Gleichförmige Bewegung

Auf der Autobahn stellst du den Tempomat auf 108 km/h ein. Das Auto fährt jetzt die ganze Zeit gleich schnell, geradeaus, und die Tachonadel bewegt sich nicht. Wie viele Meter legt es in einer Sekunde zurück? Die Geschwindigkeit rechnen wir in Meter pro Sekunde um, teilen sie also durch die Zahl 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

In jeder Sekunde legt das Auto 30 m zurück. In zwei Sekunden 60 m, in drei 90 m, und so weiter und weiter, mit jeder Sekunde dreißig Meter mehr.

Links sehen wir die Straße von oben, das Auto fährt auf ihr nach oben. Unser Auto hinterlässt in jeder vollen Sekunde eine orangefarbene Markierung auf der Straße, etwa einen Farbtropfen. Alle Markierungen sind gleich weit voneinander entfernt, jeweils 30 m, weil das Auto in jeder Sekunde denselben Weg zurücklegt. Rechts ist der Graph. Auf der waagerechten Achse ist die Zeit t in Sekunden, auf der senkrechten der Weg s in Metern, den das Auto ab der ersten Markierung zurückgelegt hat. Die senkrechte Achse hat denselben Maßstab wie die Straße, sodass der rote Punkt im Graphen immer auf derselben Höhe sitzt wie das Auto. In der Animation vergehen sechs Sekunden Fahrt, und mit jeder Sekunde kommt eine Markierung auf der Straße und ein oranger Punkt im Graphen dazu.

Eine Bewegung auf einer Geraden, bei der sich der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers nicht ändert, nennen wir gleichförmige geradlinige Bewegung. Geradlinig ist eine Bewegung, deren Bahn eine Gerade ist. Gleichförmig ist eine, bei der der Körper in gleich langen Zeiten gleiche Wege zurücklegt, was dasselbe ist wie ein konstanter Betrag der Momentangeschwindigkeit. Ein Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden fährt, kann nicht abbiegen, weil es von der Geraden abkäme, und es kann auch nicht umkehren, weil es dazu bis auf null abbremsen müsste. Also ändert sich auch die Richtung seiner Geschwindigkeit nicht. Anders als beim Auto im Kreisverkehr bleibt die ganze Geschwindigkeit als Vektor konstant, also Betrag und Richtung.

Ganz genau bewegt sich so nichts: Immer weht ein bisschen Wind, oder die Straße steigt an. Ein Auto mit Tempomat auf gerader Autobahn, eine Rolltreppe in der U-Bahn oder ein Zug auf gerader Strecke kommen einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung aber sehr nahe.

Die Formel für den Weg

Wenn du nur die Formel suchst: Den Weg s, den ein Körper bei gleichförmiger Bewegung mit der Geschwindigkeit v in der Zeit t zurücklegt, berechnest du als

$$s=v\cdot t$$

Wir leiten sie aus der Formel für die Geschwindigkeit $v=\frac{s}{t}$ her, die wir schon kennen. Wir müssen nur beide Seiten mit der Zeit t multiplizieren:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Einfach gesagt: Wenn das Auto in jeder Sekunde 30 m zurücklegt, legt es in zehn Sekunden zehnmal so viel zurück. In einer Minute, also in 60 s, legt das Auto mit Tempomat folgenden Weg zurück:

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1.800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Mit Einheiten rechnen wir wie mit Zahlen. Die Sekunden im Nenner kürzen sich mit denen, mit denen wir multiplizieren, und es bleiben Meter:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Wenn bei dir zum Beispiel Meter mal Sekunden herauskämen, weißt du, dass irgendwo ein Fehler passiert ist.

Beachte, dass die Formel s = v · t nur für die gleichförmige Bewegung gilt. Wenn die Geschwindigkeit schwankt, wissen wir nicht, welche wir in die Formel einsetzen sollen. Uns hilft dann nur die Durchschnittsgeschwindigkeit, $s=\overline{v}\cdot t$. Die Müllers fuhren 2,5 h lang mit durchschnittlich 82 km/h nach Stuttgart, legten also 82 km/h · 2,5 h = 205 km zurück, auch wenn ihr Tacho alles Mögliche von null bis hundertdreißig anzeigte.

Wie lange dauert es?

Wenn wir die Formel s = v · t durch die Geschwindigkeit v teilen, erhalten wir die Zeit:

$$t=\frac{s}{v}$$

Die Autobahnstrecke von Frankfurt nach Stuttgart ist etwa 205 km lang. Würde das Auto die ganze Strecke mit konstanten 100 km/h fahren, dauerte die Fahrt

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Die Autobahn ist zwar nicht schnurgerade wie ein Lineal, für die Formel spielt das aber keine Rolle. Der Weg wird entlang der Bahn gemessen, sodass s = v · t für jede gleichförmige Bewegung gilt, auch für ein Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit durch Kurven fährt.

Wie viel sind 2,05 h in Stunden und Minuten? Auf keinen Fall zwei Stunden und fünf Minuten. Eine Stunde hat sechzig Minuten, nicht hundert. Die zwei vollen Stunden lassen wir stehen und rechnen die restlichen fünf Hundertstel einer Stunde in Minuten um:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Die Fahrt würde 2 h und 3 min dauern.

Bleibt die dritte Größe, die Geschwindigkeit. Die berechnen wir mit der Formel $v=\frac{s}{t}$. Emma fährt auf einem geraden Radweg am Main immer im selben Tempo mit dem Fahrrad und legt 6 km in 20 min zurück. Zwanzig Minuten sind eine Drittelstunde:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Durch ein Drittel zu teilen ist dasselbe wie mit drei zu multiplizieren, deshalb kam 6 · 3 = 18 heraus. Wer Brüche nicht mag, rechnet alles in Meter und Sekunden um. Zwanzig Minuten sind 20 · 60 s = 1.200 s:

$$v=\frac{6.000\mathrm{m}}{1.200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Beide Wege führen zum selben Ergebnis, denn 5 m/s mal 3,6 sind 18 km/h.

Der Weg-Zeit-Graph ist eine Gerade

Die Wege des Autos mit Tempomat aus der Einleitung tragen wir in eine Tabelle ein:

Jede Zeile der Tabelle ist ein Punkt des Graphen: Die Zeit tragen wir auf der waagerechten Achse ab, den Weg auf der senkrechten. Genau so sind die orangefarbenen Punkte in der Animation oben entstanden. Sie liegen alle auf einer Geraden, die im Ursprung beginnt. Warum gerade auf einer Geraden?

Von jedem Punkt zum nächsten führt dieselbe Stufe: eine Sekunde nach rechts (blau) und 30 m nach oben (rot). Alle Stufen sind gleich breit und gleich hoch, sodass die Verbindungen benachbarter Punkte dieselbe Neigung haben und ohne Knick aneinander anschließen. Alle Punkte liegen also auf einer einzigen geraden Linie. Würde das Auto irgendwo beschleunigen, wäre dort eine höhere Stufe, und die Linie würde nach oben abknicken. Dasselbe gilt auch zwischen den vollen Sekunden. In einer halben Sekunde legt das Auto 15 m zurück, in einer Zehntelsekunde 3 m, und alle diese Punkte liegen auf derselben Geraden. Deshalb zeichnen wir den Graphen mit einer durchgezogenen Linie, nicht nur als sieben Punkte.

Wie steil die Gerade ist, erkennen wir daran, um wie viel sie steigt, wenn wir ein Stück nach rechts gehen. Die Breite der Stufe, also die Änderung der Zeit, schreiben wir Δt, und die Höhe der Stufe, die Änderung des Weges, Δs. Ihr Quotient ergibt die Steigung:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Es kam eine Zahl heraus, die wir schon kennen: die Geschwindigkeit des Autos. Die Steigung des Weg-Zeit-Graphen ist die Geschwindigkeit. Das ist genau die Formel $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ für die Momentangeschwindigkeit, nur müssen wir bei der gleichförmigen Bewegung nicht darauf achten, dass der Abschnitt kurz ist. Nehmen wir ein größeres Stück des Graphen, kommt dieselbe Steigung heraus. Zwischen der ersten und der fünften Sekunde sind 4 s vergangen, und das Auto hat in ihnen 150 m − 30 m = 120 m zurückgelegt:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ein Mathematiker würde sagen, dass der Weg eine lineare Funktion der Zeit ist. Lineare Funktionen schreibt man mit der Vorschrift y = a · x + b, und ihr Graph ist immer eine Gerade. Die Zahl a sagt, um wie viel y wächst, wenn x um eins wächst, und heißt Steigung. Die Zahl b bestimmt, in welcher Höhe die Gerade die senkrechte Achse schneidet. Unsere Formel s = v · t ist eine lineare Funktion, in der statt x die Zeit steht, statt y der Weg, die Steigung die Geschwindigkeit ist und b = 0 gilt, sodass die Gerade durch den Ursprung geht. Eine solche Abhängigkeit ist eine direkte Proportionalität: In der doppelten Zeit legt das Auto den doppelten Weg zurück, in der dreifachen den dreifachen.

Schnelleres Auto, steilerer Graph

Auf einer Brücke überholt unser Auto mit Tempomat einen Lastwagen, der mit 72 km/h fährt, also mit

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Zeit und Weg beider messen wir ab der Brücke und zeichnen beide Graphen in ein Bild.

Die rote Gerade des Autos ist steiler als die blaue Gerade des Lastwagens, weil das Auto in jeder Sekunde mehr zurücklegt. Je steiler der Weg-Zeit-Graph, desto schneller die Bewegung. Würde der Lastwagen stehen, wäre sein Graph waagerecht, mit der Steigung null.

Aus dem Graphen kann man auch Werte ablesen, deshalb haben wir ein Gitter hineingezeichnet. Wo ist der Lastwagen nach 3 s? Auf der waagerechten Achse suchen wir die Drei und steigen entlang der gestrichelten Linie nach oben, bis wir auf die blaue Gerade treffen. Von dort gehen wir nach links zur senkrechten Achse und lesen 60 m ab. Umgekehrt fragen wir, wann das Auto 120 m hinter der Brücke ist. Auf der senkrechten Achse suchen wir die 120, gehen nach rechts zur roten Geraden und dann nach unten zur Zeitachse: nach 4 s. Beides können wir durch Rechnung überprüfen:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Der senkrechte Abstand zwischen den Geraden zeigt, wie weit das Auto vor dem Lastwagen ist. Nach sechs Sekunden sind es 180 m − 120 m = 60 m. Der Vorsprung wächst jede Sekunde um 10 m, und das ist genau der Unterschied der beiden Geschwindigkeiten, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Wenn das Auto nicht bei null beginnt

Bisher haben wir den Weg von dem Ort an gemessen, an dem wir die Stoppuhr gestartet haben. Die Stoppuhr schalten wir aber oft erst ein, wenn der Körper schon ein Stück zurückgelegt hat. An der Autobahn stehen Kilometertafeln, Schilder mit Zahlen, die zeigen, wie viele Kilometer es vom Beginn der Autobahn sind. Das Auto passiert die Kilometertafel 21 und fährt von diesem Moment an mit konstanten 90 km/h. Bei welchem Kilometer wird es in zwei Stunden sein?

In zwei Stunden legt es 90 km/h · 2 h = 180 km zurück. Auf der Kilometertafel wird aber nicht 180 stehen, weil das Auto nicht bei null gestartet ist. Wir rechnen, als hätte es in dem Moment, in dem wir die Stoppuhr gestartet haben, schon 21 km hinter sich, weil die Kilometertafel ab dem Beginn der Autobahn misst. Diesen Weg nennen wir Anfangsweg und bezeichnen ihn mit s₀. Den Weg zur Zeit t erhalten wir, indem wir zum Anfangsweg addieren, was das Auto seit dem Start der Stoppuhr zurückgelegt hat:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Wir setzen ein:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

In zwei Stunden wird das Auto bei Kilometer 201 sein. Wenn der Anfangsweg null ist, erhalten wir die ursprüngliche Formel s = v · t.

Der Graph beginnt nicht mehr im Ursprung, sondern auf der senkrechten Achse in der Höhe s₀ = 21 km, die die blaue Strecke zeigt. Die Steigung ist weiterhin die Geschwindigkeit, mit jeder Stunde steigt der Graph um 90 km. Die graue gestrichelte Gerade ist der Graph eines Autos, das gleich schnell fährt, aber am Beginn der Autobahn gestartet ist. Beide Geraden sind parallel, weil sie dieselbe Steigung haben. Die rote liegt nur um s₀ höher. In der Sprache der linearen Funktion y = a · x + b ist a die Geschwindigkeit und b der Anfangsweg.

Drehen wir es um: Wann erreicht das Auto Kilometer 156? Man ist versucht, 156 durch neunzig zu teilen, aber damit erführen wir, in welcher Zeit es vom Beginn der Autobahn aus hinkäme. Wir gehen von der Formel aus und lösen sie nach der Zeit auf:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Wir setzen ein:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Kilometer 156 erreicht das Auto in anderthalb Stunden, also in 1 h und 30 min.

Die Zahl auf der Kilometertafel sagt genau genommen nicht, welchen Weg das Auto zurückgelegt hat, sondern wo auf der Autobahn es ist. Solange das Auto nur vorwärts fährt, ist das dasselbe wie der Weg, den es vom Beginn der Autobahn aus zurückgelegt hätte. Warum das wichtig ist, sehen wir am Ende des Artikels.

Der Geschwindigkeits-Zeit-Graph

In einen Graphen können wir auch die Geschwindigkeit zeichnen. Das Auto mit Tempomat fährt immer 30 m/s, egal zu welcher Zeit, und deshalb ist der Graph seiner Geschwindigkeit eine waagerechte Linie in der Höhe 30.

Den Weg finden wir auf keiner Achse dieses Graphen. Er steckt in der Fläche unter dem Graphen. Unter der Linie entstand in den ersten zehn Sekunden ein rotes Rechteck, 10 s breit und 30 m/s hoch. Sein Flächeninhalt, Breite mal Höhe, ist

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Das ist genau der Weg s = v · t, den das Auto in zehn Sekunden zurücklegt. Der Flächeninhalt kommt hier nicht in Quadratmetern heraus, sondern in Metern, weil die Seiten des Rechtecks keine Längen sind, sondern Geschwindigkeit und Zeit. Die weißen Linien teilen das Rechteck in zehn Streifen, einen für jede Sekunde. Jeder hat den Flächeninhalt 30 m/s · 1 s = 30 m, genauso wie dreißig Meter zwischen benachbarten Markierungen auf der Straße in der Animation am Anfang liegen.

Warum die Mühe mit der Fläche, wenn man auch einfach multiplizieren kann? Weil die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen auch dann den Weg bedeutet, wenn der Graph nicht waagerecht ist. Wenn wir zur beschleunigten Bewegung kommen, wird der Geschwindigkeitsgraph ansteigen, und unter ihm liegt statt eines Rechtecks ein Dreieck oder ein Trapez. Den Weg berechnen wir dann als ihren Flächeninhalt, und dazu genügen die Formeln für den Flächeninhalt von Dreieck und Rechteck, ein Trapez lässt sich in sie zerlegen.

Steht er oder fährt er zurück?

Jonas fährt morgens mit dem Fahrrad von zu Hause auf einer geraden Straße los. Zwei Stunden fährt er mit konstanten 20 km/h, dann isst er eine Stunde im Gasthaus zu Mittag und fährt schließlich mit derselben Geschwindigkeit nach Hause zurück.

Auf der senkrechten Achse ist diesmal nicht der Weg, sondern die Position. Entlang der Straße legen wir die Achse x und setzen den Ursprung bei Jonas zu Hause. Die Position x sagt dann, wie weit von zu Hause Jonas auf der Straße ist, so wie die Kilometertafel zeigt, wo auf der Straße das Auto ist. Die graue gestrichelte Linie ist der Weg, den Jonas gefahren ist und den der Fahrradcomputer am Lenker anzeigt. Bis zum Ende des Mittagessens fällt sie mit der Position zusammen. Den roten Abschnitt kennen wir schon. In zwei Stunden fährt Jonas 40 km, und der Graph steigt mit der Steigung 20 km/h.

Der blaue Abschnitt ist waagerecht. Die Zeit läuft, aber Jonas bleibt 40 km von zu Hause entfernt, er steht also. Ein waagerechter Graph bedeutet Ruhe, die Steigung ist null und die Geschwindigkeit auch.

Der grüne Abschnitt fällt. Jonas fährt zurück, und seine Position x wird jede Stunde um 20 km kleiner. Ein fallender Graph bedeutet Bewegung zurück. Wie schnell Jonas fährt, erkennen wir daran, um wie viel der Graph in einer Stunde fällt, hier um 20 km, er fährt also 20 km/h. Die Geschwindigkeit hat jetzt die entgegengesetzte Richtung als am Morgen. Deshalb geben Physiker ihr manchmal ein Minuszeichen, das sagt, dass die Position x mit der Zeit abnimmt.

Jetzt sieht man, warum wir bei der Kilometertafel unterschieden haben, wo der Körper ist und welchen Weg er zurückgelegt hat. Der Fahrradcomputer misst den Weg, und der nimmt mit der Zeit nie ab. Die gestrichelte Linie steigt deshalb nach dem Mittagessen weiter und endet abends bei 80 km, während der Graph der Position bei null endete, weil Jonas wieder zu Hause ist. Bei Fahrt in eine Richtung unterscheiden sich Position und Weg nur um den Anfangswert, deshalb genügte bei der Kilometertafel die Formel für den Weg s = s₀ + v · t. Wenn der Körper umkehrt, müssen wir mit der Position rechnen.

Jonas' ganzer Ausflug ist nicht gleichförmig, er besteht aus drei gleichförmigen Stücken. Die Durchschnittsgeschwindigkeit über den ganzen Tag ist der Gesamtweg geteilt durch die Gesamtzeit, einschließlich Mittagessen. Der Gesamtweg ist nicht die Endposition, die ist null. Es sind die 80 km, bei denen der gestrichelte Graph endet, also 40 km + 0 km + 40 km:

$$\overline{v}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Einen senkrechten Abschnitt im Graphen wird es nie geben. Er würde bedeuten, dass sich Jonas in null Zeit ein Stück weiter versetzt hätte. Und ein Graph, der nach links zurückliefe, würde bedeuten, dass für Jonas die Zeit rückwärts läuft. Beides ist bisher noch niemandem gelungen.

Rechner

Der erste Rechner berechnet den Weg aus Geschwindigkeit und Zeit, der zweite die Zeit aus Weg und Geschwindigkeit. Die vorausgefüllten Werte stammen aus den Beispielen im Artikel: zehn Sekunden mit Tempomat bei 108 km/h und die Fahrt von Frankfurt nach Stuttgart mit konstanten hundert.

Mit der Formel s = s₀ + v · t und dem Weg-Zeit-Graphen lassen sich auch Textaufgaben lösen, in denen ein Auto ein anderes einholt oder zwei Züge einander entgegenfahren. Jedes Fahrzeug hat im Graphen seine Gerade, und die Stelle, an der sie sich treffen, ist der Schnittpunkt der Geraden. Zu solchen Aufgaben kommen wir noch.

Bevor wir sie angehen, gehen wir im Artikel Aufgaben zur Kinematik und Dynamik lösen ein Vorgehen durch, das sich bei jeder Physikaufgabe lohnt: Aufschreiben der Angaben, Umrechnen der Einheiten, Skizze und allgemeine Lösung.