Skalary i wektory

„Na dworze jest 20 °C.” Nic więcej nie trzeba dodawać, każdy wie, czy wziąć kurtkę. Temperaturę opisuje liczba z jednostką. Ale spróbuj komuś wskazać drogę zdaniem „idź 100 m”. Od razu zapyta: dokąd? Prosto, w lewo, z powrotem? Sto metrów na północ zaprowadzi go na dworzec, sto metrów na południe prosto do stawu. Takiej wielkości nie wystarcza liczba, potrzebujemy do niej także kierunku.

Skalar czy wektor?

Wielkości, które w pełni opisuje liczba z jednostką, nazywają się skalarami. Skalarem jest temperatura, czas, masa albo droga. Kiedy mówisz, że torba ma masę 5 kg albo że film trwa 2 h, nie musisz już nic dodawać. Masa nie jest skierowana ani w lewo, ani w górę.

Wielkości, w których liczy się także kierunek i zwrot, nazywamy wektorami. Typowym wektorem jest siła. Kto kiedyś przesuwał szafę, wie, że pchać ją do ściany to coś innego niż od ściany. Wektorem jest też prędkość: samochód, który jedzie 90 km/h do Krakowa, i samochód, który jedzie 90 km/h z Krakowa, mają prędkość o tej samej wartości, a mimo to każdy jedzie gdzie indziej.

Wektor poznajemy po strzałce nad symbolem. Siłę jako wektor zapisujemy $\overrightarrow{F}$. Czasem jednak kierunek i zwrot nas nie interesują i chcemy tylko wiedzieć, jak duża jest siła. Tę część nazywamy wartością wektora i zapisujemy ją albo między pionowymi kreskami, albo po prostu symbolem bez strzałki:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Wartość siły jest skalarem, na przykład F = 300 N. Niuton N to jednostka siły, więcej o nim na razie nie będziemy potrzebować. Siła posłuży nam tu głównie jako przykład wektora.

Wektor jako strzałka

Wektor rysujemy jako strzałkę. Jest skierowana tam, gdzie wektor, a jej długość odpowiada jego wartości. Żeby móc strzałkę narysować, wybieramy skalę, na przykład że jeden centymetr na papierze oznacza 100 N. Siła 300 N to wtedy strzałka długości trzech centymetrów, siła 50 N tylko pół centymetra.

Na rysunku widzimy trzy czerwone strzałki. Wszystkie mają tę samą długość, kierunek i zwrot, więc przedstawiają jeden i ten sam wektor $\overrightarrow{u}$, tylko narysowany w trzech różnych miejscach. Wektor jest wyznaczony tylko przez wartość, kierunek i zwrot, to, skąd strzałka wychodzi, nie ma znaczenia. Strzałkę możemy więc dowolnie przesuwać, nie wolno nam jej tylko obrócić ani skrócić czy wydłużyć. Od razu przyda się to przy dodawaniu.

Niebieska strzałka $\overrightarrow{w}$ jest tak samo długa jak czerwone, ale jest skierowana gdzie indziej, więc to inny wektor. Oba wektory mają tę samą wartość, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, a mimo to $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Dodawanie wektorów

Piotr wychodzi z domku letniskowego i idzie 3 km na wschód. Potem skręca i idzie jeszcze 4 km na północ. Jak daleko jest od domku?

Narysujmy to. Na rysunku północ jest u góry, wschód po prawej, a jedna kratka to kilometr. Pomarańczowa kropka to domek, czerwona strzałka to pierwszy odcinek, a niebieska drugi.

Niebieska strzałka nie wychodzi od domku, tylko z końca czerwonej. Piotr szedł przecież na północ dopiero z miejsca, do którego doszedł na wschód. Tak właśnie dodaje się wektory: drugą strzałkę przesuwamy tak, żeby zaczynała się na końcu pierwszej. Suma to wtedy strzałka, która prowadzi od początku pierwszej strzałki do końca drugiej. Na rysunku jest zielona i pokazuje, gdzie Piotr skończył. Animacja pokazuje to krok po kroku: niebieska strzałka najpierw wychodzi z tego samego miejsca co czerwona, potem przesuwa się na jej koniec i dopiero wtedy pojawia się zielona.

Gdybyśmy zamiast wektorów dodali zwykłe liczby, wyszłoby 3 km + 4 km = 7 km. Siedem kilometrów Piotr rzeczywiście przeszedł, ale od domku nie jest aż tak daleko. Szedł okrężną drogą, zielona strzałka to skrót i dlatego jest krótsza niż obie drogi razem.

Ile mierzy zielona strzałka? Czerwona, niebieska i zielona tworzą razem trójkąt prostokątny, czyli trójkąt, który ma jeden kąt prosty. Dwa boki, które tworzą kąt prosty, to przyprostokątne, a trzeci, najdłuższy, naprzeciw kąta prostego, to przeciwprostokątna. Dla trójkąta prostokątnego prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych. Przyprostokątne mają 3 km i 4 km, więc dla przeciwprostokątnej c mamy

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Podnosimy do kwadratu. Do kwadratu podnosi się także jednostka, kilometr razy kilometr to kilometr kwadratowy:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

I wyciągamy pierwiastek:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Piotr jest oddalony od domku o 5 km. Strzałkę prowadzącą z miejsca, w którym zaczęliśmy, do miejsca, w którym skończyliśmy, nazywa się w fizyce przemieszczeniem. W odróżnieniu od przebytych kilometrów jest to wektor: oprócz pięciu kilometrów mówi też, w którą stronę leży domek. Do kierunku wrócimy na końcu artykułu.

Sumę możemy zapisać tak samo jak przy liczbach, tylko ze strzałkami. Gdy dodamy dwa wektory $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{w}$, dostaniemy nowy wektor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Uwaga, wartość sumy w ogólności nie jest sumą wartości. Jeśli pierwszy odcinek Piotra oznaczymy $\overrightarrow{u}$, a drugi $\overrightarrow{w}$, wartość sumy wynosi

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

a suma wartości

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Reguła równoległoboku

Pan na spacerze trzyma na smyczach dwa psy. Każdy ciągnie w inną stronę, jeden siłą ${\overrightarrow{F}}_1$, drugi siłą ${\overrightarrow{F}}_2$, a obie siły działają na rękę, w której pan trzyma smycze. Dokąd psy ciągną go razem?

Siły działają w tym samym punkcie, dlatego strzałki najnaturalniej narysować ze wspólnego początku. Siłę wypadkową znajdziemy regułą równoległoboku. Z końca każdej strzałki prowadzimy linią przerywaną prostą równoległą do drugiej. Tak powstaje równoległobok, a jego przekątna wychodząca ze wspólnego punktu to szukana suma $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Dlaczego to działa? Prawy przerywany bok równoległoboku jest tak samo długi jak niebieska strzałka i jest do niej równoległy. To więc niebieska strzałka ${\overrightarrow{F}}_2$, tylko przesunięta na koniec czerwonej ${\overrightarrow{F}}_1$. To już znamy z poprzedniej części: drugą strzałkę przesunęliśmy na koniec pierwszej. Oba sposoby, równoległobok i łączenie strzałek jedna za drugą, prowadzą zawsze do tego samego wyniku. Strzałki jedna za drugą pasują do ruchów, które następują po sobie (najpierw na wschód, potem na północ), równoległobok do sił, które działają jednocześnie w tym samym punkcie.

Zielona strzałka pokazuje, dokąd psy ciągną swojego pana. Siłę wypadkową nazywa się też krótko wypadkową. Ponieważ każdy pies ciągnie trochę w inną stronę, siła wypadkowa jest mniejsza, niż gdyby oba ciągnęły w tę samą stronę. Jej wartość odmierzymy na rysunku w skali. Obliczyć ją umiemy na razie tylko w dwóch przypadkach: gdy siły są do siebie prostopadłe, jak dwa odcinki drogi Piotra, albo gdy leżą na jednej prostej (o tym zaraz niżej).

Wektory na jednej prostej

Najłatwiej liczy się, gdy wektory leżą na jednej prostej. Dwaj koledzy pchają zepsuty samochód. Jeden pcha siłą 300 N, drugi siłą 250 N, obaj do przodu. Strzałki układamy jedna za drugą i wychodzi strzałka, której długość jest po prostu sumą:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Czerwona i niebieska strzałka to siły obu kolegów, zielona to siła wypadkowa.

Inna sytuacja: przeciąganie liny. Jedna drużyna ciągnie w prawo siłą 300 N, druga w lewo siłą 250 N. Obie siły działają na węzeł na środku liny i są skierowane dokładnie przeciwnie. Strzałki wychodzą z węzła w przeciwne strony, dlatego siła wypadkowa jest różnicą:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Siła pierwszej drużyny jest na rysunku czerwona, drugiej niebieska, a siła wypadkowa zielona. Siła wypadkowa 50 N jest skierowana w prawo, w stronę silniejszej drużyny. Gdyby obie drużyny ciągnęły równie mocno, siła wypadkowa byłaby zerowa i siły by się zrównoważyły. Tylko gdy wektory są skierowane w tę samą albo dokładnie przeciwną stronę, ich wartości dodaje się i odejmuje jak zwykłe liczby.

Wektor przeciwny i mnożenie przez liczbę

Wektor, który ma tę samą wartość co $\overrightarrow{u}$, ale jest skierowany dokładnie przeciwnie, nazywa się wektorem przeciwnym i zapisuje się go $-\overrightarrow{u}$. Na rysunku niżej jest niebieski. Jeśli do wektora dodamy wektor do niego przeciwny, wrócimy tam, skąd wyszliśmy, i dostaniemy wektor zerowy:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Tak kończy się przeciąganie liny przez dwie równie silne drużyny. Dzięki wektorowi przeciwnemu można też odejmować: odjąć $\overrightarrow{w}$ znaczy dodać $-\overrightarrow{w}$, czyli $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Wektor możemy też pomnożyć przez liczbę. Zielony wektor $2\overrightarrow{u}$ jest skierowany tak samo jak $\overrightarrow{u}$, ale jest dwa razy dłuższy. To to samo co $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, dwie jednakowe strzałki jedna za drugą. Gdy mnożymy przez liczbę ujemną, wektor dodatkowo odwraca zwrot: pomarańczowy wektor $-2\overrightarrow{u}$ jest dwa razy dłuższy i skierowany przeciwnie. Wektor przeciwny $-\overrightarrow{u}$ to właściwie wektor $\overrightarrow{u}$ pomnożony przez liczbę −1.

W fizyce oznacza to: jeśli siłę podwoimy i pozwolimy jej działać w tę samą stronę, dostaniemy siłę $2\overrightarrow{F}$. Wartość się podwoi, kierunek i zwrot zostaną.

Sinus i cosinus

Ukośny wektor często opłaca się rozłożyć na dwa prostopadłe, na przykład na poziomy i pionowy. Do tego musimy wprowadzić dwa nowe pojęcia, sinus i cosinus. Oba wywodzą się z trójkąta prostokątnego.

Trójkąt na rysunku ma kąt prosty przy wierzchołku C, przeciwprostokątną jest czarny bok c. Przyjrzyjmy się kątowi α przy wierzchołku A. Czerwona przyprostokątna a leży naprzeciw niego, dlatego nazywa się ją przeciwległą. Niebieska przyprostokątna b tworzy kąt α razem z przeciwprostokątną, tę nazywa się przyległą.

Sinus kąta α to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Do czego przydaje się taki stosunek? Powiększ cały trójkąt dwa razy. Wszystkie boki będą dwa razy dłuższe, ale kąty zostaną takie same. Stosunek $\frac{a}{c}$ się nie zmieni, bo dwa razy zwiększą się i licznik, i mianownik. Sinus i cosinus nie zależą więc od wielkości narysowanego trójkąta, tylko od miary kąta α. Kąt 30° ma zawsze ten sam sinus, czy rysujesz trójkąt w zeszycie, czy na szkolnym boisku.

Przeciwprostokątna jest w trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem, więc oba stosunki wychodzą zawsze mniejsze od jedności. Ani sinus, ani cosinus kąta ostrego nigdy nie przekroczy jedynki.

Sinus i cosinus dowolnego kąta obliczy kalkulator, znajdziesz na nim przyciski sin i cos. Uważaj jednak, żeby kalkulator liczył w stopniach. Jeśli na wyświetlaczu nie widzisz DEG, tylko RAD albo GRAD, liczy w innych jednostkach kąta i wyjdą bzdury. To jeden z najczęstszych błędów na sprawdzianach. W internecie możesz użyć kalkulatora sinusa albo cosinusa, dalsze własności obu funkcji znajdziesz w artykule Sinus i cosinus.

Trzy kąty bez kalkulatora

Dla kątów 30°, 45° i 60° sinus i cosinus obliczymy także bez kalkulatora. Wystarczy nam trójkąt równoboczny i kwadrat.

Po lewej widzimy trójkąt równoboczny o boku 2. Wszystkie jego kąty mają 60°. Przerywana wysokość dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. Ten czerwony ma przeciwprostokątną 2, dolną przyprostokątną 1, bo to połowa boku, oraz kąty 60° na dole i 30° u góry, bo wysokość dzieli górny kąt na pół. Długość wysokości obliczymy z twierdzenia Pitagorasa: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Zostaje podstawić do definicji. Naprzeciw kąta 30° leży przyprostokątna 1, więc

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Przy kącie 60° jest odwrotnie, naprzeciw niego leży wysokość $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Po prawej jest kwadrat o boku 1, podzielony przekątną. Przekątna dzieli kąt prosty na pół, więc niebieski trójkąt ma kąt 45°, obie przyprostokątne długości 1 i przeciwprostokątną $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus i cosinus wychodzą jednakowo:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Wszystko razem:

Ciekawe, że sinus 30° jest równy cosinusowi 60° i na odwrót. To nie przypadek: przyprostokątna przeciwległa jednego kąta ostrego jest przyprostokątną przyległą drugiego.

Rozkład wektora na składowe

Kuba ciągnie na sankach młodszą siostrę. Sznurek trzyma w ręce, więc nie biegnie poziomo, tylko ukośnie w górę i tworzy z ziemią kąt 30°. Kuba ciągnie za niego siłą 100 N. Sanki jadą jednak po ziemi, a nie ukośnie w powietrze. Ile z tej siły idzie naprawdę do przodu?

Ukośną siłę $\overrightarrow{F}$ zastępujemy parą sił, poziomą i pionową. Nazywamy je składowymi i oznaczamy ${\overrightarrow{F}}_x$ i ${\overrightarrow{F}}_y$ według osi x i y. Wybieramy je tak, żeby ich suma była dokładnie równa pierwotnej sile:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Na rysunku jest zielona siła $\overrightarrow{F}$ i jej składowe, czerwona pozioma i niebieska pionowa. Linią przerywaną dorysowany jest prostokąt. Prawy przerywany bok to niebieska składowa przesunięta na koniec czerwonej, więc czerwona i niebieska strzałka jedna za drugą rzeczywiście dają zieloną. To reguła równoległoboku na odwrót: tam z dwóch sił robiliśmy jedną, tu z jednej dwie. Równoległobok jest w tym przypadku prostokątem, bo składowe są do siebie prostopadłe.

Czerwona składowa, prawy przerywany bok i zielona siła tworzą trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątną jest siła $\overrightarrow{F}$ o wartości F. Składowa pozioma to przyprostokątna przyległa do kąta α, a składowa pionowa jest tak samo długa jak przyprostokątna przeciwległa. Z definicji sinusa i cosinusa mamy

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Oba równania mnożymy przez wartość siły F i dostajemy wzory na wartości składowych:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Podstawiamy wartości Kuby. Składowa pozioma wynosi

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

a pionowa

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Do przodu ciągnie sanki tylko około 86,6 N ze stu. Pozostała składowa pionowa 50 N trochę sanki unosi, więc słabiej naciskają na śnieg.

Zauważ, że 86,6 N + 50 N daje więcej niż 100 N. To nie błąd, składowe są wektorami i nie dodaje się ich jak liczb. Dodawać można tylko strzałki, jedna za drugą, a te dają z powrotem pierwotne 100 N.

A co, jeśli Kuba podniesie sznurek wyżej, do 60°? Wtedy

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Do przodu ciągnąłby tylko połową siły. Im bardziej stromo biegnie sznurek, tym mniejsza część siły idzie do przodu i tym bardziej sanki są unoszone.

Składanie wektora ze składowych

Dotąd siłę rozkładaliśmy. Często potrzebne jest coś odwrotnego: znamy dwie prostopadłe składowe i chcemy cały wektor. Składowe są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a wektor jego przeciwprostokątną, więc wartość obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Sprawdźmy to na sankach. Podstawiamy składowe:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Podnosimy do kwadratu:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

I wyciągamy pierwiastek:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Dostaliśmy pierwotną siłę. Drobna różnica pod pierwiastkiem wzięła się stąd, że cosinus zaokrągliliśmy do 0,866.

Teraz możemy wrócić do Piotra i jego spaceru. Jego przemieszczenie ma składowe 3 km na wschód i 4 km na północ, a wartość już znamy, 5 km. Zostaje kierunek. Oznaczmy przez α kąt, który zielona strzałka tworzy z czerwoną, czyli z kierunkiem na wschód. Składowa północna 4 km leży naprzeciw niego, a przeciwprostokątna ma 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometry się skróciły, sinus to zwykła liczba bez jednostki. Kąt, którego sinus wynosi 0,8, znajdzie kalkulator przyciskiem sin⁻¹ (bywa nad przyciskiem sin, w internecie posłuży kalkulator arcus sinus):

$$\alpha \approx 53°$$

Przemieszczenie Piotra to więc 5 km w kierunku, który od wschodu skręca o 53° ku północy. Wartość, kierunek i zwrot – więcej wektor nie potrzebuje. Gdyby Piotr chciał wrócić najkrótszą drogą, poszedłby wzdłuż wektora przeciwnego: 5 km w przeciwną stronę, czyli na południowy zachód, trochę bardziej na południe niż na zachód.

Przemieszczenie będzie nam towarzyszyć przez całą kinematykę. W kolejnym artykule, Ruch i spoczynek, zestawimy je z drogą i pokażemy, dlaczego biegaczka po całym okrążeniu boiska właściwie nigdzie się nie przemieściła.