Mărimi scalare și vectoriale

„Afară sunt 20 °C.” Nu mai e nevoie să adaugi nimic, oricine știe dacă își ia jacheta. Temperatura este descrisă de un număr și o unitate de măsură. Dar încearcă să explici cuiva drumul spunând „mergi 100 m”. Te va întreba imediat: încotro? Înainte, la stânga, înapoi? O sută de metri spre nord îl duc la gară, o sută de metri spre sud direct în lac. O astfel de mărime nu se mulțumește cu un număr, are nevoie și de o direcție.

Scalar sau vector?

Mărimile pe care le descrie complet un număr cu unitate de măsură se numesc scalari. Scalari sunt temperatura, timpul, masa sau distanța parcursă. Când spui că o sacoșă are masa 5 kg sau că un film durează 2 h, nu mai ai nimic de adăugat. Masa nu e îndreptată nici spre stânga, nici în sus.

Mărimile la care contează și direcția le numim vectori. Un vector tipic este forța. Cine a mutat vreodată un dulap știe că a-l împinge spre perete este altceva decât a-l împinge departe de perete. Vector este și viteza: o mașină care merge cu 90 km/h spre Constanța și o mașină care merge cu 90 km/h dinspre Constanța au viteze la fel de mari și totuși fiecare merge în altă parte.

Vectorul îl recunoaștem după săgeata de deasupra simbolului. Forța ca vector se scrie $\overrightarrow{F}$. Uneori însă direcția nu ne interesează și vrem doar să știm cât de mare este forța. Acea parte o numim modulul vectorului și o scriem fie cu bare verticale, fie pur și simplu cu simbolul fără săgeată:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Modulul forței este un scalar, de exemplu F = 300 N. Newtonul N este unitatea de măsură a forței, deocamdată nu vom avea nevoie de mai mult despre el. Forța ne servește aici mai ales ca exemplu de vector.

Vectorul ca săgeată

Vectorul îl desenăm ca o săgeată. Ea este orientată la fel ca vectorul, iar lungimea ei corespunde modulului. Ca să putem desena săgeata, alegem o scară, de exemplu că un centimetru pe hârtie înseamnă 100 N. Forța de 300 N este atunci o săgeată lungă de trei centimetri, iar forța de 50 N una lungă de doar jumătate de centimetru.

În figură vedem trei săgeți roșii. Toate au aceeași lungime și aceeași direcție, deci reprezintă unul și același vector $\overrightarrow{u}$, doar desenat în trei locuri diferite. Vectorul este determinat numai de modul și direcție, nu contează de unde pornește săgeata. Săgeata poate fi deci mutată liber, doar că nu avem voie s-o rotim și nici s-o scurtăm sau s-o lungim. Ne va fi imediat de folos la adunare.

Săgeata albastră $\overrightarrow{w}$ are aceeași lungime ca cele roșii, dar este îndreptată în altă parte, așa că este un alt vector. Cei doi vectori au același modul, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, și totuși $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Adunarea vectorilor

Mihai pornește de la cabană și merge 3 km spre est. Apoi o ia la stânga și mai merge 4 km spre nord. Cât de departe este de cabană?

Desenăm. În figură nordul este sus, estul în dreapta, iar un pătrățel măsoară un kilometru. Punctul portocaliu este cabana, săgeata roșie este primul tronson, iar cea albastră al doilea.

Săgeata albastră nu pornește de la cabană, ci din capătul celei roșii. Mihai a mers spre nord din locul în care ajunsese mergând spre est. Așa se adună vectorii: a doua săgeată o mutăm astfel încât să înceapă în capătul primei. Suma este atunci săgeata care duce de la începutul primei săgeți la capătul celei de-a doua. În figură este cea verde și arată unde a ajuns Mihai. Animația arată asta pe rând: săgeata albastră pornește mai întâi din același loc ca cea roșie, apoi se mută în capătul ei și abia apoi apare cea verde.

Dacă în loc de vectori adunăm numere obișnuite, ne iese 3 km + 4 km = 7 km. Șapte kilometri a străbătut Mihai cu adevărat, dar de cabană nu este atât de departe. A mers pe ocolite, săgeata verde este scurtătura și de aceea este mai scurtă decât cele două drumuri la un loc.

Cât măsoară săgeata verde? Cea roșie, cea albastră și cea verde formează un triunghi dreptunghic, adică un triunghi cu un unghi drept. Cele două laturi care formează unghiul drept se numesc catete, iar a treia, cea mai lungă, opusă unghiului drept, este ipotenuza. Pentru triunghiul dreptunghic este valabilă teorema lui Pitagora: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Catetele măsoară 3 km și 4 km, deci pentru ipotenuza c avem

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Ridicăm la pătrat. Se ridică la pătrat și unitatea de măsură, kilometru ori kilometru este kilometru pătrat:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Și extragem rădăcina pătrată:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Mihai se află la 5 km de cabană. Săgeții care duce din locul de unde am pornit în locul unde am ajuns i se spune în fizică deplasare. Spre deosebire de kilometrii parcurși, ea este un vector: pe lângă cei cinci kilometri, spune și în ce direcție se află cabana. La direcție ne întoarcem la sfârșitul articolului.

Suma o putem scrie la fel ca la numere, doar cu săgeți. Când adunăm doi vectori $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{w}$, obținem un vector nou $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Atenție, modulul sumei în general nu este suma modulelor. Dacă notăm primul tronson al lui Mihai cu $\overrightarrow{u}$ și al doilea cu $\overrightarrow{w}$, modulul sumei este

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

pe când suma modulelor este

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Regula paralelogramului

Un stăpân își plimbă cei doi câini în lesă. Fiecare trage în altă parte, unul cu forța ${\overrightarrow{F}}_1$, celălalt cu forța ${\overrightarrow{F}}_2$, iar ambele forțe acționează asupra mâinii în care stăpânul ține lesele. Încotro îl trag câinii împreună?

Forțele acționează în același punct, de aceea cel mai firesc desenăm săgețile pornind din același punct. Forța rezultantă o găsim cu regula paralelogramului. Din capătul fiecărei săgeți ducem cu linie punctată o paralelă la cealaltă. Se formează astfel un paralelogram, iar diagonala lui care pornește din punctul comun este suma căutată $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

De ce funcționează? Latura punctată din dreapta a paralelogramului are aceeași lungime ca săgeata albastră și este paralelă cu ea. Este deci săgeata albastră ${\overrightarrow{F}}_2$, doar mutată în capătul celei roșii ${\overrightarrow{F}}_1$. Asta o știm deja din partea precedentă: a doua săgeată am mutat-o în capătul primei. Ambele procedee, paralelogramul și înșiruirea săgeților una după alta, duc mereu la același rezultat. Săgețile puse una după alta se potrivesc proceselor care se desfășoară pe rând (întâi spre est, apoi spre nord), paralelogramul forțelor care acționează deodată în același punct.

Săgeata verde arată încotro îl trag câinii pe stăpân. Forța rezultantă se mai numește, pe scurt, rezultanta. Pentru că fiecare trage puțin în altă parte, forța rezultantă este mai mică decât dacă amândoi ar trage în aceeași direcție. Modulul ei îl măsurăm în figură, folosind scara. Deocamdată îl putem calcula doar în două cazuri: când forțele sunt perpendiculare una pe alta, ca cele două tronsoane ale lui Mihai, sau când se află pe aceeași dreaptă (asta urmează imediat).

Vectori pe aceeași dreaptă

Cel mai ușor se calculează când vectorii se află pe aceeași dreaptă. Doi prieteni împing o mașină stricată. Unul împinge cu forța 300 N, celălalt cu forța 250 N, ambii înainte. Punem săgețile una după alta și obținem o săgeată a cărei lungime este pur și simplu suma:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Săgețile roșie și albastră sunt forțele celor doi prieteni, cea verde este forța rezultantă.

O altă situație: tragerea frânghiei. O echipă trage spre dreapta cu forța 300 N, cealaltă spre stânga cu forța 250 N. Ambele forțe acționează asupra nodului din mijlocul frânghiei și sunt îndreptate exact una împotriva celeilalte. Săgețile pornesc din nod în părți opuse și de aceea forța rezultantă este diferența:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Forța primei echipe este în figură roșie, a celei de-a doua albastră, iar forța rezultantă verde. Forța rezultantă de 50 N este îndreptată spre dreapta, spre echipa mai puternică. Dacă ambele echipe ar trage la fel de tare, forța rezultantă ar fi nulă și forțele s-ar echilibra. Doar când vectorii sunt îndreptați în același sens sau exact în sensuri opuse, modulele lor se adună și se scad ca numerele obișnuite.

Vectorul opus și înmulțirea cu un număr

Vectorul care are același modul ca $\overrightarrow{u}$, dar este îndreptat exact invers, se numește vector opus și se scrie $-\overrightarrow{u}$. În figura de mai jos este albastru. Dacă la un vector adunăm opusul lui, ne întoarcem de unde am plecat și obținem vectorul nul:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Așa se termină tragerea frânghiei dintre două echipe la fel de puternice. Datorită vectorului opus se poate și scădea: a scădea $\overrightarrow{w}$ înseamnă a aduna $-\overrightarrow{w}$, deci $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Vectorul îl putem și înmulți cu un număr. Vectorul verde $2\overrightarrow{u}$ este îndreptat ca $\overrightarrow{u}$, dar este de două ori mai lung. Este același lucru cu $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, două săgeți identice una după alta. Când înmulțim cu un număr negativ, vectorul își schimbă în plus sensul: vectorul portocaliu $-2\overrightarrow{u}$ este de două ori mai lung și este îndreptat invers. Vectorul opus $-\overrightarrow{u}$ este de fapt vectorul $\overrightarrow{u}$ înmulțit cu numărul −1.

În fizică asta înseamnă: dacă dublăm o forță și o lăsăm să acționeze în aceeași direcție, obținem forța $2\overrightarrow{F}$. Modulul se dublează, direcția rămâne.

Sinus și cosinus

Un vector oblic merită adesea descompus în doi vectori perpendiculari, de exemplu unul orizontal și unul vertical. Pentru asta trebuie să introducem două noțiuni noi, sinusul și cosinusul. Ambele pornesc de la triunghiul dreptunghic.

Triunghiul din figură are unghiul drept în vârful C, ipotenuza este latura neagră c. Ne uităm la unghiul α din vârful A. Cateta roșie a este opusă lui, de aceea se numește cateta opusă. Cateta albastră b formează unghiul α împreună cu ipotenuza, ea se numește cateta alăturată.

Sinusul unghiului α este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, cosinusul este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

La ce ne ajută un astfel de raport? Mărește tot triunghiul de două ori. Toate laturile vor fi de două ori mai lungi, dar unghiurile rămân aceleași. Raportul $\frac{a}{c}$ nu se schimbă, pentru că atât numărătorul, cât și numitorul cresc de două ori. Sinusul și cosinusul nu depind deci de mărimea triunghiului desenat, ci doar de mărimea unghiului α. Unghiul de 30° are mereu același sinus, fie că desenezi triunghiul în caiet, fie pe terenul de sport al școlii.

În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este cea mai lungă latură, așa că ambele rapoarte ies întotdeauna mai mici decât unu. Nici sinusul, nici cosinusul unui unghi ascuțit nu depășește vreodată unu.

Sinusul și cosinusul unui unghi oarecare le calculează calculatorul de buzunar, pe el găsești tastele sin și cos. Fii însă atent ca el să calculeze în grade. Dacă pe ecran nu vezi DEG, ci RAD sau GRAD, calculează în alte unități de unghi și ies prostii. Este una dintre cele mai frecvente greșeli la lucrările scrise. Pe site poți folosi calculatorul sinus sau cosinus, iar alte proprietăți ale ambelor funcții găsești în articolul Proprietățile funcțiilor sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Trei unghiuri fără calculator

Pentru unghiurile 30°, 45° și 60° putem calcula sinusul și cosinusul și fără calculator. Ne ajung un triunghi echilateral și un pătrat.

În stânga vedem un triunghi echilateral cu latura 2. Toate unghiurile lui au 60°. Înălțimea punctată îl împarte în două triunghiuri dreptunghice congruente. Cel roșu are ipotenuza 2, cateta de jos 1, pentru că este jumătate din latură, și unghiurile 60° jos și 30° sus, pentru că înălțimea împarte unghiul de sus în două. Lungimea înălțimii o aflăm din teorema lui Pitagora: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Rămâne să înlocuim în definiții. Unghiului de 30° îi este opusă cateta 1, deci

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

La unghiul de 60° este invers, opusă lui este înălțimea $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

În dreapta este un pătrat cu latura 1, împărțit de diagonală. Diagonala împarte unghiul drept în două, așa că triunghiul albastru are unghiul de 45°, ambele catete de lungime 1 și ipotenuza $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinusul și cosinusul ies la fel:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Toate la un loc:

Interesant este că sinusul de 30° este cosinusul de 60° și invers. Nu este o întâmplare: cateta opusă unui unghi ascuțit este cateta alăturată celuilalt.

Descompunerea vectorului în componente

Sorin își trage sora mică pe sanie. Ține sfoara în mână, așa că ea nu merge orizontal, ci oblic în sus și formează cu solul un unghi de 30°. Sorin trage de ea cu forța 100 N. Sania merge însă pe pământ, nu oblic prin aer. Cât din acea forță merge cu adevărat înainte?

Forța oblică $\overrightarrow{F}$ o înlocuim cu o pereche de forțe, una orizontală și una verticală. Le spunem componente și se notează ${\overrightarrow{F}}_x$ și ${\overrightarrow{F}}_y$ după axele Ox și Oy. Le alegem astfel încât suma lor să fie exact forța inițială:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

În figură este forța verde $\overrightarrow{F}$ și componentele ei, cea orizontală roșie și cea verticală albastră. Punctat este completat un dreptunghi. Latura punctată din dreapta este componenta albastră mutată în capătul celei roșii, deci săgețile roșie și albastră puse una după alta dau într-adevăr săgeata verde. Este regula paralelogramului invers: acolo din două forțe făceam una, aici dintr-una facem două. Paralelogramul este în cazul acesta un dreptunghi, pentru că componentele sunt perpendiculare una pe alta.

Componenta roșie, latura punctată din dreapta și forța verde formează un triunghi dreptunghic. Ipotenuza este forța $\overrightarrow{F}$ cu modulul F. Componenta orizontală este cateta alăturată unghiului α, iar componenta verticală are aceeași lungime ca cateta opusă. Din definițiile sinusului și cosinusului rezultă

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Înmulțim ambele ecuații cu modulul forței F și obținem formulele pentru modulele componentelor:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Înlocuim valorile lui Sorin. Componenta orizontală este

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

iar cea verticală

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Doar aproximativ 86,6 N din cei o sută trag sania înainte. Componenta verticală rămasă, de 50 N, ridică ușor sania, așa că ea apasă mai puțin pe zăpadă.

Observă că 86,6 N + 50 N dă mai mult decât 100 N. Nu este o greșeală, componentele sunt vectori și nu se adună ca numerele. Se pot aduna numai săgețile, una după alta, iar acestea dau înapoi cei 100 N inițiali.

Și dacă Sorin ridică sfoara mai sus, la 60°? Atunci

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Înainte ar trage doar cu jumătate din forță. Cu cât sfoara urcă mai abrupt, cu atât o parte mai mică din forță merge înainte și cu atât mai mult ridică sania.

Recompunerea vectorului

Până acum am descompus forța. Adesea este nevoie de contrariul: cunoaștem două componente perpendiculare și vrem întregul vector. Componentele sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar vectorul este ipotenuza lui, așa că modulul îl calculăm cu teorema lui Pitagora:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Verificăm pe sanie. Înlocuim componentele:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Ridicăm la pătrat:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Și extragem rădăcina:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Am obținut forța inițială. Mica abatere de sub radical a apărut pentru că am rotunjit cosinusul la 0,866.

Acum ne putem întoarce la Mihai și la plimbarea lui. Deplasarea lui are componentele 3 km spre est și 4 km spre nord, iar modulul îl cunoaștem deja, 5 km. Rămâne direcția. Notăm cu α unghiul pe care săgeata verde îl formează cu cea roșie, adică cu direcția spre est. Componenta spre nord, de 4 km, este opusă lui, iar ipotenuza măsoară 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometrii s-au simplificat, sinusul este un număr obișnuit, fără unitate de măsură. Unghiul al cărui sinus este 0,8 îl găsește calculatorul cu tasta sin⁻¹ (se află de obicei deasupra tastei sin, iar pe site te ajută calculatorul arcsinus):

$$\alpha \approx 53°$$

Deplasarea lui Mihai este deci de 5 km într-o direcție care se abate de la est cu 53° spre nord. Modul și direcție – de mai mult un vector nu are nevoie. Dacă Mihai ar vrea să se întoarcă pe drumul cel mai scurt, ar merge pe vectorul opus: 5 km în direcția opusă, adică spre sud-vest, ceva mai mult spre sud decât spre vest.

Deplasarea ne va însoți prin toată cinematica. În articolul următor, Mișcare și repaus, o vom pune față în față cu distanța parcursă și vom arăta de ce o alergătoare care face un tur întreg al terenului de sport nu s-a deplasat de fapt nicăieri.