Likformig rörelse

På motorvägen slår du på farthållaren och ställer in 108 km/h. Bilen håller nu hela tiden samma fart, rakt fram, och visaren på hastighetsmätaren rör sig inte en millimeter. Hur många meter kör den på en sekund? Vi räknar om hastigheten till meter per sekund, alltså dividerar med 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Varje sekund kör bilen 30 m. På två sekunder 60 m, på tre 90 m, och så vidare, för varje sekund trettio meter till.

Till vänster ser vi vägen uppifrån, bilen kör uppåt. Vår bil lämnar efter sig en orange markering på vägen varje hel sekund, till exempel en färgklick. Alla markeringar ligger lika långt från varandra, 30 m, eftersom bilen kör lika långt varje sekund. Till höger finns en graf. På den vågräta axeln är tiden t i sekunder, på den lodräta sträckan s i meter som bilen har kört från den första markeringen. Den lodräta axeln har samma skala som vägen, så den röda punkten i grafen ligger hela tiden på samma höjd som bilen. I animationen går det sex sekunder, och för varje sekund tillkommer en markering på vägen och en orange punkt i grafen.

En rörelse längs en rät linje där kroppens fart inte ändras kallar vi likformig rätlinjig rörelse. Rätlinjig är en rörelse vars bana är en rät linje. Likformig är en rörelse där kroppen under lika långa tider tillryggalägger lika långa sträckor, vilket är samma sak som att momentanhastighetens belopp är konstant. En bil som kör med konstant hastighet längs en rät linje kan inte svänga, för då skulle den lämna linjen, och den kan inte heller vända tillbaka, för då skulle den först behöva bromsa ner till noll. Hastighetens riktning ändras alltså inte heller. Till skillnad från en bil i en rondell är hela hastigheten konstant som vektor, alltså både belopp och riktning.

Riktigt exakt rör sig ingenting så: det blåser alltid lite, eller vägen stiger i en backe. Men en bil med farthållare på en rak motorväg, en rulltrappa i tunnelbanan eller ett tåg på en rak bana kommer likformig rätlinjig rörelse mycket nära.

Formeln för sträckan

Om du bara letar efter formeln: sträckan s som en kropp tillryggalägger vid likformig rörelse med hastigheten v under tiden t beräknar du som

$$s=v\cdot t$$

Vi härleder den ur formeln för hastighet, $v=\frac{s}{t}$, som vi redan känner till. Det räcker att multiplicera båda leden med tiden t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Med vanliga ord: om bilen kör 30 m varje sekund, kör den tio gånger så långt på tio sekunder. På en minut, alltså 60 s, kör bilen med farthållare

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Med enheter räknar vi som med tal. Sekunderna i nämnaren förkortas bort mot de sekunder vi multiplicerar med, och kvar blir meter:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Om du skulle få meter gånger sekunder vet du att något har blivit fel.

Observera att formeln s = v · t bara gäller för likformig rörelse. Om hastigheten varierar vet vi inte vilken av dem vi ska sätta in i formeln. Då hjälper bara medelhastigheten, s = v_m · t. Familjen Andersson körde till Örebro med medelhastigheten 82 km/h under 2,5 h, så de körde 82 km/h · 2,5 h = 205 km, trots att hastighetsmätaren visade allt möjligt från noll till hundratrettio.

Hur lång tid tar det?

Om vi dividerar formeln s = v · t med hastigheten v får vi tiden:

$$t=\frac{s}{v}$$

Från Stockholm till Örebro går motorvägen E20, och den är ungefär 205 km lång. Om bilen skulle köra hela vägen med den konstanta hastigheten 100 km/h skulle resan ta

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Motorvägen är visserligen inte rak som en linjal, men det spelar ingen roll för formeln. Sträckan mäts längs banan, så s = v · t gäller för varje likformig rörelse, även för en bil som kör genom kurvor med konstant fart.

Hur mycket är 2,05 h i timmar och minuter? Absolut inte två timmar och fem minuter. En timme har sextio minuter, inte hundra. Vi behåller de två hela timmarna och räknar om de återstående fem hundradelarna av en timme till minuter:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Resan skulle ta 2 h och 3 min.

Återstår den tredje storheten, hastigheten. Den beräknar vi med formeln $v=\frac{s}{t}$. Ebba cyklar på en rak cykelväg längs Göta älv hela tiden i samma tempo och hinner 6 km på 20 min. Tjugo minuter är en tredjedels timme:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Att dividera med en tredjedel är detsamma som att multiplicera med tre, därför blev det 6 · 3 = 18. Den som inte gillar bråk kan räkna om allt till meter och sekunder. Tjugo minuter är 20 · 60 s = 1200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Båda vägarna ger samma resultat, eftersom 5 m/s gånger 3,6 är 18 km/h.

s-t-grafen är en rät linje

Vi skriver ner bilens sträckor med farthållaren från inledningen i en tabell:

Varje rad i tabellen är en punkt i grafen: tiden mäter vi av på den vågräta axeln, sträckan på den lodräta. Precis så uppstod de orange punkterna i animationen ovan. Alla ligger på en och samma räta linje som utgår från origo. Varför just på en rät linje?

Från varje punkt till nästa går samma trappsteg: en sekund åt höger (blått) och 30 m uppåt (rött). Alla trappsteg är lika breda och lika höga, så sträckorna mellan intilliggande punkter har samma lutning och ansluter till varandra utan knäck. Alla punkter ligger alltså på en och samma raka linje. Om bilen någonstans skulle accelerera, skulle trappsteget där vara högre och linjen skulle böja av uppåt. Detsamma gäller mellan de hela sekunderna. På en halv sekund kör bilen 15 m, på en tiondels sekund 3 m, och alla dessa punkter ligger på samma linje. Därför ritar vi grafen som en heldragen linje och inte bara som sju prickar.

Hur brant linjen är ser vi på hur mycket den stiger när vi förflyttar oss en bit åt höger. Trappstegets bredd, alltså tidsändringen, skriver vi Δt och dess höjd, sträckeändringen, Δs. Kvoten mellan dem ger lutningen:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Vi fick ett tal vi redan känner: bilens hastighet. Lutningen hos s-t-grafen är hastigheten. Det är precis formeln $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ för momentanhastighet, men vid likformig rörelse behöver vi inte se till att intervallet är kort. Om vi tar en större bit av grafen blir lutningen densamma. Mellan den första och den femte sekunden gick 4 s, och under dem körde bilen 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

En matematiker skulle säga att sträckan är en linjär funktion av tiden. Linjära funktioner skrivs som y = k · x + m och deras graf är alltid en rät linje. Talet k anger hur mycket y ökar när x ökar med ett, och kallas riktningskoefficient. Talet m avgör på vilken höjd linjen skär den lodräta axeln. Vår formel s = v · t är en linjär funktion där tiden står i stället för x, sträckan i stället för y, riktningskoefficienten är hastigheten och m = 0, så linjen går genom origo. Ett sådant samband är en direkt proportionalitet: på dubbelt så lång tid kör bilen dubbelt så långt, på tre gånger så lång tid tre gånger så långt.

Snabbare bil, brantare graf

På en bro kör vår bil med farthållare om en lastbil som kör 72 km/h, alltså

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Både tiden och sträckan mäter vi från bron, och vi ritar båda graferna i samma bild.

Bilens röda linje är brantare än lastbilens blå linje, eftersom bilen kör längre varje sekund. Ju brantare s-t-graf, desto snabbare rörelse. Om lastbilen stod still skulle dess graf vara vågrät, med lutningen noll.

Vi kan också läsa av värden i grafen, därför har vi ritat in ett rutnät. Hur långt kommer lastbilen på 3 s? På den vågräta axeln hittar vi trean och går uppåt längs den streckade linjen tills vi når den blå linjen. Därifrån går vi åt vänster till den lodräta axeln och läser av 60 m. Tvärtom kan vi fråga när bilen är 120 m efter bron. På den lodräta axeln hittar vi 120, går åt höger till den röda linjen och sedan ner till tidsaxeln: efter 4 s. Båda svaren kan vi kontrollera med beräkning:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Det lodräta avståndet mellan linjerna visar hur långt bilen ligger före lastbilen. Efter sex sekunder är det 180 m − 120 m = 60 m. Försprånget växer med 10 m varje sekund, vilket är precis skillnaden mellan de båda hastigheterna, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Om bilen inte börjar vid noll

Hittills har vi mätt sträckan från platsen där vi startade stoppuret. Men ofta startar vi stoppuret först när kroppen redan har en bit bakom sig. Längs motorvägen E20 står kilometerstolpar, stolpar med siffror som visar hur många kilometer det är från motorvägens början i Stockholm. En bit utanför Stockholm passerar bilen kilometerstolpe 21 och kör därifrån med den konstanta hastigheten 90 km/h. Vid vilken kilometerstolpe är den efter två timmar?

På två timmar kör den 90 km/h · 2 h = 180 km. Men vid kilometerstolpen står det inte 180, eftersom bilen inte startade vid noll. Vi räknar som om bilen redan när vi startade stoppuret hade 21 km bakom sig, eftersom kilometerstolparna mäter från motorvägens början. Den sträckan kallas startsträcka och betecknas s₀. Sträckan vid tiden t får vi då genom att lägga till startsträckan till det bilen har kört sedan stoppuret startades:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Vi sätter in:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Efter två timmar är bilen vid kilometerstolpe 201. När startsträckan är noll får vi den ursprungliga formeln s = v · t.

Grafen börjar nu inte i origo utan på den lodräta axeln på höjden s₀ = 21 km, som visas av det blå linjestycket. Lutningen är fortfarande hastigheten, för varje timme stiger grafen 90 km. Den grå streckade linjen är grafen för en bil som kör lika snabbt men startade vid motorvägens början. De båda linjerna är parallella, eftersom de har samma lutning. Den röda ligger bara s₀ högre. I den linjära funktionen y = k · x + m är k hastigheten och m startsträckan.

Vi vänder på det: när kommer bilen till kilometerstolpe 156? Det är frestande att dividera 156 med nittio, men då skulle vi få reda på hur lång tid det tar från motorvägens början. Vi utgår från formeln och löser ut tiden:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Vi sätter in:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Till kilometerstolpe 156 kommer bilen efter en och en halv timme, alltså efter 1 h och 30 min.

Siffran på kilometerstolpen anger, strängt taget, inte vilken sträcka bilen har kört, utan var på motorvägen den befinner sig. Så länge bilen bara kör framåt är det detsamma som sträckan den skulle ha kört från motorvägens början. Varför det spelar roll får vi se i slutet av artikeln.

v-t-grafen

I en graf kan vi också rita hastigheten. Bilen med farthållare kör hela tiden 30 m/s, oavsett tid, och därför är dess v-t-graf en vågrät linje på höjden 30.

Sträckan hittar vi inte på någon axel i den här grafen. Den är gömd i arean under grafen. Under linjen har det för de första tio sekunderna bildats en röd rektangel som är 10 s bred och 30 m/s hög. Dess area, bredd gånger höjd, är

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Det är precis sträckan s = v · t som bilen kör på tio sekunder. Arean blir här inte kvadratmeter utan meter, eftersom rektangelns sidor inte är längder utan hastighet och tid. De vita linjerna delar rektangeln i tio remsor, en för varje sekund. Var och en har arean 30 m/s · 1 s = 30 m, precis som det är trettio meter mellan intilliggande markeringar på vägen i animationen i början.

Varför ska vi bry oss om arean när det räcker att multiplicera? Därför att arean under v-t-grafen betyder sträcka även när grafen inte är vågrät. När vi kommer till accelererad rörelse kommer v-t-grafen att stiga, och under den blir det en triangel eller ett parallelltrapets i stället för en rektangel. Sträckan räknar vi då ut som deras area, och det räcker med formlerna för arean av en triangel och en rektangel, för ett parallelltrapets kan delas upp i dem.

Står still eller åker tillbaka?

Hugo ger sig av på morgonen på cykel hemifrån längs en rak väg. I två timmar cyklar han med den konstanta hastigheten 20 km/h, sedan äter han lunch på en krog i en timme och till sist cyklar han hem med samma hastighet.

På den lodräta axeln står den här gången inte sträckan utan läget. Längs vägen lägger vi en x-axel och sätter origo vid Hugos hem. Läget x säger då hur långt från hemmet längs vägen Hugo befinner sig, på samma sätt som en kilometerstolpe visar var på vägen bilen är. Den grå streckade linjen är sträckan som Hugo har cyklat och som cykeldatorn på styret visar. Fram till slutet av lunchen sammanfaller den med läget. Det röda stycket känner vi redan. På två timmar cyklar Hugo 40 km och grafen stiger med lutningen 20 km/h.

Det blå stycket är vågrätt. Tiden går, men Hugo är kvar 40 km från hemmet, alltså står han still. En vågrät graf betyder vila, lutningen är noll och hastigheten också.

Det gröna stycket sjunker. Hugo är på väg tillbaka och hans läge x minskar med 20 km varje timme. En fallande graf betyder rörelse bakåt. Hur fort Hugo cyklar ser vi på hur mycket grafen sjunker per timme, här 20 km, så han cyklar 20 km/h. Hastigheten har nu motsatt riktning mot på morgonen. Därför ger fysiker den ibland ett minustecken, som säger att läget x minskar med tiden.

Nu syns det varför vi vid kilometerstolpen skilde på var kroppen är och vilken sträcka den har tillryggalagt. Cykeldatorn mäter sträckan, och den minskar aldrig med tiden. Den streckade linjen stiger därför vidare efter lunchen och slutar på kvällen på 80 km, medan lägesgrafen slutade på noll, eftersom Hugo är hemma igen. När kroppen bara rör sig åt ett håll skiljer sig läget och sträckan åt bara med startvärdet, därför räckte det vid kilometerstolpen med formeln för sträckan s = s₀ + v · t. När kroppen vänder måste vi räkna med läget.

Hugos hela tur är inte likformig, den består av tre likformiga stycken. Medelhastigheten för hela dagen är den totala sträckan dividerad med den totala tiden, lunchen inräknad. Den totala sträckan är inte slutläget, det är noll. Den är 80 km, där den streckade grafen slutar, alltså 40 km + 0 km + 40 km:

$$v_m=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Ett lodrätt stycke kommer grafen aldrig att ha. Det skulle betyda att Hugo på noll tid flyttade sig en bit. Och en graf som böjde sig åt vänster skulle betyda att tiden går baklänges för Hugo. Ingen har hittills lyckats med något av dem.

Kalkylator

Den första kalkylatorn beräknar sträckan ur hastighet och tid, den andra tiden ur sträcka och hastighet. De ifyllda värdena kommer från exemplen i artikeln: tio sekunder med farthållaren inställd på 108 km/h och resan från Stockholm till Örebro med jämna hundra.

Med formeln s = s₀ + v · t och s-t-grafen kan vi också lösa textuppgifter där en bil kör ikapp en annan eller två tåg kör mot varandra. Varje fordon har sin räta linje i grafen, och platsen där de möts är linjernas skärningspunkt. Sådana uppgifter kommer vi till senare.

Innan vi ger oss på dem går vi igenom i artikeln Så löser du uppgifter i kinematik och dynamik ett tillvägagångssätt som lönar sig i varje fysikuppgift: att skriva upp givna storheter, räkna om enheter, göra en skiss och hitta den allmänna lösningen.