekund. Pole nie wychodzi tu w metrach kwadratowych, tylko w metrach, bo boki prostokąta nie są długościami, ale prędkością i czasem. Białe linie dzielą prostokąt na dziesięć pasków, po jednym na każdą sekundę. Każdy ma pole 30 m/s · 1 s = 30 m, tak samo jak trzydzieści metrów dzieli sąsiednie znaki na jezdni w animacji na początku.

Po co zawracać sobie głowę polem, skoro wystarczy pomnożyć? Bo pole pod wykresem prędkości oznacza drogę także wtedy, gdy wykres nie jest poziomy. Gdy dojdziemy do ruchu przyspieszonego, wykres prędkości będzie się wznosił, a pod nim zamiast prostokąta będzie trójkąt albo trapez. Drogę obliczymy wtedy jako ich pole i wystarczą do tego wzory na pole trójkąta i prostokąta, bo trapez da się na nie podzielić.

Stoi czy jedzie z powrotem?

Antek rano wyrusza rowerem z domu prostą drogą. Przez dwie godziny jedzie ze stałą prędkością 20 km/h, potem przez godzinę je obiad w gospodzie, a na koniec z tą samą prędkością wraca do domu.

Na osi pionowej tym razem nie ma drogi, tylko położenie. Wzdłuż drogi rozciągamy oś x, a jej początek umieszczamy w domu Antka. Położenie x mówi wtedy, jak daleko od domu wzdłuż drogi jest Antek, tak jak słupek kilometrowy pokazuje, gdzie na drodze jest samochód. Szara przerywana linia to droga, którą Antek przejechał i którą pokazuje licznik rowerowy na kierownicy. Do końca obiadu pokrywa się z położeniem. Czerwony odcinek już znamy. W dwie godziny Antek przejeżdża 40 km, a wykres wznosi się z nachyleniem 20 km/h.

Niebieski odcinek jest poziomy. Czas płynie, ale Antek pozostaje 40 km od domu, więc stoi. Poziomy wykres oznacza spoczynek, nachylenie jest zerowe i prędkość też.

Zielony odcinek opada. Antek wraca, a jego położenie x w każdej godzinie zmniejsza się o 20 km. Opadający wykres oznacza ruch z powrotem. Jak szybko Antek jedzie, poznamy po tym, o ile wykres opada w ciągu godziny, tutaj o 20 km, więc jedzie 20 km/h. Prędkość ma teraz przeciwny zwrot niż rano. Dlatego fizycy przypisują jej czasem znak minus, który mówi, że położenie x z czasem maleje.

Teraz widać, dlaczego przy słupkach kilometrowych odróżnialiśmy, gdzie ciało jest i jaką drogę przebyło. Licznik rowerowy mierzy drogę, a ta z czasem nigdy nie maleje. Przerywana linia po obiedzie dalej więc rośnie i wieczorem kończy się na 80 km, podczas gdy wykres położenia skończył się na zerze, bo Antek jest znowu w domu. Przy jeździe w jedną stronę położenie i droga różnią się tylko o wartość początkową, dlatego przy słupkach kilometrowych wystarczył wzór na drogę s = s₀ + v · t. Gdy ciało zawraca, musimy posługiwać się położeniem.

Cała wycieczka Antka nie jest ruchem jednostajnym, składa się z trzech jednostajnych kawałków. Prędkość średnia z całego dnia to całkowita droga podzielona przez całkowity czas, razem z obiadem. Całkowita droga to nie położenie końcowe, bo ono jest zerowe. To 80 km, na których kończy się przerywany wykres, czyli 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_{\mathrm{ś}\mathrm{r}}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Pionowego odcinka na wykresie nigdy nie będzie. Oznaczałby, że Antek w zerowym czasie przeniósł się o kawałek dalej. A wykres, który zawracałby w lewo, oznaczałby, że Antkowi czas płynie wstecz. Ani jedno, ani drugie nikomu się dotąd nie udało.

Kalkulator

Pierwszy kalkulator obliczy drogę z prędkości i czasu, drugi czas z drogi i prędkości. Wstępnie wpisane wartości pochodzą z przykładów w artykule: dziesięć sekund z tempomatem na 108 km/h i podróż z Warszawy do Białegostoku ze stałą prędkością stu kilometrów na godzinę.

Za pomocą wzoru s = s₀ + v · t i wykresu drogi można rozwiązywać także zadania tekstowe, w których jeden samochód dogania drugi albo dwa pociągi jadą naprzeciw siebie. Każdy pojazd ma na wykresie swoją prostą, a miejsce, w którym się spotykają, to punkt przecięcia prostych. Do takich zadań jeszcze dojdziemy.

Zanim się do nich zabierzemy, w artykule Jak rozwiązywać zadania z kinematyki i dynamiki przejdziemy przez sposób postępowania, który opłaca się przy każdym zadaniu z fizyki: zapis danych, zamianę jednostek, szkic i rozwiązanie ogólne.