Скаляри та вектори

«Надворі 20 °C.» Більше нічого додавати не треба, кожен знає, чи брати куртку. Температуру описує число й одиниця. Та спробуй комусь підказати дорогу фразою «іди 100 м». Він одразу запитає: куди? Прямо, ліворуч, назад? Сто метрів на північ приведуть його до вокзалу, сто метрів на південь — просто в став. Такій величині недостатньо числа, потрібен ще й напрямок.

Скаляр чи вектор?

Величини, які повністю описує число з одиницею, називають скалярами. Скаляр — це температура, час, маса чи шлях. Коли кажеш, що торба має масу 5 кг або що фільм триває 2 год, нічого додавати не потрібно. Маса не спрямована ні ліворуч, ні вгору.

Величини, для яких важливий і напрямок, називаємо векторами. Типовий вектор — це сила. Хто хоч раз пересував шафу, знає, що штовхати її до стіни — це не те саме, що від стіни. Вектором є й швидкість: авто, що їде 90 км/год до Вінниці, й авто, що їде 90 км/год від Вінниці, мають однакову за модулем швидкість, і все ж кожне їде в інший бік.

Вектор впізнаємо за стрілкою над позначенням. Сила як вектор записується $\overrightarrow{F}$. Проте іноді напрямок нас не цікавить, і ми хочемо знати лише, наскільки велика сила. Цю частину називаємо модулем вектора і записуємо її або вертикальними рисками, або просто позначенням без стрілки:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Модуль сили — це скаляр, наприклад F = 300 Н. Ньютон Н — одиниця сили, більше про нього нам поки що знати не потрібно. Сила тут слугуватиме насамперед прикладом вектора.

Вектор як стрілка

Вектор малюємо як стрілку. Вона спрямована туди, куди вектор, а її довжина відповідає його модулю. Щоб можна було намалювати стрілку, обираємо масштаб, наприклад, що один сантиметр на папері означає 100 Н. Тоді сила 300 Н — це стрілка завдовжки три сантиметри, а сила 50 Н — лише півсантиметра.

На рисунку бачимо три червоні стрілки. Усі вони мають однакову довжину й напрямок, тож зображують один і той самий вектор $\overrightarrow{u}$, лише накреслений у трьох різних місцях. Вектор визначається тільки модулем і напрямком, а звідки виходить стрілка, неважливо. Тому стрілку можна довільно переміщувати, її тільки не можна повертати, скорочувати чи подовжувати. Це одразу стане нам у пригоді під час додавання.

Синя стрілка $\overrightarrow{w}$ така сама довга, як червоні, але спрямована інакше, тож це інший вектор. Обидва вектори мають однаковий модуль, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, і все ж $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Додавання векторів

Петро вирушає від хатини й іде 3 км на схід. Потім повертає й іде ще 4 км на північ. Як далеко він від хатини?

Намалюймо. На рисунку північ угорі, схід праворуч, а одна клітинка дорівнює кілометру. Помаранчева крапка — це хатина, червона стрілка — перший відрізок шляху, синя стрілка — другий.

Синя стрілка виходить не від хатини, а з кінця червоної. Адже Петро йшов на північ від того місця, до якого дійшов на схід. Так вектори й додаються: другу стрілку переносимо так, щоб вона починалася в кінці першої. Сума — це стрілка, що веде від початку першої стрілки до кінця другої. На рисунку вона зелена й показує, де Петро опинився. Анімація показує це поступово: синя стрілка спочатку виходить із того самого місця, що й червона, потім переходить на її кінець, і лише тоді з'являється зелена.

Якщо замість векторів додати звичайні числа, вийде 3 км + 4 км = 7 км. Сім кілометрів Петро справді пройшов, проте від хатини він не так далеко. Він ішов манівцями, зелена стрілка — це дорога навпростець, і тому вона коротша за обидва відрізки разом.

Яка довжина зеленої стрілки? Червона, синя й зелена утворюють прямокутний трикутник, тобто трикутник з одним прямим кутом. Дві сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а третя, найдовша, навпроти прямого кута, — гіпотенуза. Для прямокутного трикутника виконується теорема Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Катети мають 3 км і 4 км, тож для гіпотенузи c маємо

$$c^2=(3\mathrm{к}\mathrm{м}{)}^2+(4\mathrm{к}\mathrm{м}{)}^2.$$

Піднесемо до квадрата. До квадрата підносимо й одиницю: кілометр на кілометр — це квадратний кілометр:

$$c^2=9{\mathrm{к}\mathrm{м}}^2+16{\mathrm{к}\mathrm{м}}^2=25{\mathrm{к}\mathrm{м}}^2$$

І добудемо корінь:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{к}\mathrm{м}}^2}=5\mathrm{к}\mathrm{м}$$

Петро віддалений від хатини на 5 км. Стрілку, що веде з місця, де ми почали, до місця, де закінчили, у фізиці називають переміщенням. На відміну від пройдених кілометрів, це вектор: крім п'яти кілометрів він указує й на те, у якому напрямку лежить хатина. До напрямку повернемося наприкінці статті.

Суму можна записати так само, як і для чисел, тільки зі стрілками. Коли додаємо два вектори $\overrightarrow{u}$ і $\overrightarrow{w}$, отримуємо новий вектор $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Зверни увагу: модуль суми загалом не дорівнює сумі модулів. Якщо перший відрізок Петрового шляху позначимо $\overrightarrow{u}$, а другий $\overrightarrow{w}$, то модуль суми дорівнює

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{к}\mathrm{м},$$

тоді як сума модулів

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{к}\mathrm{м}+4\mathrm{к}\mathrm{м}=7\mathrm{к}\mathrm{м}.$$

Правило паралелограма

Власник двох собак тримає їх на повідках. Кожен тягне в свій бік, один із силою ${\overrightarrow{F}}_1$, другий із силою ${\overrightarrow{F}}_2$, і обидві сили діють на руку, в якій власник тримає повідки. Куди собаки тягнуть його разом?

Сили діють в одній точці, тому стрілки найприродніше малювати зі спільного початку. Рівнодійну силу знайдемо за правилом паралелограма. З кінця кожної стрілки проводимо пунктиром пряму, паралельну іншій. Так утворюється паралелограм, а його діагональ, що виходить зі спільної точки, і є шуканою сумою $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Чому це працює? Права пунктирна сторона паралелограма така сама довга, як синя стрілка, і паралельна їй. Тобто це синя стрілка ${\overrightarrow{F}}_2$, лише перенесена на кінець червоної ${\overrightarrow{F}}_1$. Це ми вже знаємо з попередньої частини: другу стрілку ми перенесли на кінець першої. Обидва способи, і паралелограм, і ланцюжок стрілок одна за одною, завжди дають однаковий результат. Стрілки одна за одною пасують до процесів, що відбуваються послідовно (спершу на схід, потім на північ), паралелограм — до сил, що діють одночасно в одній точці.

Зелена стрілка показує, куди собаки тягнуть власника. Рівнодійну силу часто називають коротко рівнодійною. Оскільки кожен тягне трохи в інший бік, рівнодійна менша, ніж якби обидва тягли в один бік. Її модуль виміряємо на рисунку за масштабом. Обчислити його поки що вміємо лише у двох випадках: коли сили перпендикулярні одна до одної, як два відрізки Петрового шляху, або коли лежать на одній прямій (про це відразу нижче).

Вектори на одній прямій

Найлегше обчислювати, коли вектори лежать на одній прямій. Двоє друзів штовхають зламане авто. Один штовхає із силою 300 Н, другий із силою 250 Н, обидва вперед. Стрілки кладемо одну за одною, і виходить стрілка, довжина якої — просто сума:

$$F=300\mathrm{Н}+250\mathrm{Н}=550\mathrm{Н}$$

Червона й синя стрілки — це сили обох друзів, зелена — рівнодійна сила.

Інша ситуація: перетягування канату. Одна команда тягне праворуч із силою 300 Н, друга ліворуч із силою 250 Н. Обидві сили діють на вузол посередині канату й спрямовані точно одна проти одної. Стрілки виходять із вузла в протилежні боки, і тому рівнодійна — це різниця:

$$F=300\mathrm{Н}-250\mathrm{Н}=50\mathrm{Н}$$

Сила першої команди на рисунку червона, другої — синя, а рівнодійна — зелена. Рівнодійна 50 Н спрямована праворуч, у бік сильнішої команди. Якби обидві команди тягли однаково сильно, рівнодійна була б нульовою, і сили зрівноважилися б. Лише коли вектори спрямовані в один бік або точно в протилежні, їхні модулі додаються й віднімаються як звичайні числа.

Протилежний вектор і множення на число

Вектор, що має такий самий модуль, як $\overrightarrow{u}$, але спрямований точно протилежно, називається протилежним вектором і записується $-\overrightarrow{u}$. На рисунку нижче він синій. Якщо до вектора додати протилежний до нього, повернемося туди, звідки вийшли, і отримаємо нульовий вектор:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Так закінчується перетягування канату двома однаково сильними командами. Завдяки протилежному вектору можна й віднімати: відняти $\overrightarrow{w}$ означає додати $-\overrightarrow{w}$, тобто $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Вектор можна також помножити на число. Зелений вектор $2\overrightarrow{u}$ спрямований так само, як $\overrightarrow{u}$, але вдвічі довший. Це те саме, що $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, дві однакові стрілки одна за одною. Коли множимо на від'ємне число, вектор до того ж змінює напрямок: помаранчевий вектор $-2\overrightarrow{u}$ удвічі довший і спрямований протилежно. Протилежний вектор $-\overrightarrow{u}$ — це, власне, вектор $\overrightarrow{u}$, помножений на число −1.

У фізиці це означає: якщо подвоїмо силу й залишимо її діяти в тому самому напрямку, отримаємо силу $2\overrightarrow{F}$. Модуль подвоїться, напрямок залишиться.

Синус і косинус

Похилий вектор часто зручно розкласти на два перпендикулярні, наприклад на горизонтальний і вертикальний. Для цього треба ввести два нові поняття, синус і косинус. Обидва ґрунтуються на прямокутному трикутнику.

Трикутник на рисунку має прямий кут при вершині C, гіпотенуза — це чорна сторона c. Розгляньмо кут α при вершині A. Червоний катет a лежить навпроти нього, тому його називають протилежним. Синій катет b утворює кут α разом із гіпотенузою, його називають прилеглим.

Синус кута α — це відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус — це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Навіщо таке відношення? Збільш увесь трикутник удвічі. Усі сторони стануть удвічі довшими, але кути залишаться такими самими. Відношення $\frac{a}{c}$ не зміниться, бо удвічі збільшаться і чисельник, і знаменник. Тому синус і косинус залежать не від розміру накресленого трикутника, а лише від величини кута α. Кут 30° має той самий синус, чи малюєш ти трикутник у зошиті, чи на шкільному стадіоні.

Гіпотенуза в прямокутному трикутнику — найдовша сторона, тому обидва відношення завжди менші за одиницю. Ні синус, ні косинус гострого кута ніколи не перевищує одиниці.

Синус і косинус будь-якого кута обчислить калькулятор, на ньому є кнопки sin і cos. Але стеж, щоб калькулятор рахував у градусах. Якщо на дисплеї не видно DEG, а видно RAD або GRAD, він рахує в інших одиницях кута, і виходить нісенітниця. Це одна з найчастіших помилок у контрольних. На сайті можеш скористатися калькулятором синуса або косинуса, інші властивості обох функцій знайдеш у статті Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

Три кути без калькулятора

Для кутів 30°, 45° і 60° синус і косинус можна знайти й без калькулятора. Нам вистачить рівностороннього трикутника та квадрата.

Ліворуч бачимо рівносторонній трикутник зі стороною 2. Усі його кути мають 60°. Пунктирна висота ділить його на два рівні прямокутні трикутники. Червоний має гіпотенузу 2, нижній катет 1, бо це половина сторони, і кути 60° унизу та 30° угорі, бо висота ділить верхній кут навпіл. Довжину висоти знайдемо з теореми Піфагора: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Лишається підставити в означення. Проти кута 30° лежить катет 1, тож

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Для кута 60° навпаки, проти нього лежить висота $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Праворуч квадрат зі стороною 1, поділений діагоналлю. Діагональ ділить прямий кут навпіл, тож синій трикутник має кут 45°, обидва катети завдовжки 1 і гіпотенузу $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Синус і косинус виходять однакові:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Усе разом:

Цікаво, що синус 30° дорівнює косинусу 60° і навпаки. Це не випадковість: протилежний катет одного гострого кута є прилеглим катетом другого.

Розкладання вектора на складові

Остап везе на санчатах молодшу сестру. Мотузку тримає в руці, тож вона йде не горизонтально, а похило вгору й утворює із землею кут 30°. Остап тягне за неї із силою 100 Н. Але санчата їдуть по землі, а не похило в повітря. Яка частина цієї сили справді спрямована вперед?

Похилу силу $\overrightarrow{F}$ замінимо парою сил, горизонтальною й вертикальною. Їх називають складовими і позначають ${\overrightarrow{F}}_x$ та ${\overrightarrow{F}}_y$ за осями x і y. Обираємо їх так, щоб їхня сума точно дорівнювала початковій силі:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

На рисунку зелена сила $\overrightarrow{F}$ та її складові, червона горизонтальна й синя вертикальна. Пунктиром добудовано прямокутник. Права пунктирна сторона — це синя складова, перенесена на кінець червоної, тож червона й синя стрілки одна за одною справді дають зелену. Це правило паралелограма навпаки: там із двох сил ми робили одну, тут з однієї дві. Паралелограм у цьому випадку є прямокутником, бо складові перпендикулярні.

Червона складова, права пунктирна сторона й зелена сила утворюють прямокутний трикутник. Гіпотенуза — це сила $\overrightarrow{F}$ з модулем F. Горизонтальна складова — прилеглий катет кута α, а вертикальна складова така сама довга, як протилежний катет. З означень синуса й косинуса маємо

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Обидві рівності помножимо на модуль сили F і отримаємо формули для модулів складових:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Підставимо Остапові значення. Горизонтальна складова дорівнює

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{Н}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{Н}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{Н}\end{array}$$

а вертикальна

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{Н}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{Н}\cdot 0,5=50\mathrm{Н}.\end{array}$$

Уперед тягне санчата лише приблизно 86,6 Н зі ста. Решта, вертикальна складова 50 Н, трохи підіймає санчата, тож вони менше тиснуть на сніг.

Зверни увагу, що 86,6 Н + 50 Н дає більше, ніж 100 Н. Це не помилка, складові є векторами й не додаються як числа. Додавати можна лише стрілки, одну за одною, і вони знову дадуть початкові 100 Н.

А якщо Остап підніме мотузку вище, до 60°? Тоді

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{Н}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{Н}\cdot 0,5=50\mathrm{Н}.\end{array}$$

Уперед він тягнув би лише половиною сили. Чим крутіше йде мотузка, тим менша частина сили спрямована вперед і тим більше вона підіймає санчата.

Від складових до вектора

Досі ми силу розкладали. Часто потрібне протилежне: знаємо дві перпендикулярні складові й хочемо знайти увесь вектор. Складові — це катети прямокутного трикутника, а вектор — його гіпотенуза, тож модуль обчислимо за теоремою Піфагора:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Перевіримо на санчатах. Підставимо складові:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{Н}{)}^2+(50\mathrm{Н}{)}^2}$$

Піднесемо до квадрата:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{Н}}^2+2500{\mathrm{Н}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{Н}}^2}\end{array}$$

І добудемо корінь:

$$F\approx 100,0\mathrm{Н}$$

Отримали початкову силу. Невелика розбіжність під коренем виникла тому, що косинус ми округлили до 0,866.

Тепер можемо повернутися до Петра та його прогулянки. Його переміщення має складові 3 км на схід і 4 км на північ, а модуль ми вже знаємо, 5 км. Лишається напрямок. Позначимо α кут, який зелена стрілка утворює з червоною, тобто з напрямком на схід. Північна складова 4 км лежить навпроти нього, а гіпотенуза має 5 км:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{к}\mathrm{м}}{5\mathrm{к}\mathrm{м}}=0,8$$

Кілометри скоротилися, синус — це звичайне число без одиниці. Кут, синус якого дорівнює 0,8, знайде калькулятор кнопкою sin⁻¹ (вона буває над кнопкою sin, на сайті стане в пригоді калькулятор арксинуса):

$$\alpha \approx 53°$$

Отже, Петрове переміщення — 5 км у напрямку, що відхиляється від сходу на 53° до півночі. Модуль і напрямок, більше вектору нічого не потрібно. Якби Петро хотів повернутися найкоротшим шляхом, він ішов би вздовж протилежного вектора: 5 км у протилежному напрямку, тобто на південний захід, трохи більше на південь, ніж на захід.

Переміщення супроводжуватиме нас у всій кінематиці. У наступній статті, Рух і спокій, ми протиставимо його шляху й покажемо, чому бігунка після цілого кола навколо стадіону, власне, нікуди не перемістилася.