Magnitudes escalares y vectoriales

«Fuera hay 20 °C». No hace falta añadir más: todo el mundo sabe si hay que llevar chaqueta. La temperatura la describen un número y una unidad. Pero prueba a indicarle el camino a alguien con la frase «ve 100 m». Enseguida preguntará: ¿hacia dónde? ¿Todo recto, a la izquierda, hacia atrás? Cien metros hacia el norte lo llevan a la estación, y cien metros hacia el sur, directo al estanque. A una magnitud así no le basta un número: necesitamos también su dirección y sentido.

¿Escalar o vector?

Las magnitudes que quedan descritas por completo con un número y una unidad se llaman escalares. Son escalares la temperatura, el tiempo, la masa o la distancia recorrida. Si dices que una bolsa tiene una masa de 5 kg o que una película dura 2 h, no hace falta añadir nada más. La masa no apunta ni a la izquierda ni hacia arriba.

Las magnitudes en las que importan también la dirección y el sentido las llamamos vectoriales. Un ejemplo típico es la fuerza. Quien alguna vez ha movido un armario sabe que empujarlo hacia la pared no es lo mismo que empujarlo alejándolo de ella. La velocidad también es vectorial: un coche que va a 90 km/h hacia Málaga y otro que va a 90 km/h desde Málaga tienen la misma velocidad en cuanto a su módulo, y aun así cada uno va a un sitio distinto.

Un vector se reconoce por la flecha sobre el símbolo. La fuerza como vector se escribe $\overrightarrow{F}$. A veces, sin embargo, no nos interesa la dirección ni el sentido y solo queremos saber cuánto vale la fuerza. A esa parte la llamamos módulo del vector y la escribimos con barras verticales o simplemente con el símbolo sin flecha:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

El módulo de la fuerza es un escalar, por ejemplo F = 300 N. El newton N es la unidad de fuerza; por ahora no necesitaremos saber más de él. Aquí la fuerza nos sirve sobre todo como ejemplo de vector.

El vector como flecha

Un vector lo dibujamos como una flecha. Apunta hacia donde apunta el vector y su longitud corresponde a su módulo. Para poder dibujar la flecha elegimos una escala, por ejemplo que un centímetro en el papel significa 100 N. Una fuerza de 300 N es entonces una flecha de tres centímetros, y una fuerza de 50 N, una flecha de solo medio centímetro.

En la figura vemos tres flechas rojas. Todas tienen la misma longitud, dirección y sentido, así que representan un mismo vector $\overrightarrow{u}$, solo que dibujado en tres lugares distintos. Un vector queda determinado únicamente por su módulo, dirección y sentido; no importa de dónde salga la flecha. Por eso podemos desplazar la flecha libremente, siempre que no la giremos ni la acortemos o alarguemos. Esto nos vendrá enseguida muy bien para sumar.

La flecha azul $\overrightarrow{w}$ es tan larga como las rojas, pero apunta a otro lado, así que es otro vector. Los dos vectores tienen el mismo módulo, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, y aun así se cumple $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Suma de vectores

Pedro sale del refugio y camina 3 km hacia el este. Después gira y camina otros 4 km hacia el norte. ¿A qué distancia del refugio está?

Vamos a dibujarlo. En la figura el norte está arriba, el este a la derecha y cada cuadradito mide un kilómetro. El punto naranja es el refugio, la flecha roja es el primer tramo y la azul el segundo.

La flecha azul no sale del refugio, sino del final de la roja. Pedro fue hacia el norte desde el lugar al que llegó yendo hacia el este. Así se suman los vectores: desplazamos la segunda flecha para que empiece donde acaba la primera. La suma es entonces la flecha que va desde el inicio de la primera hasta el final de la segunda. En la figura es la verde y muestra dónde acabó Pedro. La animación lo muestra paso a paso: primero la flecha azul sale del mismo punto que la roja, luego se desplaza a su final y solo después aparece la verde.

Si en lugar de vectores sumamos números normales, sale 3 km + 4 km = 7 km. Siete kilómetros sí que ha caminado Pedro, pero no está tan lejos del refugio. Fue dando un rodeo, la flecha verde es un atajo, y por eso es más corta que los dos tramos juntos.

¿Cuánto mide la flecha verde? La roja, la azul y la verde forman un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo con un ángulo recto. Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el tercero, el más largo, opuesto al ángulo recto, es la hipotenusa. En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Los catetos miden 3 km y 4 km, así que para la hipotenusa c se cumple

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Elevamos al cuadrado. También se eleva al cuadrado la unidad: kilómetro por kilómetro es un kilómetro cuadrado:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Y hallamos la raíz cuadrada:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Pedro está a 5 km del refugio. A la flecha que va del lugar donde empezamos al lugar donde acabamos se le llama en física desplazamiento. A diferencia de los kilómetros recorridos, es un vector: además de los cinco kilómetros, dice en qué dirección y sentido queda el refugio. Volveremos a ello al final del artículo.

La suma la podemos escribir igual que con los números, solo que con flechas. Cuando sumamos dos vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{w}$, obtenemos un vector nuevo $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Ojo: el módulo de la suma en general no es la suma de los módulos. Si llamamos $\overrightarrow{u}$ al primer tramo de Pedro y $\overrightarrow{w}$ al segundo, el módulo de la suma es

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

mientras que la suma de los módulos es

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Regla del paralelogramo

Un paseador de perros lleva dos perros atados con correa. Cada uno tira hacia un lado distinto, uno con la fuerza ${\overrightarrow{F}}_1$ y el otro con la fuerza ${\overrightarrow{F}}_2$, y las dos fuerzas actúan sobre la mano con la que sujeta las correas. ¿Hacia dónde lo tiran los perros en conjunto?

Las fuerzas actúan en el mismo punto, así que lo más natural es dibujar las flechas desde un origen común. La fuerza resultante la encontramos con la regla del paralelogramo. Desde el extremo de cada flecha trazamos, con línea discontinua, una paralela a la otra. Así se forma un paralelogramo, y su diagonal que sale del punto común es la suma buscada $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

¿Por qué funciona? El lado discontinuo de la derecha del paralelogramo es tan largo como la flecha azul y es paralelo a ella. Es, por tanto, la flecha azul ${\overrightarrow{F}}_2$, solo que desplazada al final de la roja ${\overrightarrow{F}}_1$. Eso ya lo conocemos de la parte anterior: desplazamos la segunda flecha al final de la primera. Los dos procedimientos, el paralelogramo y encadenar las flechas una tras otra, llevan siempre al mismo resultado. Poner las flechas una tras otra va bien para fenómenos que ocurren sucesivamente (primero hacia el este, luego hacia el norte), y el paralelogramo para fuerzas que actúan a la vez en el mismo punto.

La flecha verde indica hacia dónde tiran los perros del paseador. A la fuerza total se le llama también fuerza resultante. Como cada perro tira un poco hacia un lado, la fuerza resultante es menor que si los dos tiraran en la misma dirección y sentido. Su módulo lo medimos en la figura con la escala. Por ahora solo sabemos calcularlo en dos casos: cuando las fuerzas son perpendiculares entre sí, como los dos tramos de Pedro, o cuando están sobre una misma recta (eso viene enseguida).

Vectores sobre una misma recta

Lo más fácil de calcular es cuando los vectores están sobre una misma recta. Dos amigos empujan un coche averiado. Uno empuja con una fuerza de 300 N y el otro con 250 N, los dos hacia delante. Ponemos las flechas una tras otra y sale una flecha cuya longitud es simplemente la suma:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

La flecha roja y la azul son las fuerzas de los dos amigos, y la verde es la fuerza resultante.

Otra situación: el juego de la soga. Un equipo tira hacia la derecha con una fuerza de 300 N y el otro hacia la izquierda con 250 N. Las dos fuerzas actúan sobre el nudo del centro de la cuerda y apuntan exactamente en sentidos opuestos. Las flechas salen del nudo hacia lados contrarios, y por eso la fuerza resultante es la diferencia:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

La fuerza del primer equipo está en la figura en rojo, la del segundo en azul y la fuerza resultante en verde. La fuerza resultante de 50 N apunta hacia la derecha, del lado del equipo más fuerte. Si los dos equipos tiraran con la misma fuerza, la resultante sería nula y las fuerzas se equilibrarían. Solo cuando los vectores tienen la misma dirección, con el mismo sentido o con sentido exactamente contrario, sus módulos se suman y se restan como números normales.

Vector opuesto y producto por un número

El vector que tiene el mismo módulo que $\overrightarrow{u}$ pero apunta exactamente al revés se llama vector opuesto y se escribe $-\overrightarrow{u}$. En la figura de abajo está en azul. Si al vector le sumamos su opuesto, volvemos al punto de partida y obtenemos el vector nulo:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Así acaba el juego de la soga entre dos equipos igual de fuertes. Gracias al vector opuesto también se puede restar: restar $\overrightarrow{w}$ significa sumar $-\overrightarrow{w}$, es decir, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

También podemos multiplicar un vector por un número. El vector verde $2\overrightarrow{u}$ tiene la misma dirección y sentido que $\overrightarrow{u}$, pero es el doble de largo. Es lo mismo que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, dos flechas iguales una tras otra. Cuando multiplicamos por un número negativo, el vector además invierte su sentido: el vector naranja $-2\overrightarrow{u}$ es el doble de largo y apunta al revés. El vector opuesto $-\overrightarrow{u}$ es, en realidad, el vector $\overrightarrow{u}$ multiplicado por −1.

En física esto significa: si duplicamos una fuerza y la dejamos actuar con la misma dirección y sentido, obtenemos la fuerza $2\overrightarrow{F}$. El módulo se duplica y la dirección y el sentido se mantienen.

Seno y coseno

A menudo conviene descomponer un vector oblicuo en dos perpendiculares, por ejemplo una horizontal y otra vertical. Para ello tenemos que introducir dos conceptos nuevos, el seno y el coseno. Ambos parten del triángulo rectángulo.

El triángulo de la figura tiene el ángulo recto en el vértice C, y la hipotenusa es el lado negro c. Nos fijamos en el ángulo α del vértice A. El cateto rojo a está frente a él, por eso se llama cateto opuesto. El cateto azul b forma el ángulo α junto con la hipotenusa y se llama cateto adyacente.

El seno del ángulo α es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

¿Para qué sirve un cociente así? Amplía todo el triángulo al doble. Todos los lados serán el doble de largos, pero los ángulos seguirán igual. El cociente $\frac{a}{c}$ no cambia, porque se duplican tanto el numerador como el denominador. El seno y el coseno no dependen, pues, del tamaño del triángulo dibujado, sino solo del valor del ángulo α. El ángulo de 30° tiene siempre el mismo seno, tanto si dibujas el triángulo en el cuaderno como si lo trazas en el patio del colegio.

La hipotenusa es el lado más largo del triángulo rectángulo, así que los dos cocientes salen siempre menores que uno. Ni el seno ni el coseno de un ángulo agudo superan nunca la unidad.

El seno y el coseno de cualquier ángulo los calcula la calculadora, donde encontrarás las teclas sen y cos. Pero ten cuidado de que la calculadora trabaje en grados. Si en la pantalla no ves DEG, sino RAD o GRAD, calcula con otras unidades de ángulo y salen disparates. Es uno de los errores más frecuentes en los exámenes. En la web puedes usar la calculadora de seno o la de coseno; otras propiedades de ambas funciones las encontrarás en el artículo Propiedades del seno, el coseno, la tangente y la cotangente.

Tres ángulos sin calculadora

Para los ángulos de 30°, 45° y 60° podemos calcular el seno y el coseno incluso sin calculadora. Nos bastan un triángulo equilátero y un cuadrado.

A la izquierda vemos un triángulo equilátero de lado 2. Todos sus ángulos miden 60°. La altura, en línea discontinua, lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. El rojo tiene la hipotenusa 2, el cateto inferior 1, porque es la mitad del lado, y los ángulos 60° abajo y 30° arriba, porque la altura divide por la mitad el ángulo superior. La longitud de la altura la hallamos con el teorema de Pitágoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Solo queda sustituir en las definiciones. Frente al ángulo de 30° está el cateto 1, así que

$$\mathrm{sen}30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Con el ángulo de 60° ocurre al revés: frente a él está la altura $\sqrt{3}$:

$$\mathrm{sen}60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

A la derecha hay un cuadrado de lado 1, dividido por una diagonal. La diagonal divide por la mitad el ángulo recto, así que el triángulo azul tiene un ángulo de 45°, los dos catetos de longitud 1 y la hipotenusa $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. El seno y el coseno salen iguales:

$$\mathrm{sen}45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Todo junto:

Es curioso que el seno de 30° sea el coseno de 60° y viceversa. No es casualidad: el cateto opuesto de un ángulo agudo es el cateto adyacente del otro.

Descomposición de un vector en componentes

Pepe lleva a su hermana pequeña en un trineo. Sujeta la cuerda con la mano, y por eso no va horizontal, sino inclinada hacia arriba y forma con el suelo un ángulo de 30°. Pepe tira de ella con una fuerza de 100 N. Pero el trineo avanza por el suelo, no oblicuamente por el aire. ¿Cuánto de esa fuerza va realmente hacia delante?

La fuerza oblicua $\overrightarrow{F}$ la sustituimos por un par de fuerzas, una horizontal y otra vertical. Las llamamos componentes y se escriben ${\overrightarrow{F}}_x$ y ${\overrightarrow{F}}_y$, según los ejes x e y. Las elegimos de modo que su suma sea exactamente la fuerza original:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

En la figura vemos la fuerza verde $\overrightarrow{F}$ y sus componentes, la horizontal roja y la vertical azul. En línea discontinua se ha completado un rectángulo. El lado discontinuo de la derecha es la componente azul desplazada al final de la roja, de modo que la flecha roja y la azul una tras otra dan realmente la verde. Es la regla del paralelogramo al revés: allí de dos fuerzas hacíamos una, aquí de una hacemos dos. El paralelogramo es en este caso un rectángulo, porque las componentes son perpendiculares entre sí.

La componente roja, el lado discontinuo de la derecha y la fuerza verde forman un triángulo rectángulo. La hipotenusa es la fuerza $\overrightarrow{F}$ de módulo F. La componente horizontal es el cateto adyacente al ángulo α y la componente vertical es igual de larga que el cateto opuesto. De las definiciones de seno y coseno se cumple

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\mathrm{sen}\alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Multiplicamos las dos ecuaciones por el módulo de la fuerza F y obtenemos las fórmulas de los módulos de las componentes:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \mathrm{sen}\alpha \end{array}$$

Sustituimos los valores de Pepe. La componente horizontal es

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

y la vertical

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{sen}30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Hacia delante tira del trineo solo unos 86,6 N de los cien. La componente vertical restante, de 50 N, aligera un poco el trineo, de modo que presiona menos sobre la nieve.

Fíjate en que 86,6 N + 50 N da más de 100 N. No es un error: las componentes son vectores y no se suman como números. Solo se pueden sumar las flechas, una tras otra, y estas devuelven los 100 N originales.

¿Y si Pepe levanta más la cuerda, hasta 60°? Entonces

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Hacia delante tiraría solo con la mitad de la fuerza. Cuanto más empinada es la cuerda, menor es la parte de la fuerza que va hacia delante y más aligera el trineo.

Composición a partir de las componentes

Hasta ahora hemos descompuesto la fuerza. Muchas veces hace falta lo contrario: conocemos dos componentes perpendiculares y queremos el vector entero. Las componentes son los catetos de un triángulo rectángulo y el vector es su hipotenusa, así que el módulo lo calculamos con el teorema de Pitágoras:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Lo comprobamos con el trineo. Sustituimos las componentes:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Elevamos al cuadrado:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Y hallamos la raíz:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Hemos obtenido la fuerza original. La pequeña diferencia bajo la raíz se debe a que hemos redondeado el coseno a 0,866.

Ahora podemos volver a Pedro y su paseo. Su desplazamiento tiene las componentes 3 km hacia el este y 4 km hacia el norte, y el módulo ya lo conocemos, 5 km. Faltan la dirección y el sentido. Llamemos α al ángulo que forma la flecha verde con la roja, es decir, con el sentido hacia el este. La componente norte de 4 km está frente a él y la hipotenusa mide 5 km:

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Los kilómetros se han simplificado, el seno es un número normal sin unidad. El ángulo cuyo seno es 0,8 lo encuentra la calculadora con la tecla sen⁻¹ (suele estar sobre la tecla sen; en la web sirve la calculadora de arcoseno):

$$\alpha \approx 53°$$

El desplazamiento de Pedro es, por tanto, de 5 km en una dirección que se desvía 53° del este hacia el norte. Módulo, dirección y sentido: un vector no necesita más. Si Pedro quisiera volver por el camino más corto, iría según el vector opuesto: 5 km en sentido contrario, es decir, hacia el suroeste, algo más al sur que al oeste.

El desplazamiento nos acompañará durante toda la cinemática. En el siguiente artículo, Movimiento y reposo, lo contrapondremos a la distancia recorrida y mostraremos por qué una corredora que da una vuelta completa alrededor del campo, en realidad, no se ha desplazado a ningún sitio.