Moto rettilineo uniforme
In autostrada inserisci il cruise control a 108 km/h. L’auto ora va sempre alla stessa velocità, dritta davanti a sé, e la lancetta del tachimetro non si muove. Quanti metri percorre in un secondo? Convertiamo la velocità in metri al secondo, cioè dividiamo per 3,6:
Ogni secondo l’auto percorre 30 m. In due secondi 60 m, in tre 90 m, e così via, con trenta metri in più a ogni secondo.
A sinistra vediamo la strada dall’alto, l’auto la percorre verso l’alto. La nostra auto, a ogni secondo intero, lascia sulla strada un segno arancione, per esempio una goccia di vernice. Tutti i segni sono alla stessa distanza l’uno dall’altro, 30 m, perché l’auto in ogni secondo percorre lo stesso spazio. A destra c’è il grafico. Sull’asse orizzontale c’è il tempo t in secondi, su quello verticale lo spazio s in metri che l’auto ha percorso dal primo segno. L’asse verticale ha la stessa scala della strada, quindi il punto rosso nel grafico sta sempre alla stessa altezza dell’auto. Nell’animazione passano sei secondi di viaggio e a ogni secondo si aggiunge un segno sulla strada e un punto arancione nel grafico.
Il moto lungo una retta in cui il modulo della velocità del corpo non cambia si chiama moto rettilineo uniforme. È rettilineo il moto la cui traiettoria è una retta. È uniforme quello in cui il corpo, in intervalli di tempo uguali, percorre spazi uguali, il che equivale a un modulo costante della velocità istantanea. Un’auto che va a velocità costante lungo una retta non può curvare, perché uscirebbe dalla retta, e non può nemmeno tornare indietro, perché per farlo dovrebbe rallentare fino a zero. Non cambia dunque nemmeno la direzione della sua velocità. A differenza dell’auto nella rotatoria, qui resta costante tutta la velocità come vettore, sia il modulo sia la direzione.
A rigore niente si muove esattamente così: c’è sempre un po’ di vento o la strada sale. Un’auto con il cruise control su un’autostrada dritta, la scala mobile della metropolitana o un treno su un rettilineo si avvicinano però molto al moto rettilineo uniforme.
Formula dello spazio
Se cerchi solo la formula, lo spazio s percorso di moto uniforme con velocità v nel tempo t si calcola come
La ricaviamo dalla formula della velocità
In parole semplici: se l’auto percorre 30 m ogni secondo, in dieci secondi ne percorre dieci volte tanto. In un minuto, cioè in 60 s, l’auto con il cruise control percorre
Con le unità di misura si calcola come con i numeri. I secondi al denominatore si semplificano con quelli per cui moltiplichiamo e restano i metri:
Se ti venissero, per esempio, metri per secondi, sai che da qualche parte c’è un errore.
Attenzione, la formula s = v · t vale solo per il moto uniforme. Se la velocità oscilla, non sappiamo quale usare nella formula. Ci aiuta solo la velocità media, s = vm · t. I Rossi sono andati a Bologna a una velocità media di 82 km/h per 2,5 h, quindi hanno percorso 82 km/h · 2,5 h = 205 km, anche se il loro tachimetro ha indicato di tutto, da zero a centotrenta.
Quanto ci vorrà?
Se dividiamo la formula s = v · t per la velocità v, otteniamo il tempo:
Da Milano a Bologna c’è l’autostrada A1, lunga circa 205 km. Se l’auto facesse tutto il viaggio a velocità costante di 100 km/h, il viaggio durerebbe
L’autostrada non è certo dritta come un righello, ma alla formula non importa. Lo spazio si misura lungo la traiettoria, quindi s = v · t vale per ogni moto uniforme, anche per un’auto che attraversa le curve a velocità costante.
Quanto sono 2,05 h in ore e minuti? Di sicuro non due ore e cinque minuti. Un’ora ha sessanta minuti, non cento. Teniamo le due ore intere e convertiamo in minuti i restanti cinque centesimi di ora:
Il viaggio durerebbe 2 h e 3 min.
Resta la terza grandezza, la velocità. La calcoliamo con la formula
Dividere per un terzo equivale a moltiplicare per tre, perciò è venuto 6 · 3 = 18. Chi non ama le frazioni converte tutto in metri e secondi. Venti minuti sono 20 · 60 s = 1200 s:
Le due strade danno lo stesso risultato, perché 5 m/s per 3,6 fa 18 km/h.
Il grafico dello spazio è una retta
Scriviamo in una tabella gli spazi percorsi dall’auto con il cruise control dell’introduzione:
| t | s |
|---|---|
| 0 s | 0 m |
| 1 s | 30 m |
| 2 s | 60 m |
| 3 s | 90 m |
| 4 s | 120 m |
| 5 s | 150 m |
| 6 s | 180 m |
Ogni riga della tabella è un punto del grafico: il tempo lo riportiamo sull’asse orizzontale, lo spazio su quello verticale. Proprio così sono nati i punti arancioni nell’animazione qui sopra. Stanno tutti su un’unica retta che parte dall’origine. Perché proprio su una retta?
Da ogni punto al successivo c’è lo stesso gradino: di un secondo verso destra (in blu) e di 30 m verso l’alto (in rosso). I gradini sono tutti ugualmente larghi e alti, quindi i segmenti che uniscono punti vicini hanno la stessa inclinazione e si susseguono senza spigoli. Tutti i punti stanno quindi su un’unica linea retta. Se l’auto a un certo punto accelerasse, lì il gradino sarebbe più alto e la linea si piegherebbe verso l’alto. Lo stesso vale anche tra i secondi interi. In mezzo secondo l’auto percorre 15 m, in un decimo di secondo 3 m, e tutti questi punti stanno sulla stessa retta. Per questo il grafico lo tracciamo con una linea continua, non solo con sette puntini.
Quanto è ripida la retta lo capiamo da quanto sale quando ci spostiamo un po’ verso destra. La larghezza del gradino, cioè la variazione del tempo, la indichiamo con Δt e l’altezza del gradino, la variazione dello spazio, con Δs. Dal loro rapporto otteniamo la pendenza:
È venuto un numero che già conosciamo: la velocità dell’auto. La pendenza del grafico dello spazio è la velocità. È proprio la formula
Un matematico direbbe che lo spazio è una funzione lineare del tempo. Le funzioni lineari si scrivono con l’espressione y = m · x + q e il loro grafico è sempre una retta. Il numero m dice di quanto aumenta y quando x aumenta di uno e si chiama coefficiente angolare. Il numero q, il termine noto, determina a che altezza la retta interseca l’asse verticale. La nostra formula s = v · t è una funzione lineare in cui al posto di x c’è il tempo, al posto di y lo spazio, il coefficiente angolare è la velocità e q = 0, quindi la retta passa per l’origine. Una dipendenza così è una proporzionalità diretta: in un tempo doppio l’auto percorre uno spazio doppio, in un tempo triplo uno spazio triplo.
Auto più veloce, grafico più ripido
Su un ponte la nostra auto con il cruise control supera un camion che va a 72 km/h, cioè
Misureremo tempo e spazio di entrambi a partire dal ponte e disegneremo i due grafici nella stessa figura.
La retta rossa dell’auto è più ripida di quella blu del camion, perché l’auto ogni secondo percorre di più. Quanto più ripido è il grafico dello spazio, tanto più veloce è il moto. Se il camion fosse fermo, il suo grafico sarebbe orizzontale, con pendenza zero.
Dal grafico si possono anche leggere dei valori, per questo abbiamo disegnato la griglia. Dove arriva il camion in 3 s? Sull’asse orizzontale troviamo il 3 e lungo la linea tratteggiata saliamo finché non incontriamo la retta blu. Da lì andiamo a sinistra verso l’asse verticale e leggiamo 60 m. Al contrario, chiediamoci quando l’auto sarà a 120 m dal ponte. Sull’asse verticale troviamo 120, andiamo a destra fino alla retta rossa e poi in basso sull’asse del tempo: dopo 4 s. Entrambe le cose si possono verificare con un calcolo:
La distanza verticale tra le rette mostra di quanto l’auto è davanti al camion. Dopo sei secondi sono 180 m − 120 m = 60 m. Il vantaggio ogni secondo cresce di 10 m, che è esattamente la differenza tra le due velocità, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.
Quando l’auto non parte da zero
Finora abbiamo misurato lo spazio dal punto in cui abbiamo fatto partire il cronometro. Spesso, però, il cronometro lo avviamo quando il corpo ha già dietro di sé un pezzo di strada. Lungo l’autostrada ci sono i cippi chilometrici, paletti con dei numeri che indicano quanti chilometri ci sono dall’inizio dell’autostrada, a Milano. A un certo punto l’auto supera il chilometro 21 e da quel momento va a velocità costante di 90 km/h. A quale chilometro sarà dopo due ore?
In due ore percorre 90 km/h · 2 h = 180 km. Ma sul cippo chilometrico non ci sarà 180, perché l’auto non è partita da zero. Calcoliamo come se già nel momento in cui abbiamo avviato il cronometro avesse alle spalle 21 km, perché il cippo misura dall’inizio dell’autostrada. Questo spazio si chiama spazio iniziale e si indica con s0. Lo spazio al tempo t lo otteniamo sommando allo spazio iniziale quello che l’auto ha percorso dall’avvio del cronometro:
Sostituiamo:
Dopo due ore l’auto sarà al chilometro 201. Quando lo spazio iniziale è nullo, otteniamo la formula originale s = v · t.
Il grafico non parte più dall’origine, ma sull’asse verticale all’altezza s0 = 21 km, indicata dal segmento blu. La pendenza è sempre la velocità: a ogni ora il grafico sale di 90 km. La retta grigia tratteggiata è il grafico di un’auto che va alla stessa velocità, ma è partita dall’inizio dell’autostrada. Le due rette sono parallele, perché hanno la stessa pendenza. La rossa è più in alto soltanto di s0. Nel linguaggio della funzione lineare y = m · x + q, m è la velocità e q lo spazio iniziale.
Rovesciamo il problema: quando arriverà l’auto al chilometro 156? Viene voglia di dividere 156 per novanta, ma così scopriremmo in quanto tempo ci arriverebbe partendo dall’inizio dell’autostrada. Partiamo dalla formula e ricaviamo il tempo:
Sostituiamo:
Al chilometro 156 l’auto arriverà in un’ora e mezza, cioè in 1 h e 30 min.
Il numero sul cippo chilometrico, a voler essere precisi, non dice quale spazio l’auto ha percorso, ma dove si trova sull’autostrada. Finché l’auto va solo avanti, coincide con lo spazio che avrebbe percorso dall’inizio dell’autostrada. Perché questo conta lo vedremo alla fine dell’articolo.
Il grafico della velocità
Nel grafico possiamo riportare anche la velocità. L’auto con il cruise control va sempre a 30 m/s, qualunque sia il tempo, e perciò il grafico della sua velocità è una linea orizzontale all’altezza 30.
Lo spazio non lo troviamo su nessun asse di questo grafico. È nascosto nell’area sotto il grafico. Sotto la linea, per i primi dieci secondi, c’è un rettangolo rosso largo 10 s e alto 30 m/s. La sua area, base per altezza, è
È proprio lo spazio s = v · t che l’auto percorre in dieci secondi. L’area qui non viene in metri quadrati, ma in metri, perché i lati del rettangolo non sono lunghezze, ma velocità e tempo. Le linee bianche dividono il rettangolo in dieci strisce, una per ogni secondo. Ognuna ha area 30 m/s · 1 s = 30 m, proprio come i trenta metri tra segni vicini sulla strada nell’animazione all’inizio.
Perché perdere tempo con l’area, quando basta moltiplicare? Perché l’area sotto il grafico della velocità rappresenta lo spazio anche quando il grafico non è orizzontale. Quando arriveremo al moto accelerato, il grafico della velocità salirà e sotto di esso ci sarà, al posto di un rettangolo, un triangolo o un trapezio. Lo spazio lo calcoleremo allora come la loro area e per farlo bastano le formule dell’area del triangolo e del rettangolo, perché il trapezio si può scomporre in essi.
Fermo o di ritorno?
Andrea la mattina parte in bicicletta da casa lungo una strada dritta. Per due ore va a velocità costante di 20 km/h, poi si ferma un’ora a pranzo in una trattoria e infine torna a casa con la stessa velocità.
Sull’asse verticale questa volta non c’è lo spazio percorso, ma la posizione. Lungo la strada tracciamo l’asse x e mettiamo l’origine a casa di Andrea. La posizione x dice allora quanto Andrea dista da casa lungo la strada, come il cippo chilometrico indica dove si trova l’auto sulla strada. La linea grigia tratteggiata è lo spazio percorso da Andrea, quello mostrato dal ciclocomputer sul manubrio. Fino alla fine del pranzo coincide con la posizione. Il tratto rosso lo conosciamo già. In due ore Andrea percorre 40 km e il grafico sale con pendenza 20 km/h.
Il tratto blu è orizzontale. Il tempo scorre, ma Andrea resta a 40 km da casa, quindi è fermo. Un grafico orizzontale significa quiete: la pendenza è nulla e la velocità pure.
Il tratto verde scende. Andrea sta tornando e la sua posizione x a ogni ora diminuisce di 20 km. Un grafico che scende significa moto all’indietro. A che velocità va Andrea lo capiamo da quanto il grafico scende in un’ora, qui di 20 km, quindi va a 20 km/h. La velocità ha adesso verso opposto rispetto alla mattina. Per questo i fisici a volte le assegnano il segno meno, che dice che la posizione x diminuisce col tempo.
Ora si vede perché per il cippo chilometrico distinguevamo dove si trova il corpo e quale spazio ha percorso. Il ciclocomputer misura lo spazio percorso, e questo non diminuisce mai con il tempo. La linea tratteggiata quindi dopo pranzo continua a salire e la sera finisce a 80 km, mentre il grafico della posizione è finito a zero, perché Andrea è di nuovo a casa. Quando si va in un solo verso, posizione e spazio percorso differiscono solo per un valore iniziale, ed è per questo che per il cippo bastava la formula dello spazio s = s0 + v · t. Quando il corpo torna indietro, dobbiamo lavorare con la posizione.
L’intera gita di Andrea non è uniforme, è composta di tre pezzi uniformi. La velocità media di tutto il giorno è lo spazio totale diviso il tempo totale, pranzo compreso. Lo spazio totale non è la posizione finale, che è nulla. Sono gli 80 km in cui finisce il grafico tratteggiato, cioè 40 km + 0 km + 40 km:
Un tratto verticale nel grafico non ci sarà mai. Significherebbe che Andrea, in un tempo nullo, si è trasferito più in là. E un grafico che si piegasse verso sinistra significherebbe che per Andrea il tempo scorre al contrario. Finora non è riuscito a nessuno né l’uno né l’altro.
Calcolatrice
La prima calcolatrice calcola lo spazio dalla velocità e dal tempo, la seconda il tempo dallo spazio e dalla velocità. I valori precompilati vengono dagli esempi dell’articolo: dieci secondi con il cruise control a 108 km/h e il viaggio da Milano a Bologna a cento all’ora costanti.
Con la formula s = s0 + v · t e il grafico dello spazio si possono risolvere anche problemi in cui un’auto ne raggiunge un’altra o due treni si muovono l’uno contro l’altro. Ogni veicolo ha nel grafico la sua retta e il punto in cui si incontrano è l’intersezione delle rette. A problemi di questo tipo arriveremo ancora.
Prima di affrontarli, nell’articolo Come risolvere i problemi di cinematica e dinamica vediamo un procedimento che conviene seguire in ogni problema di fisica: scrivere i dati, convertire le unità, fare uno schizzo e trovare la soluzione generale.
