Наклонена равнина

Владо поставя шейната на заснежен склон и я пуска. Шейната тръгва и по пътя набира скорост. Надолу я тегли само Земята и силата на тежестта сочи вертикално надолу, не косо по склона. Защо шейната не пада перпендикулярно към земята, а се движи по склона? И защо от полегат склон слиза по-бавно, отколкото от стръмен? И двете неща обяснява един трик: силата на тежестта разлагаме на две съставящи.

Склон, пързалка, рампа и наклонено поставена дъска във физиката се наричат наклонена равнина. Колко е наклонена, показва ъгълът α, който сключва с хоризонталната земя.

Разлагане на силата на тежестта

Силата на тежестта $\vec{G}$ заместваме с две сили, които заедно действат по същия начин. Едната сочи по склона надолу, другата перпендикулярно към склона. Силата на тежестта така излиза като диагонал на правоъгълник, построен от двете съставящи, както при всяко разлагане на сила.

Разлагане на силата на тежестта G⃗, която действа върху шейната, на съставяща F⃗_1 по склона и съставяща F⃗_2 перпендикулярно на склона

Синята прекъсната съставяща ${\vec{F}}_{1}$ тегли шейната надолу по склона, докато другата, ${\vec{F}}_{2}$ , я притиска в снега. Сама по себе си не я премества никъде, защото снегът не пропуска шейната. От цялата сила на тежестта следователно само частта F₁ привежда шейната в движение, което отговаря на първия въпрос.

Колко големи са съставящите? Силата на тежестта, съставящата ${\vec{F}}_{2}$ и сивата прекъсната отсечка от върха на ${\vec{F}}_{2}$ до върха на $\vec{G}$ образуват правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха на ${\vec{F}}_{2}$ . Силата на тежестта е в него хипотенуза, а ъгълът при центъра на тежестта между нея и съставящата ${\vec{F}}_{2}$ е на фигурата означен α, също като наклона на склона. Защо е така, ще покажем след малко. Първо да си припомним синус и косинус: синусът на ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношение на срещулежащия катет към хипотенузата, косинусът – отношение на прилежащия катет към хипотенузата. Срещу ъгъла α лежи прекъснатият катет със същата дължина като F₁, прилежащият катет е F₂, така че

$\sin α = \frac{F_{1}}{G}, \cos α = \frac{F_{2}}{G} .$

И двете равенства умножаваме по силата на тежестта:

$\begin{aligned} F_{1} & = G \cdot \sin α \\ F_{2} & = G \cdot \cos α \end{aligned}$

Остава обещаното обосноваване. Силата на тежестта е перпендикулярна на хоризонталната земя, съставящата ${\vec{F}}_{2}$ е перпендикулярна на склона. Представи си, че земята и склонът са завъртени на прав ъгъл. От земята става вертикала, от склона перпендикуляр на склона, и ъгълът между тях при завъртането не се променя. Ъгълът между силата на тежестта и перпендикуляра на склона е затова същият като ъгъла между земята и склона. Два остри ъгъла с взаимно перпендикулярни рамена са равни.

Който не обича завъртането, може да пресмята. Да удължим силата на тежестта вертикално надолу до земята. Вертикалата, земята и склонът образуват правоъгълен триъгълник с ъгъл α долу при земята, така че при склона има ъгъл 90° − α. Перпендикулярът на склона сключва със склона прав ъгъл и от вертикалата затова се отклонява с 90° − (90° − α) = α.

Че това е вярно, проверяваме при крайните случаи. На хоризонтална земя α = 0°, sin α = 0 и cos α = 1. Съставящата по склона изчезва и цялата сила на тежестта натиска опората, точно както трябва. Колкото по-стръмен е склонът, толкова по-голям е синусът и толкова по-силно тегли шейната надолу. Това е отговорът на втория въпрос.

Да опитаме с шейната на Владо с маса 10 kg на склон с наклон 30°. Силата на тежестта е

$G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Заместваме sin 30° = 0,5 и cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Внимавай, 49,05 N + 85 N не е 98,1 N. Съставящите събираме като стрелки, не като числа.

В контролните често се случва синусът и косинусът да се разменят. Не е нужно да помниш кой къде е, достатъчно е да се сетиш за хоризонталната земя. Там съставящата по склона трябва да изчезне, а нула при 0° дава синусът, не косинусът. Съставящата по склона е следователно тази със синуса.

Реакция на опората на склона

Снегът действа върху шейната с реакция на опората $\vec{N}$ , а тя е винаги перпендикулярна на опората, тук следователно перпендикулярно на склона навън. Перпендикулярно на склона шейната не се движи, не потъва, нито отлита. Силите в тази посока са затова в равновесие и реакцията на опората уравновесява съставящата ${\vec{F}}_{2}$ :

$N = G \cdot \cos α$

На склона реакцията на опората е по-малка от силата на тежестта. За шейната на Владо е 85 N, не 98,1 N. Тук най-често се греши в контролните: който от хоризонталния под пренесе N = m · g, получава на склона грешно и триенето.

Колкото по-стръмен е склонът, толкова по-малък е косинусът, толкова по-слабо шейната натиска снега и толкова по-малко е триенето. При вертикална стена cos 90° = 0 и реакцията на опората изчезва съвсем.

Шейна без триене

Да започнем със съвършено гладък склон, например шейна със стоманени плъзгачи върху лед. Съпротивлението на въздуха пренебрегваме. Реакцията на опората уравновесява съставящата ${\vec{F}}_{2}$ и остава единствената сила по склона, F₁. По закона на силата тя е равна на масата по ускорението:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Делим на масата:

$a = g \cdot \sin α$

Масата се съкрати. Празната шейна и шейната с Владо биха ускорявали по гладкия склон еднакво, подобно на това как леко и тежко тяло падат със същото ускорение. Шейната с по-голяма маса наистина се тегли надолу от по-голяма сила, но в същата степен по-трудно потегля.

За склон с наклон 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Точно половината от земното ускорение. Верни са и крайните случаи: на хоризонтална земя sin α = 0 и шейната сама не тръгва, при вертикална стена sin 90° = 1 и a = g, тоест свободно падане.

Шейна с триене

На истински сняг обаче триенето спира шейната. Силата на триене $\vec{f}$ сочи по склона нагоре, срещу движението, и е пропорционална на реакцията на опората. На склона във формулата обаче не влиза цялата сила на тежестта, а само частта ѝ G · cos α, тоест реакцията на опората:

$f = k \cdot N = k \cdot G \cdot \cos α$

За плъзгачи върху утъпкан сняг вземаме k = 0,1. Стоманени или пластмасови плъзгачи се плъзгат по сняг много по-добре, отколкото например гума. Шейната на Владо се спира от сила

$f = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Всички сили, които действат върху шейната на склона: сила на тежестта G⃗ със съставящите ѝ, реакция на опората N⃗ и сила на триене f⃗, начертани за по-голямо триене, отколкото има шейната върху сняг

Равнодействащата по склона е съставящата F₁, намалена с триенето, около 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, и ускорението е

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

В общия случай законът на силата по склона гласи

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - k \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

и когато уравнението разделим на масата, получаваме формулата за ускорението на склон с триене:

$a = g \cdot (\sin α - k \cdot \cos α)$

И тук масата се съкрати. След заместване 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) отново излиза 4,06 m/s².

На по-полегат склон с наклон 10° е sin 10° ≈ 0,174 и cos 10° ≈ 0,985, така че

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Наклонът е три пъти по-малък, но ускорението е повече от пет пъти по-малко. Триенето тук отнема по-голямата част от съставящата по склона. А на склон с наклон 5° скобата би излязла отрицателна: тръгналата шейна би забавяла, докато спре. Защо тогава остава на място, ще обясни следващият раздел.

Кога тялото остава на място

Владо с братчето си качват шейната обратно нагоре и на по-полегат участък от пътя си почиват. Шейната там стои и не се плъзга. Държи я триенето в покой, което е винаги точно толкова голямо, че да уравновеси силата, която тегли шейната надолу, тук съставящата F₁. Най-много може да е k₀ · N, където k₀ е коефициентът на триене в покой. Шейната следователно остава на място, докато

$G \cdot \sin α \leq k_{0} \cdot G \cdot \cos α .$

Частното на синуса и косинуса се нарича тангенс, $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . В правоъгълен триъгълник това е отношение на срещулежащия към прилежащия катет. Силата на тежестта се съкращава и след деление на косинуса остава

$tg α \leq k_{0} .$

Дали тялото на склона ще се плъзне, не решава масата, а само наклонът и повърхността. Ъгъл от известен тангенс връща на калкулатора бутонът tan⁻¹.

На склон с наклон 5° е tg5° ≈ 0,087, по-малко от 0,1, а триенето в покой е още по-голямо от триенето при хлъзгане. Спрялата шейна там затова сама отново не тръгва. Формулата с отрицателното ускорение описва само движение надолу.

От това следва прост опит. Постави дървено кубче от конструктор върху дъска и един неин край бавно повдигай. За дърво върху дърво k₀ ≈ 0,5, така че кубчето се задвижва, когато tgα достигне 0,5, тоест приблизително при 27°.

Същото е при паркирана кола със задействани спирачки. На сух асфалт я задържа и доста стръмна улица. Коефициентът на триене в покой е на заледен път обаче само около 0,1 и tgα = 0,1 отговаря на наклон малко по-малко от 6°. Такъв хълм ще намериш почти във всеки град и колата по леда се плъзва, независимо дали е лека, или тежка.

Триенето при хлъзгане е по-малко от триенето в покой. При наклон около 20° затова кубчето само стои, но след побутване тръгва и продължава да ускорява, защото tg20° ≈ 0,36 е повече от коефициента при хлъзгане k = 0,3.

Задача от контролно стъпка по стъпка

Щайга с ябълки с маса 20 kg лежи на дървена дъска, която наклонено свързва каросерията на камион със земята. Дъската е дълга 2 m и със земята сключва ъгъл 35°. Коефициентът на триене при хлъзгане на дърво върху дърво е 0,3, в покой 0,5. Ще тръгне ли щайгата сама? Какво ускорение ще има и с каква скорост ще стигне земята?

Записваме условието. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, k = 0,3, k₀ = 0,5, g = 9,81 m/s². Търсим a и v. Мерните единици са основни, не е нужно да преобразуваме нищо.

Чертаем силите. Те са същите като при шейната.

Тръгва ли? tg35° ≈ 0,70 е повече от k₀ = 0,5. Триенето в покой не удържа щайгата.

Разлагаме силата на тежестта. За представа с числа: G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 и cos 35° ≈ 0,8192. По дъската щайгата се тегли със сила F₁ ≈ 112,5 N, в дъската я притиска F₂ ≈ 160,7 N. Нататък обаче смятаме с букви и числата заместваме едва накрая.

Събираме силите по дъската. Перпендикулярно на дъската силите се уравновесяват, така че N = m · g · cos α и силата на триене е f = k · m · g · cos α. По дъската надолу тегли F₁ и нагоре триенето:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - k \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Изразяваме ускорението. След деление на масата:

$a = g \cdot (\sin α - k \cdot \cos α)$

Скорост в края. Щайгата тръгва от покой и ускорява равномерно, така че v² = 2 · a · s и

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Заместваме. Ускорението оставяме в калкулатора незакръглено:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Проверка: ускорението е по-малко от g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² без триене, както трябва.

Щайгата тръгва сама, ускорява с около 3,22 m/s² и стига земята със скорост около 3,6 m/s, почти 13 km/h. Ябълките заслужават някой да хване щайгата долу.

На наклонена равнина е достатъчно да разложим силата на тежестта и нататък се смята както на хоризонтална земя: перпендикулярно на опората равновесие, по нея законът на силата. Всички тела досега обаче се движеха по права.

Какво е нужно, за да завие шейната или колата, ще покаже следващата статия, Центростремителна сила.

« Предишна: Триене

Следваща: Центростремителна сила »