Mișcarea rectilinie uniformă

Pe autostradă pornești tempomatul la 108 km/h. Mașina merge acum tot timpul la fel de repede, drept înainte, iar acul vitezometrului nu se clintește. Câți metri parcurge într-o secundă? Viteza o transformăm în metri pe secundă, adică o împărțim la numărul 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

În fiecare secundă mașina parcurge 30 m. În două secunde 60 m, în trei 90 m și tot așa mai departe, cu fiecare secundă cu treizeci de metri mai mult.

În stânga vedem șoseaua de sus, mașina merge pe ea în sus. Mașina noastră lasă în urmă în fiecare secundă întreagă un semn portocaliu pe șosea, de exemplu o picătură de vopsea. Toate semnele sunt la aceeași distanță unul de altul, la 30 m, pentru că mașina parcurge în fiecare secundă aceeași distanță. În dreapta este graficul. Pe axa orizontală este timpul t în secunde, pe cea verticală distanța s în metri pe care a parcurs-o mașina de la primul semn. Axa verticală are aceeași scară ca șoseaua, așa că punctul roșu din grafic se află mereu la aceeași înălțime cu mașina. În animație trec șase secunde de mers și cu fiecare secundă se adaugă un semn pe șosea și un punct portocaliu în grafic.

Mișcarea pe o dreaptă în care modulul vitezei corpului nu se schimbă o numim mișcare rectilinie uniformă. Mișcare rectilinie este mișcarea a cărei traiectorie este o dreaptă. Uniformă este cea în care corpul parcurge în intervale de timp la fel de lungi aceleași distanțe, ceea ce este același lucru cu modulul constant al vitezei momentane. O mașină care merge cu viteză constantă pe o dreaptă nu poate vira, pentru că ar ieși de pe dreaptă, și nu se poate nici întoarce înapoi, pentru că ar trebui să încetinească până la zero. Nu se schimbă deci nici direcția vitezei ei. Spre deosebire de mașina din sensul giratoriu, rămâne constantă toată viteza ca vector, adică și modulul, și direcția.

Nimic nu se mișcă exact așa: mereu bate puțin vântul sau șoseaua urcă la deal. Mașina cu tempomat pe o autostradă dreaptă, scara rulantă de la metrou sau trenul pe o linie dreaptă se apropie însă mult de mișcarea rectilinie uniformă.

Formula distanței

Dacă vrei doar formula, distanța s pe care o parcurge corpul în mișcare uniformă cu viteza v în timpul t o calculezi ca

$$s=v\cdot t$$

O deducem din formula vitezei $v=\frac{s}{t}$, pe care o cunoaștem deja. Ajunge să înmulțim ambele părți cu timpul t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Pe românește: dacă mașina parcurge în fiecare secundă 30 m, în zece secunde parcurge de zece ori mai mult. Într-un minut, adică în 60 s, mașina cu tempomat parcurge

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1.800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Cu unitățile de măsură calculăm ca cu numerele. Secundele de la numitor se simplifică cu cele cu care înmulțim și rămân metrii:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Dacă ți-ar ieși, de exemplu, metri ori secunde, știi că undeva s-a făcut o greșeală.

Atenție, formula s = v · t este valabilă doar pentru mișcarea uniformă. Când viteza variază, nu știm pe care dintre ele s-o luăm în formulă. Ne ajută doar viteza medie, s = v_m · t. Familia Popescu a mers spre Constanța în medie cu 82 km/h timp de 2,5 h, deci a parcurs 82 km/h · 2,5 h = 205 km, chiar dacă vitezometrul ei arăta tot felul de valori de la zero până la o sută treizeci.

Cât va dura?

Dacă formula s = v · t o împărțim la viteza v, obținem timpul:

$$t=\frac{s}{v}$$

De la București la Constanța duce autostrada A2 și măsoară aproximativ 205 km. Dacă mașina ar merge tot drumul cu viteza constantă de 100 km/h, drumul ar dura

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Autostrada nu este dreaptă ca rigla, dar formulei nu-i pasă. Distanța se măsoară de-a lungul traiectoriei, așa că s = v · t este valabilă pentru orice mișcare uniformă, și pentru mașina care trece cu viteză constantă prin curbe.

Cât sunt 2,05 h în ore și minute? Sigur nu două ore și cinci minute. Ora are șaizeci de minute, nu o sută. Cele două ore întregi le lăsăm și cele cinci sutimi de oră rămase le transformăm în minute:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Drumul ar dura 2 h și 3 min.

Rămâne a treia mărime, viteza. Pe aceasta o calculăm cu formula $v=\frac{s}{t}$. Daria merge cu bicicleta pe o pistă de biciclete dreaptă, pe malul Dâmboviței, mereu în același ritm, și parcurge 6 km în 20 min. Douăzeci de minute sunt o treime de oră:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Împărțirea la o treime este același lucru cu înmulțirea cu trei, de aceea a ieșit 6 · 3 = 18. Cine nu iubește fracțiile transformă totul în metri și secunde. Douăzeci de minute sunt 20 · 60 s = 1.200 s:

$$v=\frac{6.000\mathrm{m}}{1.200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ambele căi dau același lucru, pentru că 5 m/s ori 3,6 este 18 km/h.

Graficul distanței este o dreaptă

Să trecem într-un tabel distanțele mașinii cu tempomat din introducere:

Fiecare rând al tabelului este un punct al graficului: timpul îl măsurăm pe axa orizontală, distanța pe cea verticală. Exact așa au apărut punctele portocalii din animația de sus. Toate se află pe o dreaptă care pornește din origine. De ce tocmai pe o dreaptă?

De la fiecare punct la următorul duce aceeași treaptă: cu o secundă spre dreapta (cu albastru) și cu 30 m în sus (cu roșu). Treptele sunt toate la fel de late și la fel de înalte, așa că segmentele care unesc punctele vecine au aceeași înclinare și se continuă unele pe altele fără frângere. Toate punctele se află deci pe o singură linie dreaptă. Dacă mașina ar fi accelerat undeva, acolo ar fi o treaptă mai înaltă și linia s-ar frânge în sus. Același lucru este valabil și între secundele întregi. În jumătate de secundă mașina parcurge 15 m, într-o zecime de secundă 3 m, iar toate aceste puncte se află pe aceeași dreaptă. De aceea desenăm graficul cu linie continuă, nu doar ca șapte puncte.

Cât de abruptă este dreapta aflăm după cât urcă atunci când ne deplasăm puțin spre dreapta. Lățimea treptei, adică variația timpului, o scriem Δt, iar înălțimea treptei, variația distanței, Δs. Raportul lor ne dă panta:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

A ieșit un număr pe care îl știm deja: viteza mașinii. Panta graficului distanței este viteza. Este exact formula $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ pentru viteza momentană, doar că la mișcarea uniformă nu trebuie să avem grijă ca tronsonul să fie scurt. Dacă luăm o bucată mai mare din grafic, panta iese la fel. Între prima și a cincea secundă au trecut 4 s și mașina a parcurs în ele 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Un matematician ar spune că distanța este o funcție liniară de timp. Funcțiile liniare se scriu cu formula y = a · x + b și graficul lor este întotdeauna o dreaptă. Numărul a spune cu cât crește y când x crește cu unu și se numește pantă. Numărul b determină la ce înălțime taie dreapta axa verticală. Formula noastră s = v · t este o funcție liniară în care în locul lui x este timpul, în locul lui y distanța, panta este viteza și b = 0, așa că dreapta trece prin origine. O astfel de dependență este o proporționalitate directă: într-un timp de două ori mai lung mașina parcurge o distanță de două ori mai lungă, într-un timp de trei ori mai lung una de trei ori mai lungă.

Mașină mai rapidă, grafic mai abrupt

Pe pod, mașina noastră cu tempomat depășește un camion care merge cu 72 km/h, adică

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Atât timpul, cât și distanța ambelor le vom măsura de la pod, iar ambele grafice le desenăm în aceeași figură.

Dreapta roșie a mașinii este mai abruptă decât dreapta albastră a camionului, pentru că mașina parcurge mai mult în fiecare secundă. Cu cât graficul distanței este mai abrupt, cu atât mișcarea este mai rapidă. Dacă camionul ar sta pe loc, graficul lui ar fi orizontal, cu panta zero.

Din grafic se pot și citi valori, de aceea am desenat în el o grilă. Unde ajunge camionul în 3 s? Pe axa orizontală găsim trei și urcăm pe linia punctată până dăm de dreapta albastră. De acolo mergem spre stânga, la axa verticală, și citim 60 m. Invers, întrebăm când va fi mașina la 120 m după pod. Pe axa verticală găsim 120, mergem spre dreapta până la dreapta roșie și apoi în jos, pe axa timpului: în 4 s. Pe amândouă le putem verifica prin calcul:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Distanța pe verticală dintre drepte arată cu cât este mașina în fața camionului. După șase secunde este 180 m − 120 m = 60 m. Avansul crește în fiecare secundă cu 10 m, ceea ce este exact diferența dintre cele două viteze, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Când mașina nu pornește de la zero

Până acum am măsurat distanța de la locul unde am pornit cronometrul. Cronometrul însă îl pornim adesea abia când corpul are deja o bucată de drum în spate. De-a lungul autostrăzii A2 stau bornele kilometrice, stâlpișori cu numere, care arată câți kilometri sunt de la începutul autostrăzii, de la București. Lângă București mașina trece de kilometrul 21 și din acel moment merge cu viteza constantă de 90 km/h. La ce kilometru va fi peste două ore?

În două ore parcurge 90 km/h · 2 h = 180 km. Pe bornă nu va fi însă 180, pentru că mașina nu a pornit de la zero. Calculăm ca și cum în momentul în care am pornit cronometrul ar fi avut deja în spate 21 km, pentru că borna măsoară de la începutul autostrăzii. Această distanță se numește distanță inițială și se notează s₀. Distanța la momentul t o obținem adunând la distanța inițială ce a parcurs mașina de la pornirea cronometrului:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Înlocuim:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Peste două ore mașina va fi la kilometrul 201. Când distanța inițială este nulă, obținem formula inițială s = v · t.

Graficul nu mai începe în origine, ci pe axa verticală, la înălțimea s₀ = 21 km, pe care o arată segmentul albastru. Panta este în continuare viteza, în fiecare oră graficul urcă cu 90 km. Dreapta gri punctată este graficul mașinii care merge la fel de repede, dar a pornit de la începutul autostrăzii. Cele două drepte sunt paralele, pentru că au aceeași pantă. Cea roșie este mai sus doar cu s₀. În limbajul funcției liniare y = a · x + b, a este viteza și b distanța inițială.

Să întoarcem problema: când ajunge mașina la kilometrul 156? Ești tentat să împarți 156 la nouăzeci, dar așa am afla în cât timp ar ajunge de la începutul autostrăzii. Pornim de la formulă și exprimăm din ea timpul:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Înlocuim:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

La kilometrul 156 mașina ajunge într-o oră și jumătate, adică în 1 h și 30 min.

Numărul de pe bornă nu spune, strict vorbind, ce distanță a parcurs mașina, ci unde se află pe autostradă. Cât timp mașina merge doar înainte, este același lucru cu distanța pe care ar fi parcurs-o de la începutul autostrăzii. De ce contează asta, vom vedea la sfârșitul articolului.

Graficul vitezei

În grafic putem desena și viteza. Mașina cu tempomat merge tot timpul cu 30 m/s, oricare ar fi timpul, și de aceea graficul vitezei ei este o linie orizontală la înălțimea 30.

Distanța nu o găsim pe nicio axă a acestui grafic. Ea este ascunsă în aria de sub grafic. Sub linie, pentru primele zece secunde, s-a format un dreptunghi roșu lat de 10 s și înalt de 30 m/s. Aria lui, lățime ori înălțime, este

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Aceasta este exact distanța s = v · t pe care mașina o parcurge în zece secunde. Aria nu iese aici în metri pătrați, ci în metri, pentru că laturile dreptunghiului nu sunt lungimi, ci viteză și timp. Liniile albe împart dreptunghiul în zece fâșii, câte una pentru fiecare secundă. Fiecare are aria 30 m/s · 1 s = 30 m, la fel cum sunt treizeci de metri între semnele vecine de pe șosea din animația de la început.

De ce să ne complicăm cu aria, când ajunge să înmulțim? Pentru că aria de sub graficul vitezei înseamnă distanță și atunci când graficul nu este orizontal. Când ajungem la mișcarea accelerată, graficul vitezei va urca și sub el va fi în loc de dreptunghi un triunghi sau un trapez. Distanța o vom calcula atunci ca aria lor și ne ajung formulele pentru aria triunghiului și a dreptunghiului, trapezul se poate descompune în ele.

Stă sau merge înapoi?

Tudor pornește dimineața cu bicicleta de acasă pe o șosea dreaptă. Două ore merge cu viteza constantă de 20 km/h, apoi stă o oră la masă la un restaurant și în final se întoarce acasă cu aceeași viteză.

Pe axa verticală de data aceasta nu este distanța, ci poziția. De-a lungul șoselei întindem axa Ox și punem originea la casa lui Tudor. Poziția x spune atunci cât de departe de casă, pe șosea, se află Tudor, așa cum borna kilometrică arată unde se află mașina pe șosea. Linia gri punctată este distanța pe care a parcurs-o Tudor și pe care o arată ciclocomputerul de la ghidon. Până la sfârșitul mesei se suprapune peste poziție. Tronsonul roșu îl cunoaștem deja. În două ore Tudor parcurge 40 km și graficul urcă cu panta 20 km/h.

Tronsonul albastru este orizontal. Timpul trece, dar Tudor rămâne la 40 km de casă, deci stă. Un grafic orizontal înseamnă repaus, panta este zero și viteza la fel.

Tronsonul verde coboară. Tudor se întoarce, iar poziția lui x scade în fiecare oră cu 20 km. Un grafic descendent înseamnă mișcare înapoi. Cât de repede merge Tudor aflăm după cât coboară graficul într-o oră, aici cu 20 km, deci merge cu 20 km/h. Viteza are acum sens opus față de dimineață. De aceea fizicienii îi atribuie uneori semnul minus, care spune că poziția x scade în timp.

Acum se vede de ce la borna kilometrică am deosebit unde se află corpul de ce distanță a parcurs. Ciclocomputerul măsoară distanța parcursă, iar aceasta nu scade niciodată în timp. De aceea linia punctată continuă să urce după masă și seara se termină la 80 km, în timp ce graficul poziției s-a terminat la zero, pentru că Tudor este iar acasă. La mersul într-un singur sens, poziția și distanța parcursă diferă doar printr-o valoare inițială, de aceea la bornă a fost de ajuns formula distanței s = s₀ + v · t. Când corpul se întoarce, trebuie să calculăm cu poziția.

Excursia lui Tudor, luată în întregime, nu este uniformă, ea se compune din trei bucăți uniforme. Viteza medie pe toată ziua este distanța totală împărțită la timpul total, cu masa cu tot. Distanța totală nu este poziția finală, aceea este nulă. Este 80 km, unde se termină graficul punctat, adică 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_m=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Un tronson vertical în grafic nu va exista niciodată. Ar însemna că Tudor s-a mutat mai departe într-un timp nul. Iar un grafic care s-ar întoarce spre stânga ar însemna că pentru Tudor timpul curge înapoi. Niciuna dintre ele nu i-a reușit încă nimănui.

Calculator

Primul calculator calculează distanța din viteză și timp, al doilea timpul din distanță și viteză. Valorile precompletate provin din exemplele din articol: zece secunde cu tempomatul la 108 km/h și drumul de la București la Constanța cu viteza constantă de o sută.

Cu formula s = s₀ + v · t și cu graficul distanței se pot rezolva și probleme cu text în care o mașină ajunge din urmă alta sau două trenuri merg unul spre celălalt. Fiecare vehicul are în grafic dreapta lui, iar locul unde se întâlnesc este punctul de intersecție al dreptelor. La astfel de probleme mai ajungem.

Până să trecem la ele, parcurgem în articolul Cum rezolvi probleme de cinematică și dinamică un procedeu care merită la orice problemă de fizică: notarea datelor, transformarea unităților, schița și rezolvarea generală.