Movimiento rectilíneo uniforme
Vas por la autovía y activas el control de crucero a 108 km/h. El coche va ahora todo el rato igual de rápido, recto, y la aguja del velocímetro ni se mueve. ¿Cuántos metros recorre en un segundo? La velocidad la pasamos a metros por segundo, es decir, dividimos entre 3,6:
Cada segundo el coche recorre 30 m. En dos segundos 60 m, en tres 90 m, y así sucesivamente, con treinta metros más cada segundo.
A la izquierda vemos la carretera desde arriba, el coche va por ella hacia arriba. Nuestro coche deja tras de sí cada segundo entero una marca naranja en la carretera, por ejemplo una gota de pintura. Todas las marcas están igual de separadas, a 30 m, porque el coche recorre en cada segundo la misma distancia. A la derecha está la gráfica. En el eje horizontal está el tiempo t en segundos y en el vertical la distancia s en metros que el coche ha recorrido desde la primera marca. El eje vertical tiene la misma escala que la carretera, así que el punto rojo de la gráfica está siempre a la misma altura que el coche. En la animación pasan seis segundos de viaje y con cada segundo aparece una marca en la carretera y un punto naranja en la gráfica.
Un movimiento por una recta en el que el módulo de la velocidad del cuerpo no cambia lo llamamos movimiento rectilíneo uniforme. Es rectilíneo el movimiento cuya trayectoria es una recta. Es uniforme aquel en el que el cuerpo recorre las mismas distancias en tiempos iguales, lo que equivale a que el módulo de la velocidad instantánea sea constante. Un coche que va a velocidad constante por una recta no puede girar, porque se saldría de la recta, y tampoco puede dar la vuelta, porque para ello tendría que frenar hasta cero. Tampoco cambian, pues, la dirección ni el sentido de su velocidad. A diferencia del coche en una glorieta, aquí se mantiene constante toda la velocidad como vector, es decir, su módulo, su dirección y su sentido.
Con total exactitud no se mueve así nada: siempre sopla algo de viento o la carretera sube una cuesta. Pero un coche con control de crucero por una autovía recta, una escalera mecánica del metro o un tren por una vía recta se acercan mucho al movimiento rectilíneo uniforme.
Fórmula de la distancia
Si solo buscas la fórmula, la distancia s que recorre un cuerpo con movimiento uniforme a velocidad v en el tiempo t se calcula como
La deducimos de la fórmula de la velocidad
En lenguaje llano: si el coche recorre cada segundo 30 m, en diez segundos recorre diez veces más. En un minuto, es decir, en 60 s, el coche con control de crucero recorre
Con las unidades calculamos como con los números. Los segundos del denominador se simplifican con aquellos por los que multiplicamos, y quedan metros:
Si te salieran, por ejemplo, metros multiplicados por segundos, sabes que se ha cometido un error en algún sitio.
Ojo: la fórmula s = v · t vale solo para el movimiento uniforme. Cuando la velocidad oscila, no sabemos cuál de ellas poner en la fórmula. Solo nos ayuda la velocidad media, s = vm · t. Los García fueron a Málaga a una velocidad media de 82 km/h durante 2,5 h, de modo que recorrieron 82 km/h · 2,5 h = 205 km, aunque su velocímetro marcara de todo, desde cero hasta ciento treinta.
¿Cuánto tardará?
Si dividimos la fórmula s = v · t entre la velocidad v, obtenemos el tiempo:
De Sevilla a Málaga va la autovía A-92 y mide unos 205 km. Si el coche fuera todo el trayecto a una velocidad constante de 100 km/h, el viaje duraría
Es cierto que la autovía no es recta como una regla, pero a la fórmula eso no le importa. La distancia se mide a lo largo de la trayectoria, así que s = v · t vale para cualquier movimiento uniforme, también para un coche que toma curvas a velocidad constante.
¿Cuánto son 2,05 h en horas y minutos? Desde luego no dos horas y cinco minutos. Una hora tiene sesenta minutos, no cien. Dejamos las dos horas enteras y las cinco centésimas de hora restantes los pasamos a minutos:
El viaje duraría 2 h y 3 min.
Queda la tercera magnitud, la velocidad. La calculamos con la fórmula
Dividir entre un tercio es lo mismo que multiplicar por tres, por eso salió 6 · 3 = 18. Quien no se lleve bien con las fracciones puede pasarlo todo a metros y segundos. Veinte minutos son 20 · 60 s = 1200 s:
Ambos caminos dan lo mismo, porque 5 m/s por 3,6 es 18 km/h.
La gráfica de la distancia es una recta
Anotamos en una tabla las distancias del coche con control de crucero del principio:
| t | s |
|---|---|
| 0 s | 0 m |
| 1 s | 30 m |
| 2 s | 60 m |
| 3 s | 90 m |
| 4 s | 120 m |
| 5 s | 150 m |
| 6 s | 180 m |
Cada fila de la tabla es un punto de la gráfica: el tiempo lo medimos en el eje horizontal y la distancia en el vertical. Así surgieron exactamente los puntos naranjas de la animación de arriba. Todos están sobre una recta que sale del origen. ¿Por qué precisamente una recta?
De cada punto al siguiente hay el mismo escalón: un segundo hacia la derecha (en azul) y 30 m hacia arriba (en rojo). Todos los escalones son igual de anchos e igual de altos, así que los segmentos entre puntos vecinos tienen la misma inclinación y se continúan unos con otros sin quiebros. Todos los puntos están, pues, sobre una misma línea recta. Si el coche acelerara en algún momento, habría allí un escalón más alto y la línea se quebraría hacia arriba. Lo mismo vale entre segundos enteros. En medio segundo el coche recorre 15 m, en una décima de segundo 3 m, y todos estos puntos están sobre la misma recta. Por eso la gráfica la dibujamos con trazo continuo y no solo como siete puntos.
Lo empinada que es la recta lo vemos por cuánto sube cuando nos desplazamos un trozo hacia la derecha. La anchura del escalón, es decir, el cambio del tiempo, la escribimos Δt y la altura del escalón, el cambio de la distancia, Δs. Su cociente nos da la pendiente:
Ha salido un número que ya conocemos: la velocidad del coche. La pendiente de la gráfica de la distancia es la velocidad. Es exactamente la fórmula
Un matemático diría que la distancia es una función lineal del tiempo. Las funciones lineales se escriben con la expresión y = m · x + n y su gráfica es siempre una recta. El número m dice cuánto aumenta y cuando x aumenta en uno, y se llama pendiente. El número n determina a qué altura corta la recta al eje vertical. Nuestra fórmula s = v · t es una función lineal en la que en lugar de x está el tiempo, en lugar de y la distancia, la pendiente es la velocidad y n = 0, así que la recta pasa por el origen. Una dependencia así es una proporcionalidad directa: en un tiempo dos veces mayor el coche recorre una distancia dos veces mayor, en un tiempo tres veces mayor, tres veces.
Coche más rápido, gráfica más empinada
En un puente, nuestro coche con control de crucero adelanta a un camión que va a 72 km/h, es decir,
El tiempo y la distancia de ambos los mediremos desde el puente y dibujaremos las dos gráficas en una misma figura.
La recta roja del coche es más empinada que la azul del camión, porque el coche recorre más cada segundo. Cuanto más empinada es la gráfica de la distancia, más rápido es el movimiento. Si el camión estuviera parado, su gráfica sería horizontal, con pendiente cero.
De la gráfica también se pueden leer valores, por eso hemos dibujado en ella una cuadrícula. ¿Adónde llega el camión en 3 s? En el eje horizontal buscamos el tres y subimos por la línea discontinua hasta encontrar la recta azul. De allí vamos a la izquierda hasta el eje vertical y leemos 60 m. Al revés, preguntamos cuándo estará el coche a 120 m del puente. En el eje vertical buscamos el 120, vamos a la derecha hasta la recta roja y luego bajamos al eje del tiempo: a los 4 s. Ambas cosas las podemos comprobar con un cálculo:
La distancia vertical entre las rectas muestra cuánto va el coche por delante del camión. A los seis segundos son 180 m − 120 m = 60 m. La ventaja crece cada segundo 10 m, que es exactamente la diferencia entre las dos velocidades, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.
Cuando el coche no empieza en cero
Hasta ahora hemos medido la distancia desde el lugar donde pusimos en marcha el cronómetro. Pero muchas veces ponemos en marcha el cronómetro cuando el cuerpo ya lleva un trozo de camino. A lo largo de la A-92 hay postes kilométricos, hitos con números que indican cuántos kilómetros hay desde el principio de la autovía en Sevilla. Poco después de salir de Sevilla el coche pasa por el kilómetro 21 y desde ese momento va a una velocidad constante de 90 km/h. ¿En qué kilómetro estará dentro de dos horas?
En dos horas recorre 90 km/h · 2 h = 180 km. Pero en el poste no pondrá 180, porque el coche no salió de cero. Calculamos como si ya en el momento en que pusimos en marcha el cronómetro llevara a sus espaldas 21 km, porque el poste kilométrico mide desde el principio de la autovía. A esa distancia se le llama distancia inicial y se escribe s0. La distancia en el tiempo t la obtenemos entonces sumando a la distancia inicial lo que el coche ha recorrido desde que pusimos en marcha el cronómetro:
Sustituimos:
Dentro de dos horas el coche estará en el kilómetro 201. Cuando la distancia inicial es nula, obtenemos la fórmula original s = v · t.
La gráfica ya no empieza en el origen, sino en el eje vertical, a la altura s0 = 21 km, que muestra el segmento azul. La pendiente sigue siendo la velocidad: cada hora la gráfica sube 90 km. La recta gris discontinua es la gráfica de un coche que va igual de rápido, pero salió del principio de la autovía. Las dos rectas son paralelas, porque tienen la misma pendiente. La roja está solo s0 más arriba. En el lenguaje de la función lineal y = m · x + n, m es la velocidad y n la distancia inicial.
Démosle la vuelta: ¿cuándo llegará el coche al kilómetro 156? Tienta dividir 156 entre noventa, pero así averiguaríamos cuánto tardaría en llegar desde el principio de la autovía. Partimos de la fórmula y despejamos de ella el tiempo:
Sustituimos:
Al kilómetro 156 el coche llegará en hora y media, es decir, en 1 h y 30 min.
El número del poste kilométrico, en rigor, no dice qué distancia ha recorrido el coche, sino dónde está en la autovía. Mientras el coche solo avance, es lo mismo que la distancia que habría recorrido desde el principio de la autovía. Por qué esto importa lo veremos al final del artículo.
Gráfica de la velocidad
En una gráfica también podemos dibujar la velocidad. El coche con control de crucero va siempre a 30 m/s, sea cual sea el tiempo, y por eso la gráfica de su velocidad es una línea horizontal a la altura 30.
La distancia no la encontramos en ningún eje de esta gráfica. Está escondida en el área bajo la gráfica. Bajo la línea, en los diez primeros segundos, surgió un rectángulo rojo de 10 s de ancho y 30 m/s de alto. Su área, base por altura, es
Es exactamente la distancia s = v · t que el coche recorre en diez segundos. El área aquí no sale en metros cuadrados, sino en metros, porque los lados del rectángulo no son longitudes, sino velocidad y tiempo. Las líneas blancas dividen el rectángulo en diez franjas, una por cada segundo. Cada una tiene un área de 30 m/s · 1 s = 30 m, igual que hay treinta metros entre marcas vecinas en la carretera de la animación del principio.
¿Por qué entretenerse con el área si basta multiplicar? Porque el área bajo la gráfica de la velocidad significa distancia también cuando la gráfica no es horizontal. Cuando lleguemos al movimiento acelerado, la gráfica de la velocidad subirá y bajo ella habrá, en lugar de un rectángulo, un triángulo o un trapecio. La distancia la calcularemos entonces como su área, y para ello bastan las fórmulas del área del triángulo y del rectángulo, pues el trapecio se puede dividir en ellos.
¿Parado o de vuelta?
Andrés sale por la mañana en bici de su casa por una carretera recta. Durante dos horas va a una velocidad constante de 20 km/h, luego come una hora en un bar y por último vuelve a casa a la misma velocidad.
En el eje vertical esta vez no está la distancia recorrida, sino la posición. A lo largo de la carretera extendemos el eje x y ponemos el origen en la casa de Andrés. La posición x dice entonces a qué distancia de su casa está Andrés por la carretera, igual que el poste kilométrico indica dónde está el coche en la carretera. La línea gris discontinua es la distancia que Andrés ha recorrido y que marca el ciclocomputador del manillar. Hasta el final de la comida coincide con la posición. El tramo rojo ya lo conocemos. En dos horas Andrés recorre 40 km y la gráfica sube con una pendiente de 20 km/h.
El tramo azul es horizontal. El tiempo corre, pero Andrés sigue a 40 km de su casa, así que está parado. Una gráfica horizontal significa reposo, la pendiente es nula y la velocidad también.
El tramo verde baja. Andrés vuelve y su posición x disminuye 20 km cada hora. Una gráfica descendente significa movimiento de vuelta. A qué velocidad va Andrés lo vemos por cuánto baja la gráfica por hora, aquí 20 km, así que va a 20 km/h. La velocidad tiene ahora sentido contrario al de la mañana. Por eso los físicos a veces le asignan el signo menos, que dice que la posición x disminuye con el tiempo.
Ahora se ve por qué en el poste kilométrico distinguíamos dónde está el cuerpo y qué distancia ha recorrido. El ciclocomputador mide la distancia recorrida, y esta nunca disminuye con el tiempo. La línea discontinua sigue por eso subiendo después de comer y por la tarde acaba en 80 km, mientras que la gráfica de la posición acabó en cero, porque Andrés está otra vez en casa. Al moverse en un solo sentido, la posición y la distancia recorrida se diferencian solo en el valor inicial, y por eso en el poste kilométrico bastaba la fórmula de la distancia s = s0 + v · t. Cuando el cuerpo da la vuelta, tenemos que calcular con la posición.
La excursión de Andrés en su conjunto no es uniforme: se compone de tres trozos uniformes. La velocidad media de todo el día es la distancia total dividida entre el tiempo total, incluida la comida. La distancia total no es la posición final, que es nula. Son los 80 km en los que acaba la gráfica discontinua, es decir, 40 km + 0 km + 40 km:
En la gráfica nunca habrá un tramo vertical. Significaría que Andrés se trasladó un trozo más allá en un tiempo nulo. Y una gráfica que se curvara hacia la izquierda significaría que para Andrés el tiempo corre hacia atrás. Ninguna de las dos cosas la ha conseguido nadie hasta ahora.
Calculadora
La primera calculadora halla la distancia a partir de la velocidad y el tiempo, la segunda el tiempo a partir de la distancia y la velocidad. Los valores precargados proceden de los ejemplos del artículo: diez segundos con el control de crucero a 108 km/h y el viaje de Sevilla a Málaga a cien por hora constantes.
Con la fórmula s = s0 + v · t y la gráfica de la distancia se pueden resolver también problemas en los que un coche alcanza a otro o dos trenes van uno hacia el otro. Cada vehículo tiene en la gráfica su recta, y el lugar donde se encuentran es el punto de intersección de las rectas. A esos problemas todavía llegaremos.
Antes de ponernos con ellos, repasaremos en el artículo Cómo resolver problemas de cinemática y dinámica un procedimiento que vale la pena en cualquier problema de física: la anotación de los datos, el cambio de unidades, el esquema y la resolución general.
