Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Στον αυτοκινητόδρομο ενεργοποιείς τον ρυθμιστή ταχύτητας στα 108 km/h. Το αυτοκίνητο κινείται τώρα όλη την ώρα το ίδιο γρήγορα, ευθεία μπροστά, και η βελόνα του κοντέρ δεν κουνιέται καθόλου. Πόσα μέτρα διανύει σε ένα δευτερόλεπτο; Την ταχύτητα τη μετατρέπουμε σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, δηλαδή τη διαιρούμε με τον αριθμό 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Κάθε δευτερόλεπτο το αυτοκίνητο διανύει 30 m. Σε δύο δευτερόλεπτα 60 m, σε τρία 90 m, και ούτω καθεξής, με κάθε δευτερόλεπτο τριάντα μέτρα παραπάνω.

Αριστερά βλέπουμε τον δρόμο από ψηλά, το αυτοκίνητο κινείται πάνω σε αυτόν προς τα πάνω. Το αυτοκίνητό μας αφήνει πίσω του σε κάθε ακέραιο δευτερόλεπτο ένα πορτοκαλί σημάδι στον δρόμο, για παράδειγμα μια σταγόνα μπογιά. Όλα τα σημάδια απέχουν μεταξύ τους εξίσου, 30 m, επειδή το αυτοκίνητο σε κάθε δευτερόλεπτο διανύει το ίδιο διάστημα. Δεξιά είναι η γραφική παράσταση. Στον οριζόντιο άξονα είναι ο χρόνος t σε δευτερόλεπτα, στον κατακόρυφο το διάστημα s σε μέτρα, που διήνυσε το αυτοκίνητο από το πρώτο σημάδι. Ο κατακόρυφος άξονας έχει την ίδια κλίμακα με τον δρόμο, γι' αυτό το κόκκινο σημείο στη γραφική παράσταση βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο ύψος με το αυτοκίνητο. Στην κινούμενη εικόνα περνούν έξι δευτερόλεπτα οδήγησης και με κάθε δευτερόλεπτο προστίθεται ένα σημάδι στον δρόμο και ένα πορτοκαλί σημείο στη γραφική παράσταση.

Την κίνηση σε ευθεία, κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του σώματος δεν αλλάζει, τη λέμε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Ευθύγραμμη είναι η κίνηση της οποίας η τροχιά είναι ευθεία. Ομαλή είναι εκείνη κατά την οποία το σώμα σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα, κάτι που ισοδυναμεί με σταθερό μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα σε ευθεία δεν μπορεί να στρίψει, γιατί θα έβγαινε από την ευθεία, και δεν μπορεί ούτε να γυρίσει πίσω, γιατί για να γίνει αυτό θα έπρεπε να επιβραδύνει ως το μηδέν. Δεν αλλάζει λοιπόν ούτε η κατεύθυνση της ταχύτητάς του. Σε αντίθεση με το αυτοκίνητο στον κυκλικό κόμβο, σταθερή μένει ολόκληρη η ταχύτητα ως διάνυσμα, δηλαδή και το μέτρο και η κατεύθυνση.

Με απόλυτη ακρίβεια δεν κινείται έτσι τίποτα: πάντα θα φυσήξει λίγο ο άνεμος ή ο δρόμος θα έχει κάποια ανηφόρα. Ένα αυτοκίνητο με ρυθμιστή ταχύτητας σε ευθύ αυτοκινητόδρομο, μια κυλιόμενη σκάλα στο μετρό ή ένα τρένο σε ευθεία γραμμή πλησιάζουν όμως πολύ την ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Ο τύπος του διαστήματος

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, το διάστημα s που διανύει ένα σώμα με ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ σε χρόνο t το βρίσκεις ως

$$s=\upsilon \cdot t$$

Τον εξάγουμε από τον τύπο της ταχύτητας $\upsilon =\frac{s}{t}$, που τον ξέρουμε ήδη. Αρκεί να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με τον χρόνο t:

$$\begin{array}{rcl}\upsilon & =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ \upsilon \cdot t& =& s\end{array}$$

Με απλά λόγια: αν το αυτοκίνητο διανύει κάθε δευτερόλεπτο 30 m, σε δέκα δευτερόλεπτα διανύει δεκαπλάσιο διάστημα. Σε ένα λεπτό, δηλαδή σε 60 s, το αυτοκίνητο με ρυθμιστή ταχύτητας διανύει

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1.800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Με τις μονάδες υπολογίζουμε όπως με τους αριθμούς. Τα δευτερόλεπτα στον παρονομαστή απλοποιούνται με αυτά με τα οποία πολλαπλασιάζουμε και μένουν μέτρα:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Αν σου έβγαιναν για παράδειγμα μέτρα επί δευτερόλεπτα, ξέρεις ότι κάπου έγινε λάθος.

Προσοχή, ο τύπος s = υ · t ισχύει μόνο για ομαλή κίνηση. Όταν η ταχύτητα κυμαίνεται, δεν ξέρουμε ποια από τις τιμές της να βάλουμε στον τύπο. Μας βοηθά μόνο η μέση ταχύτητα, s = υ_μ · t. Οι Παπαδόπουλοι πήγαν στην Πάτρα με μέση ταχύτητα 82 km/h επί 2,5 h, άρα διήνυσαν 82 km/h · 2,5 h = 205 km, παρότι το κοντέρ τους έδειχνε κάθε τιμή από μηδέν ως εκατόν τριάντα.

Πόσο θα διαρκέσει;

Όταν διαιρέσουμε τον τύπο s = υ · t με την ταχύτητα υ, βρίσκουμε τον χρόνο:

$$t=\frac{s}{\upsilon }$$

Η Ολυμπία Οδός από την Αθήνα στην Πάτρα έχει μήκος περίπου 205 km. Αν το αυτοκίνητο κινούνταν όλη τη διαδρομή με σταθερή ταχύτητα 100 km/h, η διαδρομή θα διαρκούσε

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Ο αυτοκινητόδρομος βέβαια δεν είναι ίσιος σαν χάρακας, αυτό όμως δεν πειράζει τον τύπο. Το διάστημα μετριέται κατά μήκος της τροχιάς, άρα το s = υ · t ισχύει για κάθε ομαλή κίνηση, και για το αυτοκίνητο που περνά τις στροφές με σταθερή ταχύτητα.

Πόσο είναι τα 2,05 h σε ώρες και λεπτά; Σίγουρα όχι δύο ώρες και πέντε λεπτά. Η ώρα έχει εξήντα λεπτά, όχι εκατό. Κρατάμε τις δύο ακέραιες ώρες και τα υπόλοιπα πέντε εκατοστά της ώρας τα μετατρέπουμε σε λεπτά:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Η διαδρομή θα διαρκούσε 2 h και 3 min.

Μένει το τρίτο μέγεθος, η ταχύτητα. Την υπολογίζουμε με τον τύπο $\upsilon =\frac{s}{t}$. Η Ελισάβετ κινείται με το ποδήλατο σε ευθύ ποδηλατόδρομο στη Νέα Παραλία της Θεσσαλονίκης πάντα με τον ίδιο ρυθμό και διανύει 6 km σε 20 min. Είκοσι λεπτά είναι το ένα τρίτο της ώρας:

$$\upsilon =\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Η διαίρεση με το ένα τρίτο είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό με το τρία, γι' αυτό βγήκε 6 · 3 = 18. Όποιος δεν αγαπά τα κλάσματα, τα μετατρέπει όλα σε μέτρα και δευτερόλεπτα. Είκοσι λεπτά είναι 20 · 60 s = 1.200 s:

$$\upsilon =\frac{6.000\mathrm{m}}{1.200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Και οι δύο δρόμοι δίνουν το ίδιο, επειδή τα 5 m/s επί 3,6 είναι 18 km/h.

Η γραφική παράσταση του διαστήματος είναι ευθεία

Γράφουμε σε πίνακα τα διαστήματα του αυτοκινήτου με ρυθμιστή ταχύτητας από την εισαγωγή:

Κάθε γραμμή του πίνακα είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης: τον χρόνο τον μετράμε στον οριζόντιο άξονα, το διάστημα στον κατακόρυφο. Ακριβώς έτσι προέκυψαν τα πορτοκαλί σημεία στην κινούμενη εικόνα πάνω. Βρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία, που ξεκινά από την αρχή των αξόνων. Γιατί ακριβώς σε ευθεία;

Από κάθε σημείο στο επόμενο υπάρχει το ίδιο σκαλοπάτι: ένα δευτερόλεπτο προς τα δεξιά (με μπλε) και 30 m προς τα πάνω (με κόκκινο). Τα σκαλοπάτια είναι όλα εξίσου πλατιά και εξίσου ψηλά, άρα τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν διαδοχικά σημεία έχουν την ίδια κλίση και συνεχίζονται το ένα μετά το άλλο χωρίς σπάσιμο. Όλα τα σημεία βρίσκονται επομένως στην ίδια ευθεία γραμμή. Αν το αυτοκίνητο είχε κάπου επιταχύνει, εκεί θα υπήρχε ψηλότερο σκαλοπάτι και η γραμμή θα έσπαγε προς τα πάνω. Το ίδιο ισχύει και ανάμεσα στα ακέραια δευτερόλεπτα. Σε μισό δευτερόλεπτο το αυτοκίνητο διανύει 15 m, σε ένα δέκατο του δευτερολέπτου 3 m, και όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Γι' αυτό τη γραφική παράσταση τη σχεδιάζουμε με συνεχή γραμμή, όχι μόνο ως επτά τελείες.

Πόσο απότομη είναι η ευθεία το καταλαβαίνουμε από το πόσο ανεβαίνει, όταν μετακινηθούμε λίγο προς τα δεξιά. Το πλάτος του σκαλοπατιού, δηλαδή τη μεταβολή του χρόνου, το γράφουμε Δt και το ύψος του σκαλοπατιού, τη μεταβολή του διαστήματος, Δs. Το πηλίκο τους μας δίνει την κλίση:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Βγήκε ένας αριθμός που τον ξέρουμε ήδη: η ταχύτητα του αυτοκινήτου. Η κλίση της γραφικής παράστασης του διαστήματος είναι η ταχύτητα. Είναι ακριβώς ο τύπος $\upsilon =\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ για τη στιγμιαία ταχύτητα, μόνο που στην ομαλή κίνηση δεν χρειάζεται να προσέχουμε το τμήμα να είναι μικρό. Αν πάρουμε μεγαλύτερο κομμάτι της γραφικής παράστασης, η κλίση βγαίνει η ίδια. Ανάμεσα στο πρώτο και το πέμπτο δευτερόλεπτο πέρασαν 4 s και το αυτοκίνητο σε αυτά διήνυσε 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι το διάστημα είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Οι γραμμικές συναρτήσεις γράφονται με τον τύπο y = λ · x + β και η γραφική τους παράσταση είναι πάντα ευθεία. Ο αριθμός λ λέει πόσο αυξάνεται το y, όταν το x αυξάνεται κατά ένα, και ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης. Ο αριθμός β καθορίζει σε ποιο ύψος η ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα. Ο τύπος μας s = υ · t είναι γραμμική συνάρτηση, στην οποία στη θέση του x βρίσκεται ο χρόνος, στη θέση του y το διάστημα, ο συντελεστής διεύθυνσης είναι η ταχύτητα και β = 0, άρα η ευθεία περνά από την αρχή των αξόνων. Σε μια τέτοια σχέση τα δύο ποσά είναι ανάλογα: σε διπλάσιο χρόνο το αυτοκίνητο διανύει διπλάσιο διάστημα, σε τριπλάσιο τριπλάσιο.

Πιο γρήγορο αυτοκίνητο, πιο απότομη γραφική παράσταση

Πάνω στη γέφυρα το αυτοκίνητό μας με ρυθμιστή ταχύτητας προσπερνά ένα φορτηγό που κινείται με 72 km/h, δηλαδή

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Τον χρόνο και το διάστημα και των δύο θα τα μετράμε από τη γέφυρα και τις δύο γραφικές παραστάσεις θα τις σχεδιάσουμε στην ίδια εικόνα.

Η κόκκινη ευθεία του αυτοκινήτου είναι πιο απότομη από την μπλε ευθεία του φορτηγού, επειδή το αυτοκίνητο κάθε δευτερόλεπτο διανύει περισσότερο. Όσο πιο απότομη η γραφική παράσταση του διαστήματος, τόσο πιο γρήγορη η κίνηση. Αν το φορτηγό στεκόταν, η γραφική του παράσταση θα ήταν οριζόντια, με κλίση μηδέν.

Από τη γραφική παράσταση μπορούμε να διαβάσουμε και τιμές, γι' αυτό σχεδιάσαμε σε αυτήν πλέγμα. Πού θα φτάσει το φορτηγό σε 3 s; Στον οριζόντιο άξονα βρίσκουμε το τρία και ανεβαίνουμε κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής, ώσπου να συναντήσουμε την μπλε ευθεία. Από εκεί κατευθυνόμαστε προς τα αριστερά στον κατακόρυφο άξονα και διαβάζουμε 60 m. Αντίστροφα, ρωτάμε πότε θα βρίσκεται το αυτοκίνητο 120 m μετά τη γέφυρα. Στον κατακόρυφο άξονα βρίσκουμε το 120, πηγαίνουμε προς τα δεξιά ως την κόκκινη ευθεία και μετά προς τα κάτω στον άξονα του χρόνου: σε 4 s. Και τα δύο μπορούμε να τα επαληθεύσουμε με υπολογισμό:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Η κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στις ευθείες δείχνει πόσο μπροστά από το φορτηγό βρίσκεται το αυτοκίνητο. Μετά από έξι δευτερόλεπτα είναι 180 m − 120 m = 60 m. Το προβάδισμα κάθε δευτερόλεπτο αυξάνεται κατά 10 m, που είναι ακριβώς η διαφορά των δύο ταχυτήτων, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Όταν το αυτοκίνητο δεν ξεκινά από το μηδέν

Μέχρι τώρα μετρούσαμε το διάστημα από το σημείο όπου ξεκινήσαμε το χρονόμετρο. Το χρονόμετρο όμως το ενεργοποιούμε συχνά αφού το σώμα έχει ήδη διανύσει ένα κομμάτι της διαδρομής. Δίπλα στην Ολυμπία Οδό στέκονται οι χιλιομετρικές πινακίδες, στύλοι με αριθμούς που δείχνουν πόσα χιλιόμετρα είναι από την αρχή του αυτοκινητόδρομου στην Αθήνα. Στο ύψος της Ελευσίνας το αυτοκίνητο περνά από το 21ο χιλιόμετρο και από εκείνη τη στιγμή κινείται με σταθερή ταχύτητα 90 km/h. Σε ποιο χιλιόμετρο θα βρίσκεται σε δύο ώρες;

Σε δύο ώρες διανύει 90 km/h · 2 h = 180 km. Στην πινακίδα όμως δεν θα γράφει 180, επειδή το αυτοκίνητο δεν ξεκίνησε από το μηδέν. Υπολογίζουμε σαν να είχε ήδη διανύσει 21 km τη στιγμή που ενεργοποιήσαμε το χρονόμετρο, αφού η πινακίδα μετράει από την αρχή του αυτοκινητόδρομου. Αυτό το διάστημα το λέμε αρχικό διάστημα και το συμβολίζουμε s₀. Το διάστημα τη χρονική στιγμή t το βρίσκουμε προσθέτοντας στο αρχικό διάστημα όσο διήνυσε το αυτοκίνητο από την ενεργοποίηση του χρονομέτρου:

$$s=s_0+\upsilon \cdot t$$

Αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Σε δύο ώρες το αυτοκίνητο θα βρίσκεται στο 201ο χιλιόμετρο. Όταν το αρχικό διάστημα είναι μηδέν, παίρνουμε τον αρχικό τύπο s = υ · t.

Η γραφική παράσταση δεν ξεκινά πια από την αρχή των αξόνων, αλλά στον κατακόρυφο άξονα στο ύψος s₀ = 21 km, που το δείχνει το μπλε ευθύγραμμο τμήμα. Η κλίση είναι πάλι η ταχύτητα, κάθε ώρα η γραφική παράσταση ανεβαίνει κατά 90 km. Η γκρίζα διακεκομμένη ευθεία είναι η γραφική παράσταση ενός αυτοκινήτου που κινείται εξίσου γρήγορα, αλλά ξεκίνησε από την αρχή του αυτοκινητόδρομου. Οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, επειδή έχουν την ίδια κλίση. Η κόκκινη βρίσκεται απλώς κατά s₀ ψηλότερα. Στη γλώσσα της γραμμικής συνάρτησης y = λ · x + β το λ είναι η ταχύτητα και το β το αρχικό διάστημα.

Ας το αντιστρέψουμε: πότε θα φτάσει το αυτοκίνητο στο 156ο χιλιόμετρο; Μας βάζει στον πειρασμό να διαιρέσουμε το 156 με το ενενήντα, αλλά έτσι θα βρίσκαμε σε πόση ώρα θα έφτανε από την αρχή του αυτοκινητόδρομου. Ξεκινάμε από τον τύπο και εκφράζουμε από αυτόν τον χρόνο:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+\upsilon \cdot t& =& s/-s_0\\ \upsilon \cdot t& =& s-s_0/:\upsilon \\ t& =& \frac{s-s_0}{\upsilon }\end{array}$$

Αντικαθιστούμε:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Στο 156ο χιλιόμετρο το αυτοκίνητο φτάνει σε μιάμιση ώρα, δηλαδή σε 1 h και 30 min.

Ο αριθμός της πινακίδας, για να είμαστε ακριβείς, δεν λέει ποιο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνητο, αλλά πού βρίσκεται στον αυτοκινητόδρομο. Όσο το αυτοκίνητο κινείται μόνο προς τα εμπρός, είναι το ίδιο με το διάστημα που θα είχε διανύσει από την αρχή του αυτοκινητόδρομου. Γιατί έχει σημασία αυτό, θα το δούμε στο τέλος του άρθρου.

Γραφική παράσταση της ταχύτητας

Στη γραφική παράσταση μπορούμε να σχεδιάσουμε και την ταχύτητα. Το αυτοκίνητο με ρυθμιστή ταχύτητας κινείται συνέχεια με 30 m/s, όποιος κι αν είναι ο χρόνος, και γι' αυτό η γραφική παράσταση της ταχύτητάς του είναι μια οριζόντια γραμμή στο ύψος 30.

Το διάστημα δεν θα το βρούμε σε κανέναν άξονα αυτής της γραφικής παράστασης. Είναι κρυμμένο στο εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση. Κάτω από τη γραμμή για τα πρώτα δέκα δευτερόλεπτα σχηματίστηκε ένα κόκκινο ορθογώνιο με πλάτος 10 s και ύψος 30 m/s. Το εμβαδόν του, πλάτος επί ύψος, είναι

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Αυτό είναι ακριβώς το διάστημα s = υ · t που διανύει το αυτοκίνητο σε δέκα δευτερόλεπτα. Το εμβαδόν εδώ δεν βγαίνει σε τετραγωνικά μέτρα, αλλά σε μέτρα, επειδή οι πλευρές του ορθογωνίου δεν είναι μήκη, αλλά ταχύτητα και χρόνος. Οι λευκές γραμμές χωρίζουν το ορθογώνιο σε δέκα λωρίδες, μία για κάθε δευτερόλεπτο. Καθεμία έχει εμβαδόν 30 m/s · 1 s = 30 m, όπως είναι τριάντα μέτρα ανάμεσα στα διαδοχικά σημάδια στον δρόμο στην κινούμενη εικόνα στην αρχή.

Γιατί να ασχοληθούμε με το εμβαδόν, όταν αρκεί να πολλαπλασιάσουμε; Επειδή το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση της ταχύτητας σημαίνει διάστημα και όταν η γραφική παράσταση δεν είναι οριζόντια. Όταν φτάσουμε στην επιταχυνόμενη κίνηση, η γραφική παράσταση της ταχύτητας θα ανεβαίνει και κάτω από αυτήν, αντί για ορθογώνιο, θα υπάρχει τρίγωνο ή τραπέζιο. Το διάστημα θα το υπολογίζουμε τότε ως εμβαδόν τους και αρκούν γι' αυτό οι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου και ορθογωνίου, το τραπέζιο μπορεί να χωριστεί σε αυτά.

Στέκεται ή γυρίζει πίσω;

Ο Νίκος το πρωί ξεκινά με το ποδήλατο από το σπίτι του σε ευθύ δρόμο. Για δύο ώρες κινείται με σταθερή ταχύτητα 20 km/h, μετά τρώει μία ώρα σε μια ταβέρνα και τέλος επιστρέφει με την ίδια ταχύτητα σπίτι του.

Στον κατακόρυφο άξονα αυτή τη φορά δεν υπάρχει το διάστημα, αλλά η θέση. Κατά μήκος του δρόμου τεντώνουμε τον άξονα x και την αρχή των αξόνων τη βάζουμε στο σπίτι του Νίκου. Η θέση x λέει τότε πόσο μακριά από το σπίτι κατά μήκος του δρόμου βρίσκεται ο Νίκος, όπως η χιλιομετρική πινακίδα δείχνει πού στον δρόμο βρίσκεται το αυτοκίνητο. Η γκρίζα διακεκομμένη γραμμή είναι το διάστημα που διήνυσε ο Νίκος και που δείχνει το κοντέρ στο τιμόνι του ποδηλάτου. Ως το τέλος του φαγητού συμπίπτει με τη θέση. Το κόκκινο τμήμα το ξέρουμε ήδη. Σε δύο ώρες ο Νίκος διανύει 40 km και η γραφική παράσταση ανεβαίνει με κλίση 20 km/h.

Το μπλε τμήμα είναι οριζόντιο. Ο χρόνος περνά, αλλά ο Νίκος παραμένει 40 km από το σπίτι του, άρα στέκεται. Οριζόντια γραφική παράσταση σημαίνει ηρεμία, η κλίση είναι μηδέν και η ταχύτητα επίσης.

Το πράσινο τμήμα κατεβαίνει. Ο Νίκος επιστρέφει και η θέση του x μειώνεται κάθε ώρα κατά 20 km. Φθίνουσα γραφική παράσταση σημαίνει κίνηση προς τα πίσω. Πόσο γρήγορα κινείται ο Νίκος το καταλαβαίνουμε από το πόσο κατεβαίνει η γραφική παράσταση σε μία ώρα, εδώ κατά 20 km, άρα κινείται με 20 km/h. Η ταχύτητα έχει τώρα αντίθετη κατεύθυνση από το πρωί. Γι' αυτό οι φυσικοί της δίνουν μερικές φορές πρόσημο μείον, που λέει ότι η θέση x με τον χρόνο μειώνεται.

Τώρα φαίνεται γιατί στην περίπτωση της χιλιομετρικής πινακίδας ξεχωρίσαμε πού βρίσκεται το σώμα και ποιο διάστημα διήνυσε. Το κοντέρ του ποδηλάτου μετράει διάστημα, και αυτό με τον χρόνο δεν μειώνεται ποτέ. Η διακεκομμένη γραμμή συνεχίζει γι' αυτό να ανεβαίνει μετά το φαγητό και το βράδυ τελειώνει στα 80 km, ενώ η γραφική παράσταση της θέσης τελείωσε στο μηδέν, επειδή ο Νίκος είναι πάλι σπίτι. Στην κίνηση προς μία κατεύθυνση η θέση και το διάστημα διαφέρουν μόνο κατά την αρχική τιμή, γι' αυτό στην περίπτωση της πινακίδας αρκούσε ο τύπος του διαστήματος s = s₀ + υ · t. Όταν το σώμα γυρίζει, πρέπει να υπολογίζουμε με τη θέση.

Ολόκληρη η εκδρομή του Νίκου δεν είναι ομαλή, αποτελείται από τρία ομαλά κομμάτια. Η μέση ταχύτητα σε ολόκληρη την ημέρα είναι το συνολικό διάστημα διαιρεμένο με τον συνολικό χρόνο, μαζί με το φαγητό. Το συνολικό διάστημα δεν είναι η τελική θέση, που είναι μηδέν. Είναι τα 80 km, όπου τελειώνει η διακεκομμένη γραφική παράσταση, δηλαδή 40 km + 0 km + 40 km:

$${\upsilon }_{\mu }=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Κατακόρυφο τμήμα στη γραφική παράσταση δεν θα υπάρξει ποτέ. Θα σήμαινε ότι ο Νίκος μεταφέρθηκε σε μηδενικό χρόνο πιο πέρα. Και μια γραφική παράσταση που θα έστριβε προς τα αριστερά θα σήμαινε ότι για τον Νίκο ο χρόνος τρέχει αντίστροφα. Κανένα από τα δύο δεν έχει καταφέρει μέχρι τώρα κανείς.

Αριθμομηχανή

Η πρώτη αριθμομηχανή υπολογίζει το διάστημα από την ταχύτητα και τον χρόνο, η δεύτερη τον χρόνο από το διάστημα και την ταχύτητα. Οι προσυμπληρωμένες τιμές προέρχονται από τα παραδείγματα του άρθρου: δέκα δευτερόλεπτα με ρυθμιστή ταχύτητας στα 108 km/h και η διαδρομή από την Αθήνα στην Πάτρα με σταθερά εκατό χιλιόμετρα την ώρα.

Με τον τύπο s = s₀ + υ · t και τη γραφική παράσταση του διαστήματος μπορούμε να λύσουμε και προβλήματα στα οποία ένα αυτοκίνητο φτάνει ένα άλλο ή δύο τρένα κινούνται το ένα προς το άλλο. Κάθε όχημα έχει στη γραφική παράσταση τη δική του ευθεία και το σημείο όπου συναντιούνται είναι το σημείο τομής των ευθειών. Σε τέτοια προβλήματα θα φτάσουμε ακόμη.

Πριν ασχοληθούμε με αυτά, θα δούμε στο άρθρο Πώς λύνουμε ασκήσεις κινηματικής και δυναμικής μια μέθοδο που αξίζει να εφαρμόζουμε σε κάθε άσκηση φυσικής: καταγραφή των δεδομένων, μετατροπή μονάδων, σχήμα και γενική λύση.