Skalare und vektorielle Größen

„Draußen sind es 20 °C.“ Mehr muss man nicht sagen, jeder weiß, ob er eine Jacke mitnehmen sollte. Die Temperatur wird durch eine Zahl und eine Einheit beschrieben. Aber versuch einmal, jemandem mit den Worten „Geh 100 m“ den Weg zu erklären. Er fragt sofort: wohin? Geradeaus, nach links, zurück? Hundert Meter nach Norden bringen ihn zum Bahnhof, hundert Meter nach Süden direkt in den Teich. Einer solchen Größe genügt die Zahl nicht, wir brauchen zu ihr auch eine Richtung.

Skalar oder Vektor?

Größen, die eine Zahl mit Einheit vollständig beschreibt, heißen Skalare. Ein Skalar ist die Temperatur, die Zeit, die Masse oder der Weg. Wenn du sagst, dass die Tasche eine Masse von 5 kg hat oder dass der Film 2 h dauert, musst du nichts mehr hinzufügen. Die Masse zeigt nicht nach links oder nach oben.

Größen, bei denen auch die Richtung eine Rolle spielt, nennen wir Vektoren. Ein typischer Vektor ist die Kraft. Wer schon einmal einen Schrank verschoben hat, weiß, dass es etwas anderes ist, ihn zur Wand hin zu schieben oder von der Wand weg. Ein Vektor ist auch die Geschwindigkeit: Ein Auto, das mit 90 km/h nach Stuttgart fährt, und ein Auto, das mit 90 km/h aus Stuttgart herausfährt, haben gleich große Geschwindigkeiten, und trotzdem fährt jedes woandershin.

Einen Vektor erkennst du an dem Pfeil über dem Formelzeichen. Die Kraft als Vektor schreibt man $\overrightarrow{F}$. Manchmal interessiert uns die Richtung aber nicht, und wir wollen nur wissen, wie groß die Kraft ist. Diesen Teil nennen wir den Betrag des Vektors und schreiben ihn entweder mit senkrechten Strichen oder einfach als Formelzeichen ohne Pfeil:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Der Betrag der Kraft ist ein Skalar, zum Beispiel F = 300 N. Das Newton N ist die Einheit der Kraft, mehr müssen wir vorerst nicht darüber wissen. Die Kraft dient uns hier vor allem als Beispiel für einen Vektor.

Der Vektor als Pfeil

Einen Vektor zeichnen wir als Pfeil. Er zeigt dorthin, wohin der Vektor zeigt, und seine Länge entspricht dem Betrag. Damit wir den Pfeil zeichnen können, wählen wir einen Maßstab, zum Beispiel, dass ein Zentimeter auf dem Papier 100 N bedeutet. Eine Kraft von 300 N ist dann ein drei Zentimeter langer Pfeil, eine Kraft von 50 N nur einen halben Zentimeter lang.

Im Bild sehen wir drei rote Pfeile. Alle haben dieselbe Länge und Richtung, stellen also ein und denselben Vektor $\overrightarrow{u}$ dar, nur an drei verschiedenen Stellen gezeichnet. Ein Vektor ist allein durch Betrag und Richtung bestimmt, es kommt nicht darauf an, wo der Pfeil beginnt. Wir dürfen den Pfeil deshalb beliebig verschieben, nur drehen, kürzen oder verlängern dürfen wir ihn nicht. Das kommt uns gleich beim Addieren zugute.

Der blaue Pfeil $\overrightarrow{w}$ ist genauso lang wie die roten, zeigt aber woandershin, es handelt sich also um einen anderen Vektor. Beide Vektoren haben denselben Betrag, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, und trotzdem gilt $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Vektoren addieren

Peter geht von der Hütte los und läuft 3 km nach Osten. Dann biegt er ab und läuft noch 4 km nach Norden. Wie weit ist er von der Hütte entfernt?

Wir zeichnen es auf. Im Bild ist Norden oben, Osten rechts, und ein Kästchen ist einen Kilometer lang. Der orangefarbene Punkt ist die Hütte, der rote Pfeil ist die erste Etappe und der blaue Pfeil die zweite.

Der blaue Pfeil beginnt nicht an der Hütte, sondern am Ende des roten. Peter ist ja erst von dem Ort aus nach Norden gegangen, den er auf dem Weg nach Osten erreicht hatte. So addiert man Vektoren: Wir verschieben den zweiten Pfeil so, dass er am Ende des ersten beginnt. Die Summe ist dann der Pfeil, der vom Anfang des ersten Pfeils zum Ende des zweiten führt. Im Bild ist das der grüne, er zeigt, wo Peter angekommen ist. Die Animation zeigt es Schritt für Schritt: Der blaue Pfeil geht zuerst vom selben Punkt aus wie der rote, wandert dann an dessen Ende, und erst danach erscheint der grüne.

Addieren wir statt der Vektoren gewöhnliche Zahlen, kommt 3 km + 4 km = 7 km heraus. Sieben Kilometer ist Peter wirklich gelaufen, aber so weit ist er von der Hütte nicht entfernt. Er ist einen Umweg gegangen, der grüne Pfeil ist die Abkürzung und deshalb kürzer als beide Strecken zusammen.

Wie lang ist der grüne Pfeil? Der rote, der blaue und der grüne bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck, also ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten, und die dritte, längste, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten. Die Katheten sind 3 km und 4 km lang, also gilt für die Hypotenuse c

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Wir quadrieren. Dabei wird auch die Einheit quadriert, Kilometer mal Kilometer ist ein Quadratkilometer:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Und ziehen die Wurzel:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Peter ist 5 km von der Hütte entfernt. Der Pfeil, der vom Ausgangspunkt zum Endpunkt führt, heißt in der Physik Verschiebung. Anders als die gelaufenen Kilometer ist sie ein Vektor: Neben den fünf Kilometern sagt sie auch, in welcher Richtung die Hütte liegt. Zur Richtung kommen wir am Ende des Artikels zurück.

Die Summe können wir genauso schreiben wie bei Zahlen, nur mit Pfeilen. Wenn wir zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{w}$ addieren, erhalten wir einen neuen Vektor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Vorsicht, der Betrag der Summe ist im Allgemeinen nicht die Summe der Beträge. Nennen wir Peters erste Etappe $\overrightarrow{u}$ und die zweite $\overrightarrow{w}$, ist der Betrag der Summe

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

die Summe der Beträge dagegen

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Parallelogrammregel

Ein Hundebesitzer führt zwei Hunde an der Leine. Jeder zieht woandershin, einer mit der Kraft ${\overrightarrow{F}}_1$, der andere mit der Kraft ${\overrightarrow{F}}_2$, und beide Kräfte wirken auf die Hand, in der er die Leinen hält. Wohin ziehen ihn die Hunde zusammen?

Die Kräfte wirken im selben Punkt, deshalb zeichnen wir die Pfeile am natürlichsten von einem gemeinsamen Anfang aus. Die resultierende Kraft finden wir mit der Parallelogrammregel. Vom Ende jedes Pfeils ziehen wir gestrichelt eine Parallele zum anderen. So entsteht ein Parallelogramm, und seine Diagonale, die vom gemeinsamen Punkt ausgeht, ist die gesuchte Summe $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Warum funktioniert das? Die rechte gestrichelte Seite des Parallelogramms ist genauso lang wie der blaue Pfeil und parallel zu ihm. Das ist also der blaue Pfeil ${\overrightarrow{F}}_2$, nur an das Ende des roten ${\overrightarrow{F}}_1$ verschoben. Das kennen wir schon aus dem vorigen Abschnitt: Wir haben den zweiten Pfeil an das Ende des ersten verschoben. Beide Verfahren, das Parallelogramm und das Aneinanderreihen der Pfeile, führen immer zum selben Ergebnis. Aneinandergereihte Pfeile eignen sich für Vorgänge, die nacheinander ablaufen (erst nach Osten, dann nach Norden), das Parallelogramm für Kräfte, die gleichzeitig im selben Punkt wirken.

Der grüne Pfeil zeigt, wohin die Hunde den Besitzer ziehen. Die resultierende Kraft heißt auch Resultierende. Weil jeder ein wenig woandershin zieht, ist die resultierende Kraft kleiner, als wenn beide in dieselbe Richtung zögen. Ihren Betrag messen wir im Bild mithilfe des Maßstabs ab. Berechnen können wir ihn vorerst nur in zwei Fällen: wenn die Kräfte senkrecht aufeinander stehen, wie Peters zwei Etappen, oder wenn sie auf einer Geraden liegen (das kommt gleich).

Vektoren auf einer Geraden

Am einfachsten rechnet man, wenn die Vektoren auf einer Geraden liegen. Zwei Freunde schieben ein liegengebliebenes Auto. Der eine schiebt mit der Kraft 300 N, der andere mit der Kraft 250 N, beide nach vorn. Wir legen die Pfeile hintereinander, und es entsteht ein Pfeil, dessen Länge einfach die Summe ist:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Der rote und der blaue Pfeil sind die Kräfte der beiden Freunde, der grüne ist die resultierende Kraft.

Eine andere Situation: Tauziehen. Die eine Mannschaft zieht mit 300 N nach rechts, die andere mit 250 N nach links. Beide Kräfte wirken auf den Knoten in der Mitte des Seils und zeigen genau gegeneinander. Die Pfeile gehen vom Knoten aus in entgegengesetzte Richtungen, und deshalb ist die resultierende Kraft die Differenz:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Die Kraft der ersten Mannschaft ist im Bild rot, die der zweiten blau und die resultierende Kraft grün. Die resultierende Kraft von 50 N zeigt nach rechts, zur Seite der stärkeren Mannschaft. Würden beide Mannschaften gleich stark ziehen, wäre die resultierende Kraft null, und die Kräfte würden sich ausgleichen. Nur wenn die Vektoren in dieselbe oder genau in die entgegengesetzte Richtung zeigen, werden ihre Beträge wie gewöhnliche Zahlen addiert und subtrahiert.

Gegenvektor und Multiplikation mit einer Zahl

Ein Vektor, der denselben Betrag hat wie $\overrightarrow{u}$, aber genau in die entgegengesetzte Richtung zeigt, heißt Gegenvektor und wird $-\overrightarrow{u}$ geschrieben. Im Bild unten ist er blau. Addieren wir zu einem Vektor seinen Gegenvektor, kommen wir dorthin zurück, wo wir gestartet sind, und erhalten den Nullvektor:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

So endet das Tauziehen zweier gleich starker Mannschaften. Dank des Gegenvektors kann man auch subtrahieren: $\overrightarrow{w}$ abzuziehen bedeutet $-\overrightarrow{w}$ zu addieren, also $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Einen Vektor können wir auch mit einer Zahl multiplizieren. Der grüne Vektor $2\overrightarrow{u}$ zeigt in dieselbe Richtung wie $\overrightarrow{u}$, ist aber doppelt so lang. Das ist dasselbe wie $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, zwei gleiche Pfeile hintereinander. Multiplizieren wir mit einer negativen Zahl, kehrt der Vektor außerdem seine Richtung um: Der orangefarbene Vektor $-2\overrightarrow{u}$ ist doppelt so lang und zeigt in die entgegengesetzte Richtung. Der Gegenvektor $-\overrightarrow{u}$ ist eigentlich der mit der Zahl −1 multiplizierte Vektor $\overrightarrow{u}$.

In der Physik bedeutet das: Verdoppeln wir eine Kraft und lassen sie in dieselbe Richtung wirken, erhalten wir die Kraft $2\overrightarrow{F}$. Der Betrag verdoppelt sich, die Richtung bleibt.

Sinus und Kosinus

Oft lohnt es sich, einen schrägen Vektor in zwei zueinander senkrechte zu zerlegen, zum Beispiel in einen waagerechten und einen senkrechten. Dazu müssen wir zwei neue Begriffe einführen, Sinus und Kosinus. Beide gehen vom rechtwinkligen Dreieck aus.

Das Dreieck im Bild hat bei C einen rechten Winkel, die Hypotenuse ist die schwarze Seite c. Wir betrachten den Winkel α bei A. Die rote Kathete a liegt ihm gegenüber, deshalb heißt sie Gegenkathete. Die blaue Kathete b schließt den Winkel α zusammen mit der Hypotenuse ein, sie heißt Ankathete.

Der Sinus des Winkels α ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, der Kosinus das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Wozu ist so ein Verhältnis gut? Vergrößere das ganze Dreieck auf das Doppelte. Alle Seiten werden doppelt so lang, aber die Winkel bleiben gleich. Das Verhältnis $\frac{a}{c}$ ändert sich nicht, weil sich sowohl Zähler als auch Nenner verdoppeln. Sinus und Kosinus hängen deshalb nicht von der Größe des gezeichneten Dreiecks ab, sondern nur von der Größe des Winkels α. Der Sinus des Winkels 30° bleibt immer derselbe, ob du das Dreieck ins Heft oder auf den Schulhof zeichnest.

Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck die längste Seite, deshalb sind beide Verhältnisse immer kleiner als eins. Sinus und Kosinus eines spitzen Winkels überschreiten nie die Eins.

Sinus und Kosinus eines beliebigen Winkels berechnet der Taschenrechner, du findest auf ihm die Tasten sin und cos. Achte aber darauf, dass der Taschenrechner in Grad rechnet. Wenn du im Display nicht DEG siehst, sondern RAD oder GRAD, rechnet er mit anderen Winkeleinheiten, und es kommt Unsinn heraus. Das ist einer der häufigsten Fehler in Klassenarbeiten. Auf der Website kannst du den Sinus-Rechner oder den Kosinus-Rechner verwenden, weitere Eigenschaften beider Funktionen findest du im Artikel Eigenschaften von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Drei Winkel ohne Taschenrechner

Für die Winkel 30°, 45° und 60° können wir Sinus und Kosinus auch ohne Taschenrechner berechnen. Dazu genügen ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat.

Links sehen wir ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2. Alle seine Winkel betragen 60°. Die gestrichelte Höhe teilt es in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Das rote hat die Hypotenuse 2, die untere Kathete 1, weil sie die Hälfte der Seite ist, und unten den Winkel 60° und oben 30°, weil die Höhe den oberen Winkel halbiert. Die Länge der Höhe berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Jetzt müssen wir nur noch in die Definitionen einsetzen. Dem Winkel 30° liegt die Kathete 1 gegenüber, also

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Beim Winkel 60° ist es umgekehrt, ihm liegt die Höhe $\sqrt{3}$ gegenüber:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Rechts ist ein Quadrat mit der Seite 1, durch eine Diagonale geteilt. Die Diagonale halbiert den rechten Winkel, das blaue Dreieck hat also den Winkel 45°, beide Katheten der Länge 1 und die Hypotenuse $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus und Kosinus ergeben dasselbe:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Alles zusammen:

Interessant ist, dass der Sinus von 30° der Kosinus von 60° ist und umgekehrt. Das ist kein Zufall: Die Gegenkathete des einen spitzen Winkels ist die Ankathete des anderen.

Zerlegung eines Vektors in Komponenten

Sepp zieht seine kleine Schwester auf dem Schlitten. Er hält das Seil in der Hand, es verläuft deshalb nicht waagerecht, sondern schräg nach oben und schließt mit dem Boden einen Winkel von 30° ein. Sepp zieht mit der Kraft 100 N daran. Der Schlitten fährt aber über den Boden und nicht schräg in die Luft. Wie viel von dieser Kraft geht wirklich nach vorn?

Die schräge Kraft $\overrightarrow{F}$ ersetzen wir durch ein Paar von Kräften, eine waagerechte und eine senkrechte. Wir nennen sie Komponenten und bezeichnen sie nach den Achsen x und y mit ${\overrightarrow{F}}_x$ und ${\overrightarrow{F}}_y$. Wir wählen sie so, dass ihre Summe genau der ursprünglichen Kraft entspricht:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Im Bild sehen wir die grüne Kraft $\overrightarrow{F}$ und ihre Komponenten, die rote waagerechte und die blaue senkrechte. Gestrichelt ist ein Rechteck ergänzt. Die rechte gestrichelte Seite ist die an das Ende der roten verschobene blaue Komponente, sodass der rote und der blaue Pfeil hintereinander tatsächlich den grünen ergeben. Das ist die Parallelogrammregel umgekehrt: Dort haben wir aus zwei Kräften eine gemacht, hier aus einer zwei. Das Parallelogramm ist in diesem Fall ein Rechteck, weil die Komponenten senkrecht aufeinander stehen.

Die rote Komponente, die rechte gestrichelte Seite und die grüne Kraft bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist die Kraft $\overrightarrow{F}$ mit dem Betrag F. Die waagerechte Komponente ist die Ankathete des Winkels α, und die senkrechte Komponente ist genauso lang wie die Gegenkathete. Aus den Definitionen von Sinus und Kosinus folgt

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Wir multiplizieren beide Gleichungen mit dem Betrag der Kraft F und erhalten die Formeln für die Beträge der Komponenten:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Wir setzen Sepps Werte ein. Die waagerechte Komponente ist

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

und die senkrechte

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Nach vorn zieht den Schlitten also nur etwa 86,6 N von den hundert. Die restliche senkrechte Komponente von 50 N hebt den Schlitten ein wenig an, sodass er weniger auf den Schnee drückt.

Beachte, dass 86,6 N + 50 N mehr ergibt als 100 N. Das ist kein Fehler, die Komponenten sind Vektoren und werden nicht wie Zahlen addiert. Addieren kann man nur Pfeile, hintereinandergelegt, und die ergeben wieder die ursprünglichen 100 N.

Und was, wenn Sepp das Seil höher hebt, auf 60°? Dann ist

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Nach vorn würde er nur mit der halben Kraft ziehen. Je steiler das Seil verläuft, desto kleiner ist der Teil der Kraft, der nach vorn geht, und desto mehr hebt er den Schlitten an.

Zusammensetzen der Komponenten

Bisher haben wir die Kraft zerlegt. Oft braucht man das Gegenteil: Wir kennen zwei senkrechte Komponenten und wollen den ganzen Vektor. Die Komponenten sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und der Vektor ist seine Hypotenuse, also berechnen wir den Betrag mit dem Satz des Pythagoras:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Wir überprüfen es am Schlitten. Wir setzen die Komponenten ein:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Wir quadrieren:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Und ziehen die Wurzel:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Wir haben die ursprüngliche Kraft erhalten. Die winzige Abweichung unter der Wurzel entstand dadurch, dass wir den Kosinus auf 0,866 gerundet haben.

Jetzt können wir zu Peter und seinem Spaziergang zurückkehren. Seine Verschiebung hat die Komponenten 3 km nach Osten und 4 km nach Norden, und den Betrag kennen wir schon, 5 km. Es fehlt die Richtung. Bezeichnen wir mit α den Winkel, den der grüne Pfeil mit dem roten einschließt, also mit der Richtung nach Osten. Die Nordkomponente von 4 km liegt ihm gegenüber, und die Hypotenuse misst 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Die Kilometer haben sich gekürzt, der Sinus ist eine gewöhnliche Zahl ohne Einheit. Den Winkel, dessen Sinus 0,8 ist, findet der Taschenrechner mit der Taste sin⁻¹ (sie liegt oft über der Taste sin, auf der Website hilft der Arkussinus-Rechner):

$$\alpha \approx 53°$$

Peters Verschiebung beträgt also 5 km in einer Richtung, die von Osten um 53° nach Norden abweicht. Betrag und Richtung, mehr braucht ein Vektor nicht. Wollte Peter auf dem kürzesten Weg zurück, würde er dem Gegenvektor folgen: 5 km in die entgegengesetzte Richtung, also nach Südwesten, etwas mehr nach Süden als nach Westen.

Die Verschiebung begleitet uns durch die ganze Kinematik. Im nächsten Artikel, Bewegung und Ruhe, stellen wir sie dem Weg gegenüber und zeigen, warum sich eine Läuferin nach einer ganzen Runde um den Sportplatz eigentlich nirgendwohin verschoben hat.