Втори закон на Нютон

В супермаркета един до друг чакат две пазарски колички. Едната е празна и има маса 10 kg, другата е натоварена с вода и консерви и има 25 kg. Бутваш и двете еднакво, със сила 50 N. Празната количка се стрелва като куршум, пълната се раздвижва едва лениво. Колко точно, ще покаже вторият закон на Нютон, който се нарича още закон на силата. Триенето на колелцата за простота пренебрегваме.

И двете колички тръгват от покой, а оранжевите маркировки показват положението на предната им част през равни интервали от време. При двете разстоянията се удължават, следователно и двете имат ускорение. Празната количка обаче за същото време изминава два пъти и половина по-дълъг път от пълната, защото ускорението ѝ е два пъти и половина по-голямо. Стрелките на силата са при двете колички еднакво дълги. Разликата прави само товарът.

Законът на силата

Исак Нютон го записва през 1687 г. приблизително така:

Промяната на движението е пропорционална на действащата сила и става по посока на правата, по която действа силата.

Масата тук липсва само привидно. Под движение Нютон има предвид произведението на маса и скорост, така че масата е скрита в него.

На днешен език: колкото по-голяма сила действа върху тялото, толкова по-голямо е ускорението му, и колкото по-голяма е масата му, толкова ускорението е по-малко:

$$a=\frac{F}{m}$$

Ако удвоим силата, удвоява се и ускорението. Ако удвоим масата, ускорението спада наполовина. По-често законът се записва умножен по масата:

$$F=m\cdot a$$

Силата и ускорението са вектори, така че пълният запис е $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Ускорението сочи винаги в същата посока като силата. Ако бутнеш количката напред, тя има ускорение напред. Ако я дръпнеш назад, има ускорение назад, а ако се е движила напред, забавя.

Внимавай за едно: $\overrightarrow{F}$ е равнодействащата на всички сили, които действат върху тялото, а не само на онази, която забелязваме първо. Когато равнодействащата е нула, нула е и ускорението и тялото стои или се движи равномерно и праволинейно. Точно това казва първият закон на Нютон, вторият го съдържа в себе си като особен случай.

Да се върнем към количките и да изчислим ускоренията им. Започваме с празната:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

И пълната:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Защо ни излязоха метри в секунда на квадрат, ще обясним след малко. Ускорение 5 m/s² означава, че скоростта на празната количка нараства всяка секунда с 5 m/s, а на пълната само с 2 m/s. Пълната количка има два пъти и половина по-голяма маса, така че ускорението ѝ е два пъти и половина по-малко. Ако бутнеш празната количка два пъти по-силно, със сила 100 N, тя би имала двойно ускорение, 10 m/s².

Никой обаче не бута количката дълго. Когато бутнеш за половин секунда, празната количка набира скорост 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, пълната само 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Масата като мярка за инертност

Тялото запазва скоростта си, докато сила не го принуди да я промени. Това се нарича инерция. Вторият закон добавя към нея число: колкото по-голяма е масата, толкова повече тялото се съпротивлява на промяната на скоростта. Масата е мярка за инертност.

Затова празната количка можеш да раздвижиш с един пръст, а да спреш движеща се пълна количка е трудно. Същата причина стои зад това, че камионът от светофара потегля по-бавно от леката кола, макар да има много по-силен двигател.

По-голямото тяло обаче не е задължително да има по-голяма маса. Топката за плажен волейбол е по-голяма от боулинг топката, но ти не би искал да ритнеш боулинг топката. Тя има много по-голяма маса, така че също толкова силен ритник я раздвижва само слабо и кракът се блъска в нея.

От инертността не можем да се отървем и там, където нещата нищо не тежат. Астронавт на космическа станция вдига с една ръка стокилограмова каса, защото касата и станцията заедно падат около Земята и касата в безтегловност се носи. Щом обаче поиска да я раздвижи или спре по станцията, трябва да се напъне също като на Земята. Касата си има все същата маса 100 kg и същата инертност.

Откъде идва нютонът

Мерната единица на силата е нютон, N = kg·m/s². Защо точно това, обяснява вторият закон, по който нютонът е определен: един нютон е силата, която на тяло с маса 1 kg дава ускорение 1 m/s². Заместваме в F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

От това следва и мерната единица на ускорението при количките. Делим нютона на килограма:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Килограмите се съкращават и остават метри в секунда на квадрат.

Колко голям е един нютон? Приблизително толкова, колкото усещаш, когато държиш в ръка малка ябълка. Постави върху съвършено гладък лед литрова бутилка вода с маса около 1 kg и я дърпай все със същата сила 1 N. Бутилката ускорява през цялото време: след секунда ще се движи със 1 m/s, след две със 2 m/s. Постоянната сила не поддържа постоянна скорост, а непрекъснато я променя.

С каква сила потегля колата

Семейна кола с маса 1200 kg ускорява от нула до 100 km/h за десет секунди, така че има ускорение около 2,8 m/s². Колко голяма равнодействаща сила трябва да действа за това върху колата?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Формулата вече е изразена, така че заместваме направо:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Мерните единици са верни: килограм по метър в секунда на квадрат е нютон. Върху колата трябва да действа равнодействаща сила около 3360 N, тоест над три килонютона. Забележи думата равнодействаща. Срещу движението на колата действат и съпротивлението на въздуха, и съпротивлението при търкаляне на гумите, така че пътят трябва да тласка колата през колелата още малко повече.

Няколко сили едновременно

Най-често върху тялото действат няколко сили и тогава винаги се действа по един и същи начин:

• начертай силите, които действат върху тялото, и избери положителна посока,
• събери ги и ще получиш равнодействащата,
• раздели я на масата и ще получиш ускорението.

Чертай само силите, които действат върху тялото, което те интересува. Силата, с която колата натиска пътя, в изчислението на ускорението на колата не влиза, тя действа върху пътя. На този подход се крепи цялата динамика, в следващите статии към него ще добавим само нови видове сили.

Нашата кола от предишния пример сега се движи по второстепенен път и шофьорът дава газ. Пътят я тласка през колелата напред със сила F₁ = 3000 N, съпротивлението на въздуха и при търкаляне я спират със сила F₂ = 600 N.

Червената стрелка е тягата, синята съпротивлението, а зелената равнодействащата, всички в един мащаб. Вертикално върху колата действат още силата на тежестта надолу и пътят я натиска нагоре със същата по големина сила. Те взаимно се уравновесяват и затова не ги чертаем на фигурата.

Положителната посока избираме по посока на движението. Силите имат противоположни посоки, така че големините им се изваждат:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Делим на масата:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Колата има ускорение 2 m/s². Честа грешка е да се раздели на масата само тягата. Би излязло 2,5 m/s² и това е твърде много, защото съпротивлението на въздуха би се загубило в такова изчисление.

Същият подход работи и в други ситуации. На магистралата колата се движи с постоянна скорост, съпротивлението тук е приблизително 600 N и тягата е толкова голяма, колкото съпротивлението, равнодействащата е нула и ускорението също. Когато шофьорът вдигне крак от газта, тягата изчезва и остава само съпротивлението, което сочи срещу положителната посока (спирането с двигателя пренебрегваме):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Отрицателното ускорение означава, че колата забавя.

Подходът работи и в обратната посока, от ускорението обратно към силата. Каква тяга е нужна на колата, за да има и със съпротивление 600 N ускорение 2,8 m/s²? Равнодействащата трябва да е F = m · a = 3360 N, както изчислихме по-горе. От зависимостта за равнодействащата изразяваме тягата:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Заместваме:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Тягата следователно трябва да достигне почти четири килонютона. Който забрави за съпротивлението, колата му ще потегля по-бавно, отколкото е излязло в изчислението.

Защо тежките и леките падат еднакво

При свободно падане всички тела на едно място имат еднакво ускорение g ≈ 9,81 m/s², и камъкът, и ключовете. На човек му се струва, че по-тежкият камък трябва да пада по-бързо, защото Земята го тегли с по-голяма сила. Тегли го, но по-тежкият камък има същевременно и по-голяма маса и затова повече се съпротивлява на промяната на скоростта.

Колко „тежи“ един килограм, ще покаже динамометърът: Земята тегли всеки килограм със сила около 9,81 N. Силата на тежестта следователно расте право пропорционално на масата:

$$G=m\cdot g$$

Числото g тук се явява като сила на килограм, N/kg, а това е същото като m/s². Топка с маса 0,5 kg Земята тегли със сила около 4,9 N, боулинг топка с маса 5 kg десет пъти по-голяма сила, около 49 N. Топката има обаче и десет пъти по-голяма маса:

$$a=\frac{G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Десет пъти по-голяма сила, десет пъти по-голяма маса, еднакво ускорение. В общия случай $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, масата се съкращава.

Масата играе двойна роля: определя колко силно Земята тегли тялото и същевременно колко много тялото се съпротивлява на промяната на скоростта. Че и в двете роли се явява едно и също число, не е самоочевидно; проверява се с измерване и важи с огромна точност. Благодарение на това чукът пада като пирона.

Във въздуха се добавя съпротивление, което сочи нагоре, и равнодействащата е силата на тежестта, намалена със съпротивлението. При камъка съпротивлението е пренебрежимо в сравнение със силата на тежестта, при перото, което почти нищо не тежи, отнема от силата на тежестта почти всичко. Затова перото на Земята се носи, а камъкът пада. Съпротивлението на въздуха зависи от формата и скоростта на тялото, а не от масата му. Еднакво големи топчици от стомана и от полистирол въздухът спира при една и съща скорост еднакво. Колкото по-голяма е обаче масата, толкова по-малко съпротивлението отнема от ускорението, така че на стоманената топчица отнема само незначителна част, докато полистироловата забележимо спира.

Защо седалката ни притиска в гърба

Когато колата рязко потегли, усещаш как облегалката те притиска в гърба. Това е силата, която ти дава същото ускорение като на колата, и сега можем да я изчислим. Пътничката до шофьора има маса 60 kg. В семейна кола с ускорение 2,8 m/s² облегалката я притиска със сила

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

В спортна кола с ускорение 9,3 m/s² това вече е

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

За сравнение, отдолу я подпира седалката със сила, равна на силата на тежестта, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Облегалката следователно притиска в гърба почти толкова силно, колкото седалката отдолу, и затова говорим за претоварване почти 1g в хоризонтална посока. Отношението на двете сили е същото като отношението на ускоренията $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, масата на пътничката пак се съкращава.

Вторият закон следователно казва какво прави силата с тялото. Остава въпросът откъде идват силите и върху кого действат. Когато бутнеш количка, усещаш, че количката бута обратно ръката ти. Това е темата на третия закон на Нютон.

Как силите действат по двойки, ще покаже следващата статия, Трети закон на Нютон.