Grandeurs scalaires et vectorielles

« Dehors, il fait 20 °C. » Inutile d’en dire plus, tout le monde sait s’il faut prendre une veste. Un nombre et une unité suffisent à décrire la température. Mais essaie d’indiquer le chemin à quelqu’un avec la phrase « avance de 100 m ». Il demandera tout de suite : par où ? Tout droit, à gauche, en arrière ? Cent mètres vers le nord le mènent à la gare, cent mètres vers le sud directement dans l’étang. Pour une telle grandeur, un nombre ne suffit pas, il nous faut aussi une direction.

Scalaire ou vecteur ?

Les grandeurs qu’un nombre avec une unité décrit complètement s’appellent des scalaires. Sont des scalaires la température, le temps, la masse ou la distance parcourue. Quand tu dis qu’un sac a une masse de 5 kg ou qu’un film dure 2 h, tu n’as plus rien à ajouter. La masse n’est dirigée ni vers la gauche ni vers le haut.

Les grandeurs pour lesquelles la direction compte aussi, nous les appelons vecteurs. Un vecteur typique est la force. Quiconque a déjà déplacé une armoire sait que la pousser contre le mur est autre chose que de la pousser loin du mur. La vitesse est aussi un vecteur : une voiture qui roule à 90 km/h vers Le Mans et une voiture qui roule à 90 km/h depuis Le Mans ont une vitesse de même valeur, et pourtant chacune va dans une autre direction.

On reconnaît un vecteur à la flèche au-dessus du symbole. La force en tant que vecteur s’écrit $\overrightarrow{F}$. Mais parfois la direction ne nous intéresse pas et nous voulons seulement savoir quelle est l’intensité de la force. Cette partie s’appelle la norme du vecteur et on la note soit avec des barres verticales, soit simplement avec le symbole sans flèche :

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

La valeur de la force est un scalaire, par exemple F = 300 N. Le newton N est l’unité de force, nous n’aurons pas besoin d’en savoir plus pour l’instant. La force nous sert ici surtout d’exemple de vecteur.

Le vecteur comme flèche

Nous dessinons un vecteur sous forme de flèche. Elle est dirigée comme le vecteur et sa longueur correspond à sa norme. Pour pouvoir dessiner la flèche, nous choisissons une échelle, par exemple qu’un centimètre sur le papier représente 100 N. Une force de 300 N est alors une flèche longue de trois centimètres, une force de 50 N une flèche longue d’un demi-centimètre seulement.

Sur la figure, nous voyons trois flèches rouges. Toutes ont la même longueur et la même direction, elles représentent donc un seul et même vecteur $\overrightarrow{u}$, simplement dessiné à trois endroits différents. Un vecteur n’est déterminé que par sa norme et sa direction, peu importe d’où part la flèche. On peut donc déplacer la flèche à volonté, sans la faire tourner ni la raccourcir ou l’allonger. Cela nous servira tout de suite pour l’addition.

La flèche bleue $\overrightarrow{w}$ est aussi longue que les rouges, mais elle est dirigée ailleurs, c’est donc un autre vecteur. Les deux vecteurs ont la même norme, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, et pourtant $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Addition de vecteurs

Pierre part du refuge et marche 3 km vers l’est. Puis il tourne et marche encore 4 km vers le nord. À quelle distance du refuge se trouve-t-il ?

Dessinons la situation. Sur la figure, le nord est en haut, l’est à droite et un carreau mesure un kilomètre. Le point orange est le refuge, la flèche rouge est le premier trajet et la flèche bleue le second.

La flèche bleue ne part pas du refuge, mais de l’extrémité de la rouge. Pierre est en effet allé vers le nord à partir de l’endroit où il est arrivé en marchant vers l’est. Voilà comment les vecteurs s’additionnent : on déplace la deuxième flèche pour qu’elle commence à l’extrémité de la première. La somme est alors la flèche qui va de l’origine de la première flèche à l’extrémité de la deuxième. Sur la figure, c’est la verte et elle montre où Pierre a fini. L’animation le présente pas à pas : la flèche bleue part d’abord du même endroit que la rouge, puis se déplace à son extrémité et seulement ensuite apparaît la verte.

Si nous additionnons des nombres ordinaires au lieu des vecteurs, nous obtenons 3 km + 4 km = 7 km. Pierre a bien marché sept kilomètres, mais il n’est pas aussi loin du refuge. Il a fait un détour, la flèche verte est un raccourci et c’est pourquoi elle est plus courte que les deux trajets réunis.

Combien mesure la flèche verte ? La rouge, la bleue et la verte forment ensemble un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle qui a un angle droit. Les deux côtés qui forment l’angle droit sont les côtés de l’angle droit, et le troisième, le plus long, en face de l’angle droit, est l’hypoténuse. Pour un triangle rectangle, le théorème de Pythagore dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit. Les côtés de l’angle droit mesurent 3 km et 4 km, donc pour l’hypoténuse c on a

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Nous élevons au carré. L’unité aussi est élevée au carré, un kilomètre fois un kilomètre est un kilomètre carré :

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Et nous prenons la racine carrée :

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Pierre se trouve à 5 km du refuge. La flèche qui va de l’endroit où nous avons commencé à l’endroit où nous avons fini s’appelle en physique le déplacement. Contrairement aux kilomètres parcourus, c’est un vecteur : en plus des cinq kilomètres, il indique aussi dans quelle direction se trouve le refuge. Nous reviendrons à la direction à la fin de l’article.

On peut écrire la somme comme pour les nombres, seulement avec des flèches. Quand on additionne deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$, on obtient un nouveau vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Attention, la norme de la somme n’est en général pas la somme des normes. Si nous appelons $\overrightarrow{u}$ le premier trajet de Pierre et $\overrightarrow{w}$ le second, la norme de la somme est

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

alors que la somme des normes est

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

La règle du parallélogramme

Un promeneur tient en laisse deux chiens. Chacun tire dans une autre direction, l’un avec la force ${\overrightarrow{F}}_1$, l’autre avec la force ${\overrightarrow{F}}_2$, et les deux forces s’exercent sur la main dans laquelle le promeneur tient les laisses. Dans quelle direction les deux chiens le tirent-ils ensemble ?

Les forces s’exercent au même point, donc le plus naturel est de dessiner les flèches à partir d’une origine commune. Nous trouvons la force résultante par la règle du parallélogramme. De l’extrémité de chaque flèche, nous traçons en pointillés la parallèle à l’autre. Cela forme un parallélogramme, et sa diagonale issue du point commun est la somme cherchée $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Pourquoi ça marche ? Le côté droit en pointillés du parallélogramme a la même longueur que la flèche bleue et lui est parallèle. C’est donc la flèche bleue ${\overrightarrow{F}}_2$, simplement déplacée à l’extrémité de la rouge ${\overrightarrow{F}}_1$. C’est ce que nous avons fait dans la partie précédente : nous avons déplacé la deuxième flèche à l’extrémité de la première. Les deux procédés, le parallélogramme et les flèches mises bout à bout, mènent toujours au même résultat. Les flèches bout à bout conviennent aux événements qui se déroulent successivement (d’abord vers l’est, puis vers le nord), le parallélogramme aux forces qui s’exercent en même temps au même point.

La flèche verte montre où les chiens tirent le promeneur. La force obtenue s’appelle aussi la résultante. Comme chacun tire un peu ailleurs, la force résultante est plus petite que si les deux tiraient dans la même direction. Sa norme se mesure sur la figure, à l’échelle. Pour l’instant, nous ne savons la calculer que dans deux cas : quand les forces sont perpendiculaires entre elles, comme l’étaient les deux trajets de Pierre, ou quand elles sont sur une même droite (nous le verrons juste en dessous).

Vecteurs sur une même droite

Le calcul est le plus simple quand les vecteurs sont sur une même droite. Deux amis poussent une voiture en panne. L’un pousse avec une force de 300 N, l’autre avec 250 N, tous deux vers l’avant. Nous mettons les flèches bout à bout et nous obtenons une flèche dont la longueur est simplement la somme :

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

La flèche rouge et la bleue sont les forces des deux amis, la verte est la force résultante.

Autre situation : un concours de tir à la corde. Une équipe tire vers la droite avec une force de 300 N, l’autre vers la gauche avec 250 N. Les deux forces s’exercent sur le nœud au milieu de la corde et sont dirigées exactement en sens contraire. Les flèches partent du nœud de part et d’autre, et c’est pourquoi la force résultante est la différence :

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

La force de la première équipe est en rouge sur la figure, celle de la seconde en bleu et la force résultante en vert. La force résultante de 50 N est dirigée vers la droite, du côté de l’équipe la plus forte. Si les deux équipes tiraient aussi fort l’une que l’autre, la force résultante serait nulle et les forces se compenseraient. C’est seulement quand les vecteurs ont le même sens ou exactement le sens contraire que leurs normes s’additionnent et se soustraient comme des nombres ordinaires.

Vecteur opposé et multiplication par un nombre

Le vecteur qui a la même norme que $\overrightarrow{u}$ mais qui est dirigé exactement en sens contraire s’appelle le vecteur opposé et s’écrit $-\overrightarrow{u}$. Sur la figure ci-dessous, il est en bleu. Si on ajoute à un vecteur son vecteur opposé, on revient à l’endroit d’où l’on est parti et on obtient le vecteur nul :

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

C’est ainsi que se termine le tir à la corde de deux équipes de même force. Grâce au vecteur opposé, on peut aussi soustraire : soustraire $\overrightarrow{w}$ revient à ajouter $-\overrightarrow{w}$, donc $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

On peut aussi multiplier un vecteur par un nombre. Le vecteur vert $2\overrightarrow{u}$ est dirigé comme $\overrightarrow{u}$, mais il est deux fois plus long. C’est la même chose que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, deux flèches identiques bout à bout. Quand on multiplie par un nombre négatif, le vecteur change en plus de sens : le vecteur orange $-2\overrightarrow{u}$ est deux fois plus long et dirigé en sens contraire. Le vecteur opposé $-\overrightarrow{u}$ est en fait le vecteur $\overrightarrow{u}$ multiplié par le nombre −1.

En physique, cela signifie : si nous doublons la force et la laissons s’exercer dans la même direction, nous obtenons la force $2\overrightarrow{F}$. La norme double, la direction reste.

Sinus et cosinus

Il est souvent utile de décomposer un vecteur oblique en deux vecteurs perpendiculaires, par exemple un horizontal et un vertical. Pour cela, nous devons introduire deux nouvelles notions, le sinus et le cosinus. Toutes deux reposent sur le triangle rectangle.

Le triangle de la figure a un angle droit au sommet C, l’hypoténuse est le côté noir c. Regardons l’angle α au sommet A. Le côté rouge a se trouve en face de lui, c’est pourquoi on l’appelle le côté opposé. Le côté bleu b forme l’angle α avec l’hypoténuse, on l’appelle le côté adjacent.

Le sinus de l’angle α est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse, le cosinus est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse :

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

À quoi sert un tel rapport ? Agrandis tout le triangle d’un facteur deux. Tous les côtés seront deux fois plus longs, mais les angles resteront les mêmes. Le rapport $\frac{a}{c}$ ne change pas, car le numérateur et le dénominateur sont tous deux multipliés par deux. Le sinus et le cosinus ne dépendent donc pas de la taille du triangle dessiné, mais seulement de la mesure de l’angle α. Un angle de 30° a toujours le même sinus, que tu dessines le triangle dans ton cahier ou sur le terrain de sport de l’école.

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté le plus long, donc les deux rapports sont toujours plus petits que un. Ni le sinus ni le cosinus d’un angle aigu ne dépassent jamais un.

La calculatrice donne le sinus et le cosinus de n’importe quel angle, tu y trouves les touches sin et cos. Mais fais attention à ce que la calculatrice calcule en degrés. Si tu ne vois pas DEG à l’écran, mais RAD ou GRAD, elle calcule dans d’autres unités d’angle et les résultats sont absurdes. C’est l’une des erreurs les plus fréquentes dans les devoirs. Sur le site, tu peux utiliser la calculatrice du sinus ou du cosinus, et tu trouveras d’autres propriétés des deux fonctions dans l’article Propriétés du sinus et du cosinus.

Trois angles sans calculatrice

Pour les angles 30°, 45° et 60°, nous calculons le sinus et le cosinus même sans calculatrice. Un triangle équilatéral et un carré nous suffisent.

À gauche, nous voyons un triangle équilatéral de côté 2. Tous ses angles mesurent 60°. La hauteur en pointillés le partage en deux triangles rectangles identiques. Le rouge a pour hypoténuse 2, pour côté du bas 1, car c’est la moitié d’un côté, et pour angles 60° en bas et 30° en haut, car la hauteur coupe l’angle du haut en deux. La longueur de la hauteur se calcule avec le théorème de Pythagore : $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Il reste à remplacer dans les définitions. En face de l’angle de 30° se trouve le côté 1, donc

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Pour l’angle de 60°, c’est l’inverse, en face de lui se trouve la hauteur $\sqrt{3}$ :

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

À droite, il y a un carré de côté 1, partagé par une diagonale. La diagonale coupe l’angle droit en deux, donc le triangle bleu a un angle de 45°, deux côtés de l’angle droit de longueur 1 et une hypoténuse $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Le sinus et le cosinus sont les mêmes :

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Le tout ensemble :

Ce qui est intéressant, c’est que le sinus de 30° est le cosinus de 60° et inversement. Ce n’est pas un hasard : le côté opposé d’un angle aigu est le côté adjacent de l’autre.

Décomposition d’un vecteur en composantes

Antoine tire sa petite sœur sur une luge. Il tient la corde à la main, elle n’est donc pas horizontale, mais dirigée obliquement vers le haut, et forme avec le sol un angle de 30°. Antoine tire dessus avec une force de 100 N. Mais la luge glisse sur le sol, pas obliquement en l’air. Quelle part de cette force va vraiment vers l’avant ?

Nous remplaçons la force oblique $\overrightarrow{F}$ par deux forces, une horizontale et une verticale. On les appelle des composantes et on les note ${\overrightarrow{F}}_x$ et ${\overrightarrow{F}}_y$ d’après les axes x et y. Nous les choisissons pour que leur somme soit exactement la force d’origine :

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Sur la figure, on voit la force verte $\overrightarrow{F}$ et ses composantes, la rouge horizontale et la bleue verticale. Un rectangle est complété en pointillés. Le côté droit en pointillés est la composante bleue déplacée à l’extrémité de la rouge, donc la flèche rouge et la bleue mises bout à bout donnent bien la verte. C’est la règle du parallélogramme à l’envers : là, nous faisions une force à partir de deux, ici deux à partir d’une. Le parallélogramme est ici un rectangle, car les composantes sont perpendiculaires entre elles.

La composante rouge, le côté droit en pointillés et la force verte forment un triangle rectangle. L’hypoténuse est la force $\overrightarrow{F}$ de norme F. La composante horizontale est le côté adjacent de l’angle α et la composante verticale a la même longueur que le côté opposé. D’après les définitions du sinus et du cosinus, on a

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Nous multiplions les deux équations par la valeur de la force F et nous obtenons les formules des valeurs des composantes :

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Nous remplaçons par les valeurs d’Antoine. La composante horizontale est

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

et la verticale

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Seuls environ 86,6 N sur les cent tirent la luge vers l’avant. La composante verticale restante de 50 N soulage un peu la luge, qui appuie donc moins sur la neige.

Remarque que 86,6 N + 50 N donne plus que 100 N. Ce n’est pas une erreur, les composantes sont des vecteurs et ne s’additionnent pas comme des nombres. Seules les flèches peuvent s’additionner, bout à bout, et elles redonnent les 100 N d’origine.

Et si Antoine relève la corde plus haut, à 60° ? Alors

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Il ne tirerait vers l’avant qu’avec la moitié de la force. Plus la corde est inclinée, plus la part de la force qui va vers l’avant est petite et plus elle soulage la luge.

Recomposition

Jusqu’ici, nous avons décomposé la force. Il faut souvent l’inverse : nous connaissons deux composantes perpendiculaires et nous voulons le vecteur entier. Les composantes sont les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle et le vecteur est son hypoténuse, donc nous calculons la norme avec le théorème de Pythagore :

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Vérifions-le sur la luge. Nous remplaçons par les composantes :

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Nous élevons au carré :

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Et nous prenons la racine carrée :

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Nous avons retrouvé la force d’origine. Le léger écart sous la racine vient de ce que nous avons arrondi le cosinus à 0,866.

Nous pouvons maintenant revenir à Pierre et à sa promenade. Son déplacement a pour composantes 3 km vers l’est et 4 km vers le nord, et sa norme, nous la connaissons déjà, 5 km. Il reste la direction. Notons α l’angle que la flèche verte forme avec la rouge, c’est-à-dire avec la direction de l’est. La composante nord de 4 km est en face de lui et l’hypoténuse mesure 5 km :

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Les kilomètres se sont simplifiés, le sinus est un nombre ordinaire sans unité. L’angle dont le sinus est 0,8, la calculatrice le trouve avec la touche sin⁻¹ (elle se trouve souvent au-dessus de la touche sin, et sur le site, la calculatrice arcsinus rend service) :

$$\alpha \approx 53°$$

Le déplacement de Pierre est donc de 5 km dans une direction qui s’écarte de l’est de 53° vers le nord. La norme et la direction, un vecteur n’a pas besoin de plus. Si Pierre voulait rentrer par le chemin le plus court, il suivrait le vecteur opposé : 5 km dans la direction contraire, donc vers le sud-ouest, un peu plus vers le sud que vers l’ouest.

Le déplacement nous accompagnera dans toute la cinématique. Dans l’article suivant, Mouvement et repos, nous l’opposerons à la distance parcourue et nous montrerons pourquoi une coureuse qui a fait un tour complet du terrain ne s’est en fait déplacée nulle part.