Движение и покой

Представи си, че седиш във влака от Прага за Бърно и четеш. Движиш ли се? Съседът срещу теб би казал, че не. През целия път седиш на едно и също място, на метър от него, и нито веднъж не си помръднал. Но жената, която стои на перона в Пардубице, би твърдяла, че в момента профучаваш край нея със скорост 160 km/h. И двамата са прави.

Горе гледаме влака от перона, долу от вагона. И двете червени стрелки показват едно и също движение, само че видяно всеки път от различно място.

Тази заблуда познава всеки, който някога е седял в спрял влак на гарата: влакът на съседния коловоз бавно потегля и за миг ти се струва, че тръгваш ти. Едва когато погледнеш сградата на гарата, разбираш, че стоиш. Окото просто има нужда от нещо, спрямо което да прецени движението.

Отправна система

Дали едно тяло се движи, или е в покой, не може да се определи само по себе си. Винаги трябва да добавим спрямо какво. Тялото, спрямо което преценяваме движението, наричаме отправно тяло. За съседа във влака това е вагонът, за жената на перона – Земята.

Тялото е в покой, когато не променя положението си спрямо отправното тяло. Спрямо вагона си в покой, спрямо Земята се движиш. Жената на перона, напротив, спрямо Земята стои, но спрямо теб се отдалечава назад със скорост 160 km/h. И движението, и покоят са относителни, тоест зависят от това откъде гледаме.

За да може положението да се опише с числа, с отправното тяло свързваме координатна система. Избираме си точка, която наричаме начало, и от нея прекарваме осите x и y, както когато в математиката чертаеш графика. На гарата началото би могло да е например при дежурния по движението, оста x покрай релсите, а оста y перпендикулярно на тях. Положението на тялото тогава се задава с две числа: колко далече лежи по посока на едната ос и колко далече по посока на другата. Във влака ще изберем началото например при вратата на вагона. Отправното тяло заедно с координатната система и с часовника, който измерва времето, се нарича отправна система.

Положението ти във вагона, черната точка, така се определя от червеното разстояние по оста x и синьото разстояние по оста y.

В ежедневието отправна система почти винаги е Земята и затова често дори не я споменаваме. Когато кажем, че колата се движи със 90 km/h или че къщата стои, имаме предвид спрямо Земята. Но дори „неподвижната“ къща не е съвсем в покой. Земята се върти около оста си, така че къща в Чехия за денонощие описва окръжност с дължина около 26 000 km. За час следователно изминава над 1000 km. Освен това Земята обикаля около Слънцето със скорост около 30 km/s. Докато прочетеш това изречение, със Земята ще прелетиш заедно с къщата и дивана някъде сто и петдесет километра. Но и Слънцето не е в покой, то обикаля около центъра на Галактиката. Тяло в покой „наистина“, тоест без да се казва спрямо какво, просто не съществува.

Материална точка

Колата на магистрала D1 между Прага и Бърно е дълга около 4,5 m. Целият маршрут е около 205 km. Ако начертаеш цялата магистрала на хартия като линия с дължина 20 cm, колата на тази рисунка би била дълга около 4 µm, шестнайсет пъти по-малко от дебелината на косъм. Когато искаме да знаем кога колата ще пристигне в Бърно, няма значение колко е дълга, къде ѝ е воланът и дали има отворен прозорец. Можем да си я представим като една-единствена точка, която се придвижва по картата.

Такова опростяване се нарича материална точка. Това е тяло, чиито размери в дадената ситуация можем да пренебрегнем. Заместваме го с точка, на която оставяме масата на цялото тяло. Във физиката с материални точки се работи много по-лесно, отколкото с реалните тела, които могат да се въртят, огъват или променят формата си.

Дали можем да смятаме тялото за материална точка, обаче не решава самото тяло, а въпросът, който си задаваме. При паркиране същата кола не е материална точка. Там решаващи са точно нейните размери: дали ще се събере между две други коли и колко сантиметра остават до бордюра. Земята пък при обиколката около Слънцето е материална точка. Диаметърът ѝ, около 12 700 km, е пренебрежим спрямо разстоянието до Слънцето, 150 000 000 km. Но когато ни интересува смяната на деня и нощта, трябва да отчетем, че това е въртящо се кълбо, и не можем да я заместим с точка.

При дългия път вляво е достатъчно да заместим колата с точка, при паркирането вдясно размерите ѝ са решаващи.

Траектория

Линията, която материалната точка описва при движението си, наричаме траектория. Понякога дори я виждаме: самолетът високо в небето оставя след себе си бяла кондензационна диря, скиорът – диря в снега. Траекторията може да бъде права, окръжност или всякаква друга крива.

Подобно на движението и покоя и траекторията зависи от отправната система. Нека погледнем вентила на предното колело на велосипед. Когато велосипедистът при каране погледне надолу към предното колело, вижда, че колелото се върти на място, а вентилът обикаля в кръг. Траекторията му е окръжност. Приятелката, която стои на тротоара и гледа как велосипедистът минава край нея, обаче не вижда никаква окръжност. Колелото се търкаля напред, вентилът се придвижва с него и така чертае редица от дъги.

На фигурата горе е колелото от гледна точка на велосипедиста, тоест в отправна система, свързана с рамата на колелото. Оранжевият вентил обикаля по червената окръжност. Долу е същото колело в отправна система, свързана със земята. Сивата прекъсната окръжност показва къде е било колелото, когато вентилът е бил долу при пътя. Докато колелото се завърти веднъж, вентилът начертава червена дъга. И двете половини на фигурата показват едно и също движение на един и същ вентил, само че от гледна точка на две различни отправни системи. Анимацията го показва стъпка по стъпка: колелото горе се върти, а долу едновременно се търкаля и вентилът чертае двете следи едновременно.

Кривата, която вентилът чертае от тротоара, се нарича циклоида. Остриетата ѝ са долу, на местата, където вентилът докосва пътя. Колелото не се плъзга по пътя, а се търкаля по него, така че мястото, което в момента докосва земята, за миг стои. Вентилът там спира и веднага след това се вдига, първо почти вертикално нагоре. Строго погледнато, вентилът седи на джантата на няколко сантиметра по-близо до центъра, отколкото е повърхността на гумата, така че не докосва пътя и кривата му долу не е с остриета, а само рязко извита. Почти точна циклоида би начертало например камъче, заседнало в протектора на гумата.

Колко изминава колелото за един оборот? Когато не се плъзга, цялата му обиколка се развива по пътя като метър от ролетка. Обиколката на окръжност с радиус r е 2π · r, където π ≈ 3,14, така че центърът на колелото за един оборот се премества точно с 2π · r. Колелото на велосипед има обиколка малко над 2 m, така че на един километър прави почти петстотин оборота.

Същият принцип важи и във влака. Ако влакът се движи с постоянна скорост по права линия и във вагона изпуснеш ябълка, тя пада право в краката ти, вертикално надолу. Жената на перона я вижда как пада и същевременно се придвижва с влака напред, така че за нея ябълката лети по наклонена дъга.

Вляво е падането на ябълката така, както го виждаш ти във вагона, вдясно – така, както го вижда жената на перона.

Път

Дължината на траекторията, която тялото изминава, се нарича път и се означава s. Пътят е скалар, тоест число с мерна единица. Измерва го километражът в колата: прибавя всеки метър, който колата измине, независимо дали върви направо, завива или дава назад. Пътят затова с времето никога не намалява. След като се върнеш вкъщи, никой не ти приспада извървените километри.

Преместване

Туристът Петър тръгва от хижата, изминава 3 km на изток и после 4 km на север. Извървял е общо 7 km, но от хижата е на разстояние само 5 km. Стрелката от мястото, откъдето е започнал, до мястото, където е свършил, е неговото преместване. Сега вече можем да назовем двете величини точно: пътят е 7 km, големината на преместването е 5 km.

Преместването удобно се записва с вектори. Положението на тялото в отправна система описваме със стрелка, която води от началото до мястото, където тялото в момента се намира. Тази стрелка се нарича радиус-вектор и се означава $\overrightarrow{r}$.

Черната линия на фигурата е траекторията, а в оранжево са отбелязани две места, през които тялото последователно е минало. Сините стрелки са радиус-векторите: ${\overrightarrow{r}}_1$ показва къде е било тялото в началото, а ${\overrightarrow{r}}_2$ – къде е било в края. В червено е откроен участъкът от траекторията между тях, тоест пътят, който тялото е изминало. Зелената стрелка, която води от първото място до второто, е преместването.

Преместването казва с колко се е променило положението. Промяната на физична величина означаваме с главната гръцка буква Δ (делта) пред означението ѝ и затова преместването се записва

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Чете се „делта ер“ и целият запис е едно означение, а не произведение. Защо промяна? Погледни фигурата. Синята стрелка ${\overrightarrow{r}}_1$ и след нея зелената стрелка заедно дават синята стрелка ${\overrightarrow{r}}_2$. Така работи при векторите, втората стрелка започва там, където свършва първата:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

От двете страни изваждаме ${\overrightarrow{r}}_1$:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Преместването е разлика между крайното и началното положение. Ако началото O поставим другаде, и двете сини стрелки ще се променят, но зелената ще остане същата. Преместването следователно не зависи от това къде сме избрали началото, а само от това къде е започнало и къде е свършило тялото. Големината на преместването, тоест дължината на зелената стрелка, записваме $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Между пътя и преместването има две разлики. Пътят е скалар, преместването е вектор, който има и посока. А пътят брои целия маршрут, докато преместването – само началото и края. Дали Петър е вървял по околен път, или по пътя три пъти се е връщал за забравения телефон, преместването остава същото. Най-краткото разстояние между две точки е отсечката и затова големината на преместването никога не надвишава пътя, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Равни са само когато тялото се движи по права и нито веднъж не се обръща назад.

Обиколка около стадиона

Около училищния стадион има бягаща писта във формата на окръжност с дължина 400 m. Яна се затичва от старта и пробягва цялата обиколка. Какъв път е изминала и какво е нейното преместване?

Пътят е ясен, цялата траектория е дълга 400 m, така че s = 400 m. Но Яна е стигнала точно там, откъдето е тръгнала. Началото и краят съвпадат и стрелката от точка в същата точка няма никаква дължина. Това е нулев вектор:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Яна е пробягала четиристотин метра и въпреки това преместването ѝ е нулево. Ако през цялото време не беше мръднала от старта, преместването щеше да е същото. Затова никога не бъркай пътя с преместването.

Сега Яна тича само половин обиколка. Пътят е половината от 400 m, тоест s = 200 m. Яна е свършила от другата страна на окръжността, точно срещу старта. Зелената стрелка на преместването минава през центъра на окръжността, така че дължината ѝ е диаметърът, тоест два пъти радиусът r. Радиуса намираме от обиколката. Обиколката на окръжността е 2π · r и знаем, че е 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Големината на преместването е двойният радиус. Двойката в числителя се съкращава с двойката в знаменателя:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Вместо π заместваме приблизително 3,14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

След половин обиколка Яна е на около 127 m от старта, макар да е пробягала 200 m. Радиусът на пистата между другото е половината от това, около 63,7 m.

А какво става с четвърт обиколка? Пътят е една четвърт от 400 m, тоест s = 100 m. Преместването този път не минава през центъра, а косо.

Съединяваме и старта, и новото място на Яна с центъра на окръжността. Двата сини радиуса са перпендикулярни един на друг, защото Яна е пробягала една четвърт от окръжността, и заедно с преместването образуват правоъгълен триъгълник. Радиусите са му катети, а преместването – хипотенуза. Използваме Питагоровата теорема както при разходката на Петър:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Извличаме корен. Коренът от r² е r, така че

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Заместваме радиуса 63,7 m и $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

И трите случая заедно:

Пътят непрекъснато расте, а големината на преместването първо расте и после пак намалява до нула. Най-далече от старта Яна е в средата на обиколката, а в края отново е на старта.

Видове движения

Движенията се делят по два признака. Първият от тях е формата на траекторията. Когато траекторията е права, говорим за праволинейно движение. Така се движат асансьорът или ябълката, която пада от дървото. Когато траекторията е извита, става дума за криволинейно движение. Сред криволинейните движения най-важно е движението по окръжност, например на въртележка или на върха на часовниковата стрелка.

Вторият признак е колко бързо се движи тялото. Когато за еднакви интервали от време изминава винаги един и същ път (за всяка секунда еднакво, но и за всяка десета или стотна от секундата), движението е равномерно. Така се движи ескалаторът в метрото или завъртяната въртележка. Когато пътищата, изминати за еднакви интервали от време, се различават, тоест тялото ускорява или забавя, движението е неравномерно. Ябълката при падане ускорява, асансьорът потегля и преди етажа спира, а колата в колона известно време пълзи и известно време стои.

Двата признака можем да комбинираме свободно:

Внимавай, и това деление зависи от отправната система. Вентилът от гледна точка на велосипедиста, който се движи с постоянна скорост, се движи равномерно по окръжност. От тротоара движението му е криволинейно и неравномерно: при пътя почти спира, докато горе се носи почти два пъти по-бързо от центъра на колелото. Горе към движението на колелото напред се прибавя движението на вентила около центъра, което там също сочи напред, докато долу сочи назад и почти неутрализира движението на колелото. Вентилът е все същият, само че го гледаме от друго място.

Равномерното и неравномерното движение засега разпознавахме само по това, какви пътища тялото изминава за еднакви интервали от време. Липсва ни число, което да казва колко бързо се движи ескалаторът и с колко по-бързо се носи вентилът горе, отколкото долу. Това число е скоростта и на нея е посветена следващата статия, Скорост.