Movimento retilíneo uniforme
Na rodovia, você liga o piloto automático a 108 km/h. O carro agora anda o tempo todo com a mesma rapidez, em linha reta, e o ponteiro do velocímetro nem se mexe. Quantos metros ele percorre em um segundo? Vamos converter a velocidade para metros por segundo, ou seja, dividir pelo número 3,6:
A cada segundo o carro percorre 30 m. Em dois segundos, 60 m, em três, 90 m, e assim por diante, a cada segundo trinta metros a mais.
À esquerda vemos a estrada vista de cima, o carro anda por ela para cima. O nosso carro deixa na estrada, a cada segundo inteiro, uma marca laranja, por exemplo uma gota de tinta. Todas as marcas estão à mesma distância umas das outras, de 30 m, porque o carro percorre a mesma distância a cada segundo. À direita está o gráfico. No eixo horizontal está o tempo t em segundos e, no vertical, a distância s em metros, que o carro percorreu desde a primeira marca. O eixo vertical tem a mesma escala que a estrada, de modo que o ponto vermelho no gráfico fica sempre na mesma altura que o carro. Na animação passam seis segundos de viagem e, a cada segundo, surge uma marca na estrada e um ponto laranja no gráfico.
Chamamos de movimento retilíneo uniforme o movimento em linha reta em que o módulo da velocidade do corpo não muda. É retilíneo o movimento cuja trajetória é uma reta. É uniforme aquele em que o corpo, em intervalos de tempo iguais, percorre distâncias iguais, o que é o mesmo que um módulo constante da velocidade instantânea. Um carro que anda com velocidade constante em linha reta não pode fazer curva, porque sairia da reta, e também não pode dar meia-volta, porque para isso teria de desacelerar até zero. Portanto, a direção e o sentido da velocidade também não mudam. Ao contrário do carro na rotatória, aqui permanece constante a velocidade inteira como vetor, ou seja, o módulo, a direção e o sentido.
Nada se move exatamente assim: sempre sopra um pouco de vento ou a estrada sobe uma ladeira. Mas um carro com piloto automático numa rodovia reta, uma escada rolante do metrô ou um trem numa linha reta se aproximam bastante do movimento retilíneo uniforme.
Fórmula da distância
Se você procura só a fórmula, a distância s que o corpo percorre em movimento uniforme com velocidade v no tempo t se calcula como
Deduzimos essa fórmula da fórmula da velocidade
Em linguagem simples: se o carro percorre 30 m a cada segundo, em dez segundos percorre dez vezes isso. Em um minuto, ou seja, em 60 s, o carro com piloto automático percorre
Calculamos com as unidades como com números. Os segundos no denominador se cancelam com aqueles pelos quais multiplicamos, e sobram os metros:
Se você obtiver, por exemplo, metros vezes segundos, sabe que houve um erro em algum lugar.
Atenção, a fórmula s = v · t vale apenas para o movimento uniforme. Quando a velocidade oscila, não sabemos qual delas colocar na fórmula. Só nos ajuda a velocidade média, s = vm · t. A família Silva foi a Brno com velocidade média de 82 km/h durante 2,5 h, então percorreu 82 km/h · 2,5 h = 205 km, embora o velocímetro deles tenha marcado de tudo, de zero a cento e trinta.
Quanto tempo vai levar?
Quando dividimos a fórmula s = v · t pela velocidade v, obtemos o tempo:
De Praga a Brno vai a rodovia D1, que mede cerca de 205 km. Se o carro andasse o caminho todo com velocidade constante de 100 km/h, a viagem duraria
A rodovia, é verdade, não é reta como uma régua, mas isso não atrapalha a fórmula. A distância percorrida é medida ao longo da trajetória, então s = v · t vale para qualquer movimento uniforme, também para um carro que faz curvas com velocidade constante.
Quanto são 2,05 h em horas e minutos? Com certeza não são duas horas e cinco minutos. A hora tem sessenta minutos, não cem. Deixamos as duas horas inteiras e convertemos as cinco centésimas de hora restantes em minutos:
A viagem duraria 2 h e 3 min.
Resta a terceira grandeza, a velocidade. Ela se calcula pela fórmula
Dividir por um terço é o mesmo que multiplicar por três, por isso saiu 6 · 3 = 18. Quem não gosta de frações converte tudo em metros e segundos. Vinte minutos são 20 · 60 s = 1.200 s:
Os dois caminhos dão o mesmo, porque 5 m/s vezes 3,6 é 18 km/h.
O gráfico da distância é uma reta
Vamos anotar numa tabela as distâncias do carro com piloto automático do início:
| t | s |
|---|---|
| 0 s | 0 m |
| 1 s | 30 m |
| 2 s | 60 m |
| 3 s | 90 m |
| 4 s | 120 m |
| 5 s | 150 m |
| 6 s | 180 m |
Cada linha da tabela é um ponto do gráfico: medimos o tempo no eixo horizontal e a distância no vertical. Exatamente assim surgiram os pontos laranja na animação acima. Todos ficam sobre uma única reta, que parte da origem. Por que justamente uma reta?
De cada ponto ao seguinte vai o mesmo degrau: um segundo para a direita (em azul) e 30 m para cima (em vermelho). Os degraus têm todos a mesma largura e a mesma altura, então os segmentos que ligam pontos vizinhos têm a mesma inclinação e se encadeiam sem quebra. Todos os pontos, portanto, ficam sobre uma mesma linha reta. Se o carro tivesse acelerado em algum lugar, ali haveria um degrau mais alto e a linha se quebraria para cima. O mesmo vale entre os segundos inteiros. Em meio segundo o carro percorre 15 m, em um décimo de segundo, 3 m, e todos esses pontos estão sobre a mesma reta. Por isso desenhamos o gráfico com uma linha cheia, e não apenas como sete pontinhos.
Percebemos quão inclinada é a reta por quanto ela sobe quando nos deslocamos um pedaço para a direita. Escrevemos a largura do degrau, isto é, a variação do tempo, como Δt e a altura do degrau, a variação da distância, como Δs. Pelo quociente deles obtemos a inclinação:
Saiu um número que já conhecemos: a velocidade do carro. A inclinação do gráfico da distância é a velocidade. É exatamente a fórmula
Um matemático diria que a distância é uma função afim do tempo. As funções afins se escrevem com a lei y = a · x + b e o gráfico delas é sempre uma reta. O número a diz quanto y aumenta quando x aumenta em um e se chama coeficiente angular. O número b determina em que altura a reta cruza o eixo vertical. A nossa fórmula s = v · t é uma função afim em que, no lugar de x, está o tempo, no lugar de y, a distância, o coeficiente angular é a velocidade e b = 0, de modo que a reta passa pela origem. Uma dependência assim é uma proporcionalidade direta: em um tempo duas vezes maior o carro percorre uma distância duas vezes maior, em um tempo três vezes maior, o triplo.
Carro mais rápido, gráfico mais inclinado
Na ponte, o nosso carro com piloto automático ultrapassa um caminhão que anda a 72 km/h, ou seja,
Mediremos o tempo e a distância dos dois a partir da ponte e desenharemos os dois gráficos numa mesma figura.
A reta vermelha do carro é mais inclinada que a reta azul do caminhão, porque o carro percorre mais a cada segundo. Quanto mais inclinado o gráfico da distância, mais rápido o movimento. Se o caminhão estivesse parado, o gráfico dele seria horizontal, com inclinação zero.
Do gráfico também se podem ler valores, e por isso desenhamos nele uma grade. Aonde chega o caminhão em 3 s? No eixo horizontal encontramos o três e, pela linha tracejada, subimos até encontrar a reta azul. Dali vamos para a esquerda até o eixo vertical e lemos 60 m. No sentido contrário, perguntamos quando o carro estará 120 m depois da ponte. No eixo vertical encontramos o 120, vamos para a direita até a reta vermelha e depois descemos até o eixo do tempo: em 4 s. Podemos conferir as duas coisas por cálculo:
A distância vertical entre as retas mostra quanto o carro está à frente do caminhão. Depois de seis segundos, são 180 m − 120 m = 60 m. A vantagem aumenta 10 m a cada segundo, que é exatamente a diferença entre as duas velocidades, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.
Quando o carro não começa do zero
Até agora medimos a distância a partir do lugar em que disparamos o cronômetro. Mas muitas vezes ligamos o cronômetro só quando o corpo já tem um pedaço do caminho para trás. Ao longo da rodovia D1 há marcos quilométricos, postes com números que mostram quantos quilômetros há desde o início da rodovia, em Praga. Num certo ponto da rodovia o carro passa pelo quilômetro 21 e, a partir desse momento, anda com velocidade constante de 90 km/h. Em que quilômetro estará daqui a duas horas?
Em duas horas ele percorre 90 km/h · 2 h = 180 km. Mas no marco quilométrico não estará 180, porque o carro não partiu do zero. Calculamos como se, no momento em que disparamos o cronômetro, ele já tivesse para trás 21 km, porque o marco quilométrico mede a partir do início da rodovia. Essa distância se chama distância inicial e se indica por s0. Obtemos, então, a distância no tempo t somando à distância inicial o que o carro percorreu desde que disparamos o cronômetro:
Substituímos:
Em duas horas o carro estará no quilômetro 201. Quando a distância inicial é nula, obtemos a fórmula original s = v · t.
O gráfico já não começa na origem, mas no eixo vertical, na altura s0 = 21 km, que o segmento azul mostra. A inclinação continua sendo a velocidade, a cada hora o gráfico sobe 90 km. A reta cinza tracejada é o gráfico de um carro que anda com a mesma velocidade, mas saiu do início da rodovia. As duas retas são paralelas, porque têm a mesma inclinação. A vermelha está apenas s0 mais alta. Na linguagem da função afim y = a · x + b, o a é a velocidade e o b, a distância inicial.
Vamos inverter: quando o carro chega ao quilômetro 156? Dá vontade de dividir 156 por noventa, mas assim descobriríamos em quanto tempo ele chegaria saindo do início da rodovia. Partimos da fórmula e isolamos o tempo:
Substituímos:
O carro chega ao quilômetro 156 em uma hora e meia, ou seja, em 1 h e 30 min.
O número do marco quilométrico, a rigor, não diz que distância o carro percorreu, mas onde ele está na rodovia. Enquanto o carro anda só para a frente, isso é o mesmo que a distância que ele percorreria desde o início da rodovia. Por que isso importa, veremos no fim do artigo.
Gráfico da velocidade
No gráfico também podemos desenhar a velocidade. O carro com piloto automático anda sempre a 30 m/s, seja qual for o tempo, e por isso o gráfico da velocidade dele é uma linha horizontal na altura 30.
Não encontramos a distância em nenhum eixo desse gráfico. Ela está escondida na área sob o gráfico. Sob a linha, nos primeiros dez segundos, surgiu um retângulo vermelho de 10 s de largura e 30 m/s de altura. A área dele, largura vezes altura, é
Essa é exatamente a distância s = v · t que o carro percorre em dez segundos. A área aqui não sai em metros quadrados, mas em metros, porque os lados do retângulo não são comprimentos, mas velocidade e tempo. As linhas brancas dividem o retângulo em dez faixas, uma para cada segundo. Cada uma tem área de 30 m/s · 1 s = 30 m, assim como são trinta metros entre marcas vizinhas na estrada da animação do início.
Por que nos demorar com a área, se basta multiplicar? Porque a área sob o gráfico da velocidade significa distância mesmo quando o gráfico não é horizontal. Quando chegarmos ao movimento acelerado, o gráfico da velocidade subirá e, sob ele, no lugar de um retângulo, haverá um triângulo ou um trapézio. Calcularemos então a distância como a área deles, e para isso bastam as fórmulas da área do triângulo e do retângulo, já que o trapézio pode ser decomposto neles.
Parado ou voltando?
De manhã, Otávio sai de casa de bicicleta por uma estrada reta. Por duas horas anda com velocidade constante de 20 km/h, depois almoça por uma hora num restaurante e, por fim, volta para casa com a mesma velocidade.
No eixo vertical, desta vez, não está a distância percorrida, mas a posição. Ao longo da estrada traçamos o eixo x e colocamos a origem na casa de Otávio. A posição x diz, então, a que distância de casa, ao longo da estrada, Otávio está, assim como o marco quilométrico mostra onde, na estrada, o carro está. A linha cinza tracejada é a distância que Otávio percorreu e que o ciclocomputador no guidão mostra. Até o fim do almoço ela coincide com a posição. Já conhecemos o trecho vermelho. Em duas horas Otávio percorre 40 km e o gráfico sobe com inclinação de 20 km/h.
O trecho azul é horizontal. O tempo passa, mas Otávio continua a 40 km de casa, então está parado. Um gráfico horizontal significa repouso, a inclinação é nula e a velocidade também.
O trecho verde desce. Otávio está voltando e a sua posição x diminui 20 km a cada hora. Um gráfico descendente significa movimento de volta. Percebemos a velocidade com que Otávio anda por quanto o gráfico desce em uma hora, aqui 20 km, então ele anda a 20 km/h. A velocidade tem agora sentido oposto ao da manhã. Por isso os físicos às vezes lhe atribuem o sinal de menos, que diz que a posição x diminui com o tempo.
Agora se vê por que, no marco quilométrico, distinguimos onde o corpo está e que distância ele percorreu. O ciclocomputador mede a distância percorrida, e ela nunca diminui com o tempo. A linha tracejada, por isso, depois do almoço continua subindo e, à noite, termina em 80 km, enquanto o gráfico da posição terminou em zero, porque Otávio está de novo em casa. Quando se anda num só sentido, a posição e a distância percorrida diferem apenas por um valor inicial, e por isso no marco quilométrico bastava a fórmula da distância s = s0 + v · t. Quando o corpo dá meia-volta, precisamos calcular com a posição.
O passeio todo de Otávio não é uniforme, ele se compõe de três pedaços uniformes. A velocidade média do dia inteiro é a distância total dividida pelo tempo total, incluindo o almoço. A distância total não é a posição final, que é nula. São os 80 km em que termina o gráfico tracejado, ou seja, 40 km + 0 km + 40 km:
Um trecho vertical no gráfico nunca existirá. Ele significaria que Otávio, em tempo zero, se transportou para mais longe. E um gráfico que virasse para a esquerda significaria que, para Otávio, o tempo corre ao contrário. Até agora, ninguém conseguiu nenhuma das duas coisas.
Calculadora
A primeira calculadora calcula a distância a partir da velocidade e do tempo, a segunda, o tempo a partir da distância e da velocidade. Os valores preenchidos vêm dos exemplos do artigo: dez segundos com piloto automático a 108 km/h e a viagem de Praga a Brno com velocidade constante de 100 km/h.
Com a fórmula s = s0 + v · t e com o gráfico da distância também se resolvem problemas em que um carro alcança outro ou dois trens andam um ao encontro do outro. Cada veículo tem no gráfico a sua reta e o lugar onde eles se encontram é o ponto de interseção das retas. Chegaremos ainda a esses problemas.
Antes de nos lançarmos a eles, vamos ver no artigo Como resolver exercícios de cinemática e dinâmica o procedimento que vale a pena em qualquer exercício de física: anotar os dados, converter as unidades, fazer um esboço e resolver de modo geral.
