Rettlinjet bevegelse med konstant fart

På motorveien slår du på cruisekontrollen på 108 km/h. Bilen kjører nå hele tiden like fort, rett fram, og viseren på fartsmåleren rører seg ikke. Hvor mange meter kjører den i løpet av ett sekund? Vi regner farten om til meter per sekund, altså deler på 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hvert sekund kjører bilen 30 m. På to sekunder 60 m, på tre 90 m, og så videre og videre, for hvert sekund tretti meter mer.

Til venstre ser vi veien ovenfra, bilen kjører oppover. Bilen vår etterlater et oransje merke på veien for hvert hele sekund, for eksempel en malingsdråpe. Alle merkene ligger like langt fra hverandre, 30 m, fordi bilen tilbakelegger samme strekning hvert sekund. Til høyre er grafen. På den vannrette aksen er tiden t i sekunder, på den loddrette strekningen s i meter som bilen har kjørt fra det første merket. Den loddrette aksen har samme målestokk som veien, så det røde punktet i grafen sitter hele tiden i samme høyde som bilen. I animasjonen går det seks sekunder med kjøring, og for hvert sekund kommer det et merke på veien og et oransje punkt i grafen.

En bevegelse langs en rett linje der størrelsen av farten til legemet ikke endrer seg, kaller vi rettlinjet bevegelse med konstant fart. Rettlinjet er en bevegelse der banen er en rett linje. Konstant fart har en bevegelse der legemet i like lange tidsrom tilbakelegger like store strekninger, og det er det samme som at størrelsen av momentanfarten er konstant. En bil som kjører med konstant fart langs en rett linje, kan ikke svinge, for da ville den forlate linjen, og den kan heller ikke snu, for da måtte den først bremse ned til null. Retningen til hastigheten endrer seg altså heller ikke. I motsetning til bilen i rundkjøringen er hele hastigheten som vektor konstant, både størrelse og retning.

Helt nøyaktig beveger ingenting seg slik: det blåser alltid litt, eller veien går oppover en bakke. Men en bil med cruisekontroll på en rett motorvei, en rulletrapp på T-banen eller et tog på et rett spor kommer svært nær en rettlinjet bevegelse med konstant fart.

Formelen for strekning

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut strekningen s som et legeme tilbakelegger med konstant fart v i løpet av tiden t, slik:

$$s=v\cdot t$$

Vi utleder den fra formelen for fart $v=\frac{s}{t}$, som vi allerede kjenner. Vi multipliserer bare begge sider med tiden t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Sagt med vanlige ord: når bilen kjører 30 m hvert sekund, kjører den ti ganger så langt på ti sekunder. På ett minutt, altså 60 s, kjører bilen med cruisekontroll

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Med enheter regner vi som med tall. Sekundene i nevneren forkortes mot dem vi multipliserer med, og meter gjenstår:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Hvis du får for eksempel meter ganger sekunder, vet du at det har skjedd en feil et sted.

Pass på, formelen s = v · t gjelder bare for bevegelse med konstant fart. Når farten varierer, vet vi ikke hvilken av dem vi skal bruke i formelen. Da hjelper bare gjennomsnittsfarten, $s=\overline{v}\cdot t$. Familien Hansen kjørte til Brno med gjennomsnittsfarten 82 km/h i 2,5 h, så de kjørte 82 km/h · 2,5 h = 205 km, selv om fartsmåleren viste alt mulig fra null til hundre og tretti.

Hvor lang tid tar det?

Når vi deler formelen s = v · t på farten v, får vi tiden:

$$t=\frac{s}{v}$$

Fra Praha til Brno går motorveien D1, og den er omtrent 205 km lang. Hvis bilen kjørte hele veien med konstant fart 100 km/h, ville turen tatt

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Motorveien er riktignok ikke rett som en linjal, men det har ingen betydning for formelen. Strekningen måles langs banen, så s = v · t gjelder for enhver bevegelse med konstant fart, også for en bil som kjører gjennom svinger med konstant fart.

Hvor mye er 2,05 h i timer og minutter? Absolutt ikke to timer og fem minutter. En time har seksti minutter, ikke hundre. De to hele timene beholder vi, og de resterende fem hundredelene av en time regner vi om til minutter:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Turen ville tatt 2 h og 3 min.

Det gjenstår den tredje størrelsen, farten. Den regner vi ut med formelen $v=\frac{s}{t}$. Elise sykler på en rett sykkelvei langs Akerselva alltid i samme tempo og kommer 6 km på 20 min. Tjue minutter er en tredjedel av en time:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Å dele på en tredjedel er det samme som å multiplisere med tre, derfor ble det 6 · 3 = 18. Den som ikke liker brøker, regner alt om til meter og sekunder. Tjue minutter er 20 · 60 s = 1200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Begge veiene gir det samme, fordi 5 m/s ganger 3,6 er 18 km/h.

Strekningsgrafen er en rett linje

Vi skriver ned strekningene til bilen med cruisekontroll fra innledningen i en tabell:

Hver rad i tabellen er ett punkt i grafen: tiden avsetter vi på den vannrette aksen, strekningen på den loddrette. Akkurat slik oppsto de oransje punktene i animasjonen ovenfor. Alle ligger på én rett linje som går ut fra origo. Hvorfor akkurat på en rett linje?

Fra hvert punkt går det samme trinnet til det neste: ett sekund mot høyre (blått) og 30 m oppover (rødt). Alle trinnene er like brede og like høye, så forbindelseslinjene mellom nabopunktene har samme helning og henger sammen uten knekk. Alle punktene ligger altså på én rett linje. Hvis bilen hadde økt farten et sted, ville trinnet der vært høyere og linjen ville knekt oppover. Det samme gjelder mellom de hele sekundene. På et halvt sekund kjører bilen 15 m, på en tidel av et sekund 3 m, og alle disse punktene ligger på den samme linjen. Derfor tegner vi grafen som en heltrukket linje, ikke bare som sju prikker.

Hvor bratt linjen er, ser vi av hvor mye den stiger når vi flytter oss et stykke mot høyre. Bredden av trinnet, altså endringen i tid, skriver vi Δt, og høyden av trinnet, endringen i strekning, Δs. Forholdet mellom dem gir stigningstallet:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Resultatet er et tall vi allerede kjenner: farten til bilen. Stigningstallet til strekningsgrafen er farten. Det er nettopp formelen $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ for momentanfart, bare at vi ved bevegelse med konstant fart ikke trenger å passe på at strekningen er kort. Hvis vi tar et større stykke av grafen, blir stigningstallet det samme. Mellom det første og det femte sekundet gikk det 4 s, og bilen kjørte på den tiden 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

En matematiker ville sagt at strekningen er en lineær funksjon av tiden. Lineære funksjoner skrives med uttrykket y = a · x + b, og grafen er alltid en rett linje. Tallet a sier hvor mye y øker når x øker med én, og kalles stigningstallet. Tallet b bestemmer i hvilken høyde linjen skjærer den loddrette aksen. Formelen vår s = v · t er en lineær funksjon der tiden står i stedet for x, strekningen i stedet for y, stigningstallet er farten og b = 0, så linjen går gjennom origo. En slik sammenheng er proporsjonalitet: på dobbelt så lang tid kjører bilen dobbelt så langt, på tre ganger så lang tid tre ganger så langt.

Raskere bil, brattere graf

På broen kjører bilen vår med cruisekontroll forbi en lastebil som kjører 72 km/h, altså

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Både tid og strekning for begge måler vi fra broen, og begge grafene tegner vi i ett bilde.

Den røde linjen til bilen er brattere enn den blå linjen til lastebilen, fordi bilen kjører lenger hvert sekund. Jo brattere strekningsgraf, desto raskere bevegelse. Hvis lastebilen sto stille, ville grafen vært vannrett, med stigningstall null.

Fra grafen kan vi også lese av verdier, derfor har vi tegnet inn et rutenett. Hvor langt kommer lastebilen på 3 s? På den vannrette aksen finner vi tre og går oppover langs den stiplede linjen til vi treffer den blå linjen. Derfra går vi til venstre til den loddrette aksen og leser av 60 m. Omvendt spør vi når bilen er 120 m forbi broen. På den loddrette aksen finner vi 120, går mot høyre til den røde linjen og så ned til tidsaksen: etter 4 s. Begge deler kan vi kontrollere med regning:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Den loddrette avstanden mellom linjene viser hvor mye bilen ligger foran lastebilen. Etter seks sekunder er det 180 m − 120 m = 60 m. Forspranget øker med 10 m hvert sekund, som er nøyaktig differansen mellom de to fartene, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Når bilen ikke starter på null

Til nå har vi målt strekningen fra stedet der vi satte i gang stoppeklokka. Men stoppeklokka setter vi ofte i gang først når legemet allerede har et stykke bak seg. Langs motorveien D1 står det kilometerstolper, stolper med tall som viser hvor mange kilometer det er fra starten av motorveien i Praha. Ved Mirošovice passerer bilen kilometer 21, og fra da av kjører den med konstant fart 90 km/h. På hvilken kilometer er den om to timer?

På to timer kjører den 90 km/h · 2 h = 180 km. Men på kilometerstolpen står det ikke 180, for bilen startet ikke fra null. Vi regner som om bilen i det øyeblikket vi satte i gang stoppeklokka, allerede hadde 21 km bak seg, fordi kilometerstolpen måler fra starten av motorveien. Den strekningen kaller vi startstrekning og skriver s₀. Strekningen ved tiden t får vi da ved å legge til startstrekningen det bilen har kjørt siden stoppeklokka ble satt i gang:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Vi setter inn:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Om to timer er bilen ved kilometer 201. Når startstrekningen er null, får vi den opprinnelige formelen s = v · t.

Grafen begynner nå ikke i origo, men på den loddrette aksen i høyden s₀ = 21 km, som det blå linjestykket viser. Stigningstallet er fortsatt farten, for hver time stiger grafen 90 km. Den grå stiplede linjen er grafen til en bil som kjører like fort, men har kjørt fra starten av motorveien. De to linjene er parallelle, fordi de har samme stigningstall. Den røde ligger bare s₀ høyere. I språket til den lineære funksjonen y = a · x + b er a farten og b startstrekningen.

Vi snur på det: når kommer bilen til kilometer 156? Det frister å dele 156 på nitti, men da ville vi funnet ut hvor lenge den ville brukt fra starten av motorveien. Vi tar utgangspunkt i formelen og løser den for tiden:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Vi setter inn:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Til kilometer 156 kommer bilen på halvannen time, altså på 1 h og 30 min.

Tallet fra kilometerstolpen sier egentlig ikke hvilken strekning bilen har kjørt, men hvor på motorveien den er. Så lenge bilen bare kjører framover, er det det samme som strekningen den ville kjørt fra starten av motorveien. Hvorfor det har noe å si, ser vi på slutten av artikkelen.

Fartsgrafen

I en graf kan vi også tegne farten. Bilen med cruisekontroll kjører hele tiden 30 m/s, uansett hva tiden er, og derfor er fartsgrafen en vannrett linje i høyden 30.

Strekningen finner vi ikke på noen av aksene i denne grafen. Den er skjult i arealet under grafen. Under linjen de første ti sekundene har det oppstått et rødt rektangel som er 10 s bredt og 30 m/s høyt. Arealet, bredde ganger høyde, er

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Det er nøyaktig strekningen s = v · t som bilen kjører på ti sekunder. Arealet blir her ikke kvadratmeter, men meter, fordi sidene i rektangelet ikke er lengder, men fart og tid. De hvite linjene deler rektangelet i ti striper, én for hvert sekund. Hver har arealet 30 m/s · 1 s = 30 m, akkurat som det er tretti meter mellom nabomerkene på veien i animasjonen i begynnelsen.

Hvorfor bry seg med arealet når det holder å multiplisere? Fordi arealet under fartsgrafen betyr strekning også når grafen ikke er vannrett. Når vi kommer til bevegelse med akselerasjon, vil fartsgrafen stige, og under den blir det en trekant eller et trapes i stedet for et rektangel. Strekningen regner vi da ut som arealet av dem, og til det holder formlene for arealet av trekant og rektangel, et trapes kan deles opp i dem.

Står den stille eller kjører den tilbake?

Ola sykler om morgenen hjemmefra langs en rett vei. I to timer kjører han med konstant fart 20 km/h, så spiser han lunsj på en kafé i en time, og til slutt sykler han med samme fart hjem igjen.

På den loddrette aksen er det denne gangen ikke strekning, men posisjon. Langs veien legger vi x-aksen, og origo setter vi hjemme hos Ola. Posisjonen x sier da hvor langt fra hjemmet langs veien Ola er, slik kilometerstolpen viser hvor på veien bilen er. Den grå stiplede linjen er strekningen Ola har syklet, den som sykkelcomputeren på styret viser. Fram til slutten av lunsjen faller den sammen med posisjonen. Den røde delen kjenner vi allerede. På to timer sykler Ola 40 km, og grafen stiger med stigningstallet 20 km/h.

Den blå delen er vannrett. Tiden går, men Ola holder seg 40 km fra hjemmet, så han står stille. En vannrett graf betyr hvile, stigningstallet er null og farten også.

Den grønne delen synker. Ola kjører tilbake, og posisjonen hans x minker med 20 km hver time. En synkende graf betyr bevegelse tilbake. Hvor fort Ola sykler, ser vi av hvor mye grafen synker per time, her 20 km, så han sykler 20 km/h. Hastigheten har nå motsatt retning enn om morgenen. Derfor gir fysikere den av og til et minustegn, som sier at posisjonen x minker med tiden.

Nå ser vi hvorfor vi ved kilometerstolpen skilte mellom hvor legemet er og hvilken strekning det har kjørt. Sykkelcomputeren måler strekning, og den avtar aldri med tiden. Den stiplede linjen stiger derfor videre etter lunsjen og ender om kvelden på 80 km, mens posisjonsgrafen endte på null, fordi Ola er hjemme igjen. Ved kjøring i én retning skiller posisjon og strekning seg bare med startverdien, derfor holdt formelen for strekning s = s₀ + v · t ved kilometerstolpen. Når legemet snur, må vi regne med posisjonen.

Hele Olas tur er ikke bevegelse med konstant fart, den består av tre stykker med konstant fart. Gjennomsnittsfarten for hele dagen er hele strekningen delt på hele tiden, med lunsjen inkludert. Hele strekningen er ikke sluttposisjonen, den er null. Det er 80 km, der den stiplede grafen slutter, altså 40 km + 0 km + 40 km:

$$\overline{v}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Et loddrett stykke finnes aldri i grafen. Det ville bety at Ola i løpet av null tid forflyttet seg et stykke. Og en graf som svingte mot venstre, ville bety at tiden går baklengs for Ola. Ingen av delene har noen så langt klart.

Kalkulator

Den første kalkulatoren regner ut strekningen fra fart og tid, den andre tiden fra strekning og fart. De utfylte verdiene kommer fra eksemplene i artikkelen: ti sekunder med cruisekontroll på 108 km/h og turen fra Praha til Brno med jevn fart på hundre.

Med formelen s = s₀ + v · t og strekningsgrafen kan vi også løse tekstoppgaver der en bil tar igjen en annen eller to tog kjører mot hverandre. Hvert kjøretøy har sin egen linje i grafen, og stedet der de møtes, er skjæringspunktet mellom linjene. Slike oppgaver kommer vi tilbake til.

Før vi går løs på dem, går vi gjennom framgangsmåten som lønner seg i hver eneste fysikkoppgave, i artikkelen Slik løser du oppgaver i kinematikk og dynamikk: å skrive opp oppgaven, regne om enheter, lage en skisse og finne den generelle løsningen.