Skalära och vektoriella storheter

”Det är 20 °C ute.” Mer behöver man inte säga, alla vet om det är dags för jackan. Temperaturen beskrivs av ett tal och en enhet. Men försök förklara vägen för någon med meningen ”gå 100 m”. Genast kommer frågan: vart? Rakt fram, åt vänster, tillbaka? Hundra meter norrut leder till stationen, hundra meter söderut rakt ut i sjön. För en sådan storhet räcker det inte med ett tal, vi behöver också en riktning.

Skalär eller vektor?

Storheter som beskrivs fullständigt av ett tal med enhet kallas skalärer. Temperatur, tid, massa och sträcka är skalärer. När du säger att en väska har massan 5 kg eller att en film varar 2 h behöver du inte lägga till något mer. Massa pekar varken åt vänster eller uppåt.

Storheter där även riktningen spelar roll kallar vi vektorer. Ett typiskt exempel på en vektor är kraft. Den som någon gång flyttat ett skåp vet att det är skillnad på att trycka det mot väggen och bort från väggen. Hastighet är också en vektor: en bil som kör 90 km/h mot Örebro och en bil som kör 90 km/h från Örebro har lika stor fart, men ändå kör de åt olika håll.

En vektor känner vi igen på pilen över beteckningen. Kraft som vektor skrivs $\overrightarrow{F}$. Ibland bryr vi oss dock inte om riktningen och vill bara veta hur stor kraften är. Den delen kallar vi vektorns storlek och skriver den antingen med lodräta streck eller helt enkelt med beteckningen utan pil:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Kraftens storlek är en skalär, till exempel F = 300 N. Newton N är enheten för kraft, mer om den behöver vi inte veta än så länge. Kraften fungerar här framför allt som exempel på en vektor.

Vektorn som pil

En vektor ritar vi som en pil. Den pekar åt samma håll som vektorn, och dess längd motsvarar vektorns storlek. För att kunna rita pilen väljer vi en skala, till exempel att en centimeter på papperet betyder 100 N. Kraften 300 N blir då en pil som är tre centimeter lång, kraften 50 N en pil på bara en halv centimeter.

I figuren ser vi tre röda pilar. De har alla samma längd och riktning, så de föreställer en och samma vektor $\overrightarrow{u}$, bara ritad på tre olika ställen. En vektor bestäms endast av storlek och riktning, och det spelar ingen roll var pilen utgår från. Därför får vi flytta pilen fritt, vi får bara inte vrida den eller göra den kortare eller längre. Det har vi nytta av redan vid addition.

Den blå pilen $\overrightarrow{w}$ är lika lång som de röda, men pekar åt ett annat håll, så den är en annan vektor. Båda vektorerna har samma storlek, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, och ändå gäller $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Addition av vektorer

Oscar lämnar stugan och går 3 km österut. Sedan svänger han och går ytterligare 4 km norrut. Hur långt från stugan är han?

Vi ritar det. I figuren är norr uppåt, öster åt höger och varje ruta är en kilometer. Den orange pricken är stugan, den röda pilen är den första sträckan och den blå pilen den andra.

Den blå pilen utgår inte från stugan utan från slutet av den röda. Oscar gick ju norrut från den plats dit han kom när han gick österut. Så adderas vektorer: den andra pilen flyttar vi så att den börjar där den första slutar. Summan är då pilen som går från början av den första pilen till slutet av den andra. I figuren är den grön och visar var Oscar hamnade. Animationen visar det steg för steg: den blå pilen utgår först från samma plats som den röda, flyttas sedan till den rödas slut, och först därefter dyker den gröna upp.

Om vi i stället för vektorer adderar vanliga tal får vi 3 km + 4 km = 7 km. Sju kilometer har Oscar verkligen gått, men så långt från stugan är han inte. Han gick en omväg, den gröna pilen är en genväg och därför kortare än båda sträckorna tillsammans.

Hur lång är den gröna pilen? Den röda, den blå och den gröna bildar tillsammans en rätvinklig triangel, alltså en triangel med en rät vinkel. De två sidorna som bildar den räta vinkeln heter kateter, och den tredje, den längsta, mitt emot den räta vinkeln, är hypotenusan. För en rätvinklig triangel gäller Pythagoras sats: kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna. Kateterna är 3 km och 4 km, så för hypotenusan c gäller

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Vi kvadrerar. Enheten kvadreras också, kilometer gånger kilometer är kvadratkilometer:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Och sedan tar vi kvadratroten:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Oscar är 5 km från stugan. Pilen som går från platsen där vi började till platsen där vi slutade kallas i fysiken förflyttning. Till skillnad från de gångna kilometerna är den en vektor: förutom fem kilometer säger den också i vilken riktning stugan ligger. Till riktningen kommer vi tillbaka i slutet av artikeln.

Summan kan vi skriva som för tal, bara med pilar. När vi adderar två vektorer $\overrightarrow{u}$ och $\overrightarrow{w}$ får vi en ny vektor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Observera att summans storlek i allmänhet inte är summan av storlekarna. Om vi kallar Oscars första sträcka $\overrightarrow{u}$ och den andra $\overrightarrow{w}$ är summans storlek

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

medan summan av storlekarna är

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Parallellogramregeln

En hundägare har två hundar i kopplet. Varje hund drar åt sitt håll, den ena med kraften ${\overrightarrow{F}}_1$, den andra med kraften ${\overrightarrow{F}}_2$, och båda krafterna verkar på handen som håller i kopplen. Åt vilket håll drar hundarna honom tillsammans?

Krafterna verkar i samma punkt, därför ritar vi pilarna mest naturligt från en gemensam början. Den resulterande kraften hittar vi med parallellogramregeln. Från spetsen av varje pil drar vi en streckad linje parallell med den andra pilen. Då uppstår ett parallellogram, och dess diagonal från den gemensamma punkten är den sökta summan $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Varför fungerar det? Den högra streckade sidan i parallellogrammet är lika lång som den blå pilen och parallell med den. Den är alltså den blå pilen ${\overrightarrow{F}}_2$, bara flyttad till slutet av den röda ${\overrightarrow{F}}_1$. Det känner vi redan från föregående avsnitt: vi flyttade den andra pilen till slutet av den första. Båda sätten, parallellogrammet och att lägga pilarna efter varandra, leder alltid till samma resultat. Pilar efter varandra passar för förlopp som sker i tur och ordning (först österut, sedan norrut), parallellogrammet för krafter som verkar samtidigt i samma punkt.

Den gröna pilen visar åt vilket håll hundarna drar hundägaren. Den resulterande kraften kallas också resultant. Eftersom var och en drar lite åt sitt håll är den resulterande kraften mindre än om båda hade dragit åt samma håll. Dess storlek mäter vi i figuren med hjälp av skalan. Beräkna den kan vi än så länge bara i två fall: när krafterna är vinkelräta mot varandra, som Oscars två sträckor, eller när de ligger på en rät linje (det kommer strax).

Vektorer på en rät linje

Det är enklast att räkna när vektorerna ligger på en rät linje. Två kompisar skjuter på en bil som har gått sönder. Den ene skjuter med kraften 300 N, den andre med kraften 250 N, båda framåt. Vi lägger pilarna efter varandra och får en pil vars längd helt enkelt är summan:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Den röda och den blå pilen är kompisarnas krafter, den gröna är den resulterande kraften.

En annan situation: dragkamp. Det ena laget drar åt höger med kraften 300 N, det andra åt vänster med kraften 250 N. Båda krafterna verkar på knuten mitt på repet och pekar rakt mot varandra. Pilarna utgår från knuten åt motsatta håll, och därför är den resulterande kraften en differens:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Det första lagets kraft är röd i figuren, det andra lagets blå och den resulterande kraften grön. Den resulterande kraften 50 N pekar åt höger, åt det starkare lagets håll. Om båda lagen hade dragit lika hårt hade den resulterande kraften varit noll och krafterna hade tagit ut varandra. Bara när vektorerna pekar åt samma håll eller exakt åt motsatta håll adderas och subtraheras deras storlekar som vanliga tal.

Motsatt vektor och multiplikation med ett tal

En vektor som har samma storlek som $\overrightarrow{u}$ men pekar exakt åt motsatt håll kallas motsatt vektor och skrivs $-\overrightarrow{u}$. I figuren nedan är den blå. Om vi adderar den motsatta vektorn till en vektor kommer vi tillbaka dit vi började och får nollvektorn:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Så slutar dragkampen mellan två lika starka lag. Tack vare den motsatta vektorn kan vi också subtrahera: att subtrahera $\overrightarrow{w}$ betyder att addera $-\overrightarrow{w}$, alltså $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

En vektor kan vi också multiplicera med ett tal. Den gröna vektorn $2\overrightarrow{u}$ pekar åt samma håll som $\overrightarrow{u}$ men är dubbelt så lång. Det är detsamma som $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, två likadana pilar efter varandra. När vi multiplicerar med ett negativt tal vänder vektorn dessutom riktning: den orange vektorn $-2\overrightarrow{u}$ är dubbelt så lång och pekar åt motsatt håll. Den motsatta vektorn $-\overrightarrow{u}$ är i själva verket vektorn $\overrightarrow{u}$ multiplicerad med talet −1.

I fysiken betyder det: om vi fördubblar en kraft och låter den verka åt samma håll får vi kraften $2\overrightarrow{F}$. Storleken fördubblas, riktningen är densamma.

Sinus och cosinus

En sned vektor lönar det sig ofta att dela upp i två vinkelräta, till exempel en vågrät och en lodrät. För det måste vi införa två nya begrepp, sinus och cosinus. Båda utgår från en rätvinklig triangel.

Triangeln i figuren har en rät vinkel vid hörnet C, och hypotenusan är den svarta sidan c. Vi tittar på vinkeln α vid hörnet A. Den röda katetern a ligger mitt emot den, därför kallas den motstående. Den blå katetern b bildar vinkeln α tillsammans med hypotenusan, den kallas närliggande.

Sinus för vinkeln α är förhållandet mellan den motstående katetern och hypotenusan, cosinus är förhållandet mellan den närliggande katetern och hypotenusan:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Vad är ett sådant förhållande bra för? Gör hela triangeln dubbelt så stor. Alla sidor blir dubbelt så långa, men vinklarna förblir desamma. Förhållandet $\frac{a}{c}$ ändras inte, eftersom både täljare och nämnare fördubblas. Sinus och cosinus beror därför inte på storleken på den ritade triangeln, utan bara på vinkeln α. Vinkeln 30° har alltid samma sinus, vare sig du ritar triangeln i skrivboken eller på skolgården.

Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel, så båda förhållandena blir alltid mindre än ett. Varken sinus eller cosinus för en spetsig vinkel är någonsin större än ett.

Sinus och cosinus för en godtycklig vinkel räknar miniräknaren ut, den har knapparna sin och cos. Se bara till att miniräknaren räknar i grader. Om du på displayen inte ser DEG utan RAD eller GRAD räknar den med andra vinkelenheter och det blir nonsens. Det är ett av de vanligaste felen på prov. På webben kan du använda sinuskalkylatorn eller cosinuskalkylatorn. Fler egenskaper hos båda funktionerna hittar du i artikeln Egenskaper hos sinus, cosinus, tangens och cotangens.

Tre vinklar utan miniräknare

För vinklarna 30°, 45° och 60° kan vi beräkna sinus och cosinus även utan miniräknare. Vi klarar oss med en liksidig triangel och en kvadrat.

Till vänster ser vi en liksidig triangel med sidan 2. Alla dess vinklar är 60°. Den streckade höjden delar den i två kongruenta rätvinkliga trianglar. Den röda har hypotenusan 2, den nedre katetern 1 eftersom den är hälften av sidan, och vinklarna 60° nedtill och 30° upptill, eftersom höjden delar den övre vinkeln på mitten. Höjdens längd räknar vi ut med Pythagoras sats: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Nu återstår att sätta in i definitionerna. Mitt emot vinkeln 30° ligger katetern 1, så

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

För vinkeln 60° är det tvärtom, mitt emot den ligger höjden $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Till höger är en kvadrat med sidan 1, delad av en diagonal. Diagonalen delar den räta vinkeln på mitten, så den blå triangeln har vinkeln 45°, båda kateterna med längden 1 och hypotenusan $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus och cosinus blir lika:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Allt tillsammans:

Intressant nog är sinus för 30° lika med cosinus för 60° och tvärtom. Det är ingen slump: den motstående katetern till den ena spetsiga vinkeln är den närliggande katetern till den andra.

Uppdelning av en vektor i komposanter

Pelle drar sin lillasyster på en kälke. Han håller i repet, så det går inte vågrätt utan snett uppåt och bildar vinkeln 30° med marken. Pelle drar i det med kraften 100 N. Kälken åker dock längs marken, inte snett upp i luften. Hur mycket av kraften går egentligen framåt?

Den sneda kraften $\overrightarrow{F}$ ersätter vi med två krafter, en vågrät och en lodrät. De kallas komposanter och skrivs ${\overrightarrow{F}}_x$ och ${\overrightarrow{F}}_y$ efter axlarna x och y. Vi väljer dem så att deras summa är exakt lika med den ursprungliga kraften:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

I figuren är den gröna kraften $\overrightarrow{F}$ och dess komposanter, den röda vågräta och den blå lodräta. Med streckade linjer är figuren kompletterad till en rektangel. Den högra streckade sidan är den blå komposanten flyttad till slutet av den röda, så den röda och den blå pilen efter varandra ger verkligen den gröna. Det är parallellogramregeln baklänges: där gjorde vi en kraft av två, här två av en. Parallellogrammet är i det här fallet en rektangel, eftersom komposanterna är vinkelräta mot varandra.

Den röda komposanten, den högra streckade sidan och den gröna kraften bildar en rätvinklig triangel. Hypotenusan är kraften $\overrightarrow{F}$ med storleken F. Den vågräta komposanten är den närliggande katetern till vinkeln α och den lodräta komposanten är lika lång som den motstående katetern. Av definitionerna av sinus och cosinus gäller

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Vi multiplicerar båda ekvationerna med kraftens storlek F och får formlerna för komposanternas storlekar:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Vi sätter in Pelles värden. Den vågräta komposanten är

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

och den lodräta

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Bara cirka 86,6 N av de hundra drar kälken framåt. Den återstående lodräta komposanten 50 N lättar lite på kälken, så den trycker mindre mot snön.

Lägg märke till att 86,6 N + 50 N blir mer än 100 N. Det är inget fel, komposanterna är vektorer och adderas inte som tal. Det som kan adderas är pilar, efter varandra, och de ger tillbaka de ursprungliga 100 N.

Och om Pelle lyfter repet högre, till 60°? Då är

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Då skulle han bara dra framåt med hälften av kraften. Ju brantare repet går, desto mindre del av kraften går framåt och desto mer lättar den på kälken.

Att sätta ihop komposanterna igen

Hittills har vi delat upp krafter. Ofta behövs det omvända: vi känner två vinkelräta komposanter och vill ha hela vektorn. Komposanterna är kateter i en rätvinklig triangel och vektorn är dess hypotenusa, så storleken beräknar vi med Pythagoras sats:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Vi kontrollerar det på kälken. Vi sätter in komposanterna:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Vi kvadrerar:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Och tar kvadratroten:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Vi fick den ursprungliga kraften. Den lilla avvikelsen under rottecknet beror på att vi avrundade cosinus till 0,866.

Nu kan vi gå tillbaka till Oscar och hans promenad. Hans förflyttning har komposanterna 3 km österut och 4 km norrut, och storleken känner vi redan, 5 km. Återstår riktningen. Låt α vara vinkeln som den gröna pilen bildar med den röda, alltså med riktningen österut. Den norra komposanten 4 km ligger mitt emot den, och hypotenusan är 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometerna förkortades bort, sinus är ett vanligt tal utan enhet. Vinkeln vars sinus är 0,8 hittar miniräknaren med knappen sin⁻¹ (den sitter ofta ovanför knappen sin, på webben kan du använda arcus sinus-kalkylatorn):

$$\alpha \approx 53°$$

Oscars förflyttning är alltså 5 km i en riktning som vrider sig 53° från öster mot norr. Storlek och riktning, mer behöver en vektor inte. Om Oscar ville gå tillbaka den kortaste vägen skulle han gå längs den motsatta vektorn: 5 km åt motsatt håll, alltså åt sydväst, lite mer söderut än västerut.

Förflyttningen kommer att följa oss genom hela kinematiken. I nästa artikel, Rörelse och vila, ställer vi den mot sträckan och visar varför en löpare som sprungit ett helt varv runt planen egentligen inte har förflyttat sig alls.