Grandezze scalari e vettoriali

«Fuori ci sono 20 °C.» Non serve aggiungere altro: tutti sanno se prendere o no il giubbotto. La temperatura si descrive con un numero e un’unità di misura. Ma prova a indicare la strada a qualcuno dicendo «vai avanti per 100 m». Subito ti chiederà: in che direzione? Dritto, a sinistra, indietro? Cento metri verso nord lo portano alla stazione, cento metri verso sud dritto nello stagno. Per una grandezza così non basta il numero: ci serve anche una direzione.

Scalare o vettore?

Le grandezze che si descrivono completamente con un numero e un’unità di misura si chiamano grandezze scalari. Sono scalari la temperatura, il tempo, la massa o lo spazio percorso. Se dici che una borsa ha una massa di 5 kg o che un film dura 2 h, non devi aggiungere altro. La massa non è diretta né a sinistra né verso l’alto.

Le grandezze per cui conta anche la direzione si chiamano grandezze vettoriali, o vettori. Un tipico vettore è la forza. Chi ha provato a spostare un armadio sa che spingerlo contro il muro è diverso dallo spingerlo via dal muro. È un vettore anche la velocità: un’auto che va a 90 km/h verso Bologna e un’auto che va a 90 km/h da Bologna hanno la stessa velocità in modulo, eppure ognuna va da un’altra parte.

Un vettore si riconosce dalla freccia sopra il simbolo. La forza come vettore si scrive $\overrightarrow{F}$. A volte però la direzione non ci interessa e vogliamo solo sapere quanto è grande la forza. Questa parte si chiama modulo del vettore (o intensità, per la forza) e si scrive con due barre verticali oppure semplicemente con il simbolo senza freccia:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Il modulo della forza è uno scalare, per esempio F = 300 N. Il newton N è l’unità di misura della forza; per ora non ci serve saperne di più. Qui la forza ci serve soprattutto come esempio di vettore.

Il vettore come freccia

Un vettore si disegna come una freccia. Punta nella direzione e nel verso del vettore e la sua lunghezza corrisponde al suo modulo. Per poter disegnare la freccia scegliamo una scala, per esempio un centimetro sul foglio per 100 N. Una forza di 300 N è allora una freccia lunga tre centimetri, una forza di 50 N una freccia lunga solo mezzo centimetro.

Nella figura vediamo tre frecce rosse. Hanno tutte la stessa lunghezza e la stessa direzione, quindi rappresentano lo stesso vettore $\overrightarrow{u}$, solo disegnato in tre punti diversi. Un vettore è determinato soltanto da modulo, direzione e verso: non importa da dove parte la freccia. Possiamo quindi spostare la freccia a piacere, senza però ruotarla né accorciarla o allungarla. Ci tornerà subito utile nella somma.

La freccia blu $\overrightarrow{w}$ è lunga come quelle rosse, ma punta altrove, quindi è un vettore diverso. I due vettori hanno lo stesso modulo, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, e tuttavia $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Somma di vettori

Pietro parte dalla baita e cammina per 3 km verso est. Poi gira e cammina ancora per 4 km verso nord. A che distanza dalla baita si trova?

Facciamo un disegno. Nella figura il nord è in alto, l’est a destra e un quadretto misura un chilometro. Il punto arancione è la baita, la freccia rossa è il primo tratto e la freccia blu il secondo.

La freccia blu non parte dalla baita, ma dalla fine di quella rossa. Pietro, infatti, è andato verso nord dal punto in cui era arrivato andando verso est. Così si sommano i vettori: spostiamo la seconda freccia in modo che inizi dove finisce la prima. La somma è allora la freccia che va dall’inizio della prima alla fine della seconda. Nella figura è quella verde e mostra dove Pietro è finito. L’animazione lo mostra a passi: prima la freccia blu parte dallo stesso punto di quella rossa, poi si sposta alla sua fine e solo allora compare quella verde.

Se sommiamo invece dei numeri ordinari, otteniamo 3 km + 4 km = 7 km. Pietro ha davvero camminato per sette chilometri, ma dalla baita non è così lontano. Ha fatto un giro, la freccia verde è una scorciatoia ed è perciò più corta dei due tratti messi insieme.

Quanto è lunga la freccia verde? La rossa, la blu e la verde formano un triangolo rettangolo, cioè un triangolo con un angolo retto. I due lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il terzo, il più lungo, opposto all’angolo retto, è l’ipotenusa. Per un triangolo rettangolo vale il teorema di Pitagora: il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. I cateti misurano 3 km e 4 km, quindi per l’ipotenusa c vale

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Eleviamo al quadrato. Si eleva al quadrato anche l’unità di misura: chilometro per chilometro è un chilometro quadrato:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

E poi estraiamo la radice:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Pietro dista dalla baita 5 km. La freccia che va dal punto da cui siamo partiti al punto in cui siamo arrivati si chiama in fisica spostamento. A differenza dei chilometri percorsi a piedi, è un vettore: oltre ai cinque chilometri dice anche in quale direzione si trova la baita. Alla direzione torneremo alla fine dell’articolo.

La somma si può scrivere come per i numeri, ma con le frecce. Quando sommiamo due vettori $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{w}$, otteniamo un nuovo vettore $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Attenzione: il modulo della somma in generale non è la somma dei moduli. Se indichiamo con $\overrightarrow{u}$ il primo tratto di Pietro e con $\overrightarrow{w}$ il secondo, il modulo della somma è

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

mentre la somma dei moduli è

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Regola del parallelogramma

Una persona porta a spasso due cani, ciascuno al proprio guinzaglio. Ognuno tira da una parte diversa, uno con la forza ${\overrightarrow{F}}_1$, l’altro con la forza ${\overrightarrow{F}}_2$, ed entrambe le forze agiscono sulla mano che tiene i guinzagli. Dove la tirano i cani, insieme?

Le forze agiscono nello stesso punto, perciò è naturale disegnare le frecce a partire da un’origine comune. La forza risultante si trova con la regola del parallelogramma. Dalla punta di ciascuna freccia si traccia tratteggiata la parallela all’altra. Si forma così un parallelogramma e la sua diagonale che parte dal punto comune è la somma cercata $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Perché funziona? Il lato destro tratteggiato del parallelogramma è lungo quanto la freccia blu ed è parallelo ad essa. È quindi la freccia blu ${\overrightarrow{F}}_2$, solo spostata alla fine di quella rossa ${\overrightarrow{F}}_1$. Lo conosciamo dalla parte precedente: abbiamo spostato la seconda freccia alla fine della prima. I due procedimenti, il parallelogramma e le frecce messe una dopo l’altra, portano sempre allo stesso risultato. Le frecce in successione vanno bene per i fenomeni che si svolgono uno dopo l’altro (prima verso est, poi verso nord), il parallelogramma per le forze che agiscono contemporaneamente nello stesso punto.

La freccia verde mostra dove i cani tirano la persona. La forza totale si chiama anche risultante. Poiché ognuno tira in una direzione un po’ diversa, la forza risultante è minore di quella che si avrebbe se entrambi tirassero nella stessa direzione. Il suo modulo si misura sulla figura, tenendo conto della scala. Per ora sappiamo calcolarlo solo in due casi: quando le forze sono perpendicolari tra loro, come i due tratti di Pietro, oppure quando stanno sulla stessa retta (è il caso che segue).

Vettori sulla stessa retta

Il caso più semplice è quando i vettori stanno sulla stessa retta. Due amici spingono un’auto in panne. Uno spinge con una forza di 300 N, l’altro con 250 N, entrambi in avanti. Mettiamo le frecce una dopo l’altra e otteniamo una freccia la cui lunghezza è semplicemente la somma:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

La freccia rossa e quella blu sono le forze dei due amici, quella verde è la forza risultante.

Un’altra situazione: il tiro alla fune. Una squadra tira verso destra con una forza di 300 N, l’altra verso sinistra con 250 N. Entrambe le forze agiscono sul nodo al centro della fune e sono esattamente opposte. Le frecce partono dal nodo in versi opposti e per questo la forza risultante è la differenza:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Nella figura la forza della prima squadra è in rosso, quella della seconda in blu e la risultante in verde. La forza risultante di 50 N è diretta verso destra, dalla parte della squadra più forte. Se le due squadre tirassero con la stessa forza, la risultante sarebbe nulla e le forze si equilibrerebbero. Solo quando i vettori hanno lo stesso verso o versi esattamente opposti, i loro moduli si sommano e si sottraggono come numeri ordinari.

Vettore opposto e prodotto per un numero

Il vettore che ha lo stesso modulo di $\overrightarrow{u}$ ma punta esattamente in verso opposto si chiama vettore opposto e si scrive $-\overrightarrow{u}$. Nella figura qui sotto è in blu. Se a un vettore sommiamo il suo opposto, torniamo al punto da cui siamo partiti e otteniamo il vettore nullo:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Così finisce un tiro alla fune tra due squadre di uguale forza. Grazie al vettore opposto si può anche sottrarre: sottrarre $\overrightarrow{w}$ significa sommare $-\overrightarrow{w}$, cioè $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Un vettore si può anche moltiplicare per un numero. Il vettore verde $2\overrightarrow{u}$ ha lo stesso verso di $\overrightarrow{u}$, ma è due volte più lungo. Equivale a $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, due frecce uguali una dopo l’altra. Se moltiplichiamo per un numero negativo, il vettore inverte anche il verso: il vettore arancione $-2\overrightarrow{u}$ è due volte più lungo e punta in verso opposto. Il vettore opposto $-\overrightarrow{u}$ è in realtà il vettore $\overrightarrow{u}$ moltiplicato per il numero −1.

In fisica significa questo: se raddoppiamo una forza e la lasciamo agire nello stesso verso, otteniamo la forza $2\overrightarrow{F}$. Il modulo raddoppia, la direzione resta.

Seno e coseno

Spesso conviene scomporre un vettore obliquo in due vettori perpendicolari, per esempio uno orizzontale e uno verticale. Per farlo dobbiamo introdurre due nuovi concetti, il seno e il coseno. Entrambi nascono da un triangolo rettangolo.

Il triangolo della figura ha l’angolo retto nel vertice C e l’ipotenusa è il lato nero c. Osserviamo l’angolo α nel vertice A. Il cateto rosso a gli sta di fronte, perciò si chiama cateto opposto. Il cateto blu b forma l’angolo α insieme all’ipotenusa e si chiama cateto adiacente.

Il seno dell’angolo α è il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa, il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa:

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

A che serve un rapporto del genere? Ingrandisci il triangolo di due volte. Tutti i lati diventano due volte più lunghi, ma gli angoli restano uguali. Il rapporto $\frac{a}{c}$ non cambia, perché sia il numeratore sia il denominatore raddoppiano. Seno e coseno quindi non dipendono dalle dimensioni del triangolo disegnato, ma solo dall’ampiezza dell’angolo α. Il seno di un angolo di 30° è sempre lo stesso, che il triangolo lo disegni sul quaderno o sul campo della scuola.

L’ipotenusa è il lato più lungo del triangolo rettangolo, quindi entrambi i rapporti risultano sempre minori di uno. Né il seno né il coseno di un angolo acuto superano mai uno.

Il seno e il coseno di un angolo qualsiasi li calcola la calcolatrice, dove trovi i tasti sen e cos. Fai però attenzione che la calcolatrice calcoli in gradi. Se sul display non vedi DEG, ma RAD o GRAD, sta calcolando con altre unità di misura degli angoli e i risultati saranno senza senso. È uno degli errori più frequenti nei compiti in classe. Sul web puoi usare la calcolatrice del seno o del coseno; altre proprietà delle due funzioni le trovi nell’articolo Proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente.

Tre angoli senza calcolatrice

Per gli angoli di 30°, 45° e 60° seno e coseno si calcolano anche senza calcolatrice. Ci bastano un triangolo equilatero e un quadrato.

A sinistra vediamo un triangolo equilatero di lato 2. Tutti i suoi angoli misurano 60°. L’altezza tratteggiata lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Quello rosso ha ipotenusa 2, cateto inferiore 1, perché è la metà del lato, e angoli di 60° in basso e di 30° in alto, perché l’altezza dimezza l’angolo al vertice. La lunghezza dell’altezza si ricava dal teorema di Pitagora: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Non resta che sostituire nelle definizioni. All’angolo di 30° sta di fronte il cateto 1, quindi

$$\mathrm{sen}30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Per l’angolo di 60° è il contrario: gli sta di fronte l’altezza $\sqrt{3}$:

$$\mathrm{sen}60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

A destra c’è un quadrato di lato 1, diviso da una diagonale. La diagonale dimezza l’angolo retto, quindi il triangolo blu ha un angolo di 45°, entrambi i cateti di lunghezza 1 e l’ipotenusa $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Seno e coseno risultano uguali:

$$\mathrm{sen}45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Tutto insieme:

È interessante che il seno di 30° sia il coseno di 60° e viceversa. Non è un caso: il cateto opposto a un angolo acuto è il cateto adiacente all’altro.

Scomposizione di un vettore nelle componenti

Beppe porta la sorellina sullo slittino. Tiene la corda in mano, quindi la corda non è orizzontale, ma va verso l’alto in obliquo e forma con il terreno un angolo di 30°. Beppe tira la corda con una forza di 100 N. Lo slittino però scivola sul terreno, non in obliquo nell’aria. Quanta parte di quella forza va davvero in avanti?

Sostituiamo la forza obliqua $\overrightarrow{F}$ con una coppia di forze, una orizzontale e una verticale. Le chiamiamo componenti e si indicano con ${\overrightarrow{F}}_x$ e ${\overrightarrow{F}}_y$, secondo gli assi x e y. Le scegliamo in modo che la loro somma sia esattamente uguale alla forza originale:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Nella figura c’è la forza verde $\overrightarrow{F}$ e le sue componenti, quella orizzontale rossa e quella verticale blu. Il rettangolo è completato con il tratteggio. Il lato destro tratteggiato è la componente blu spostata alla fine di quella rossa, quindi la freccia rossa e quella blu una dopo l’altra danno davvero quella verde. È la regola del parallelogramma al contrario: lì da due forze ne facevamo una, qui da una ne facciamo due. Il parallelogramma in questo caso è un rettangolo, perché le componenti sono perpendicolari tra loro.

La componente rossa, il lato destro tratteggiato e la forza verde formano un triangolo rettangolo. L’ipotenusa è la forza $\overrightarrow{F}$ con modulo F. La componente orizzontale è il cateto adiacente all’angolo α e quella verticale è lunga quanto il cateto opposto. Dalle definizioni di seno e coseno si ha

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\mathrm{sen}\alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Moltiplichiamo entrambe le equazioni per il modulo della forza F e otteniamo le formule per i moduli delle componenti:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \mathrm{sen}\alpha \end{array}$$

Sostituiamo i valori di Beppe. La componente orizzontale è

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

e quella verticale

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{sen}30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

In avanti, dunque, lo slittino è tirato solo con circa 86,6 N su cento. La restante componente verticale di 50 N solleva un po’ lo slittino, che quindi preme meno sulla neve.

Nota che 86,6 N + 50 N dà più di 100 N. Non è un errore: le componenti sono vettori e non si sommano come numeri. Si possono sommare solo le frecce, una dopo l’altra, e queste danno di nuovo i 100 N originali.

E se Beppe alza la corda più in alto, a 60°? Allora

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

In avanti tirerebbe con solo metà della forza. Più la corda è ripida, minore è la parte della forza che va in avanti e più lo slittino viene sollevato.

Ricomposizione

Finora abbiamo scomposto la forza. Spesso serve il contrario: conosciamo due componenti perpendicolari e vogliamo l’intero vettore. Le componenti sono i cateti di un triangolo rettangolo e il vettore è la sua ipotenusa, quindi il modulo si calcola con il teorema di Pitagora:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Verifichiamolo con lo slittino. Sostituiamo le componenti:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Eleviamo al quadrato:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Ed estraiamo la radice:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Abbiamo ottenuto la forza originale. La piccola differenza sotto la radice nasce dal fatto che abbiamo arrotondato il coseno a 0,866.

Ora possiamo tornare a Pietro e alla sua passeggiata. Il suo spostamento ha componenti 3 km verso est e 4 km verso nord e il modulo lo conosciamo già, 5 km. Resta la direzione. Indichiamo con α l’angolo che la freccia verde forma con quella rossa, cioè con la direzione est. La componente verso nord di 4 km gli sta di fronte e l’ipotenusa misura 5 km:

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

I chilometri si sono semplificati, il seno è un numero puro, senza unità di misura. L’angolo il cui seno è 0,8 lo trova la calcolatrice con il tasto sen⁻¹ (di solito sta sopra il tasto sen; sul web va bene la calcolatrice dell’arcoseno):

$$\alpha \approx 53°$$

Lo spostamento di Pietro è quindi di 5 km in una direzione che devia dall’est di 53° verso nord. Modulo e direzione: un vettore non richiede altro. Se Pietro volesse tornare indietro per la via più breve, seguirebbe il vettore opposto: 5 km nel verso contrario, cioè verso sud-ovest, un po’ più verso sud che verso ovest.

Lo spostamento ci accompagnerà in tutta la cinematica. Nel prossimo articolo, Moto e quiete, lo confronteremo con lo spazio percorso e vedremo perché una podista, dopo un giro completo della pista, in realtà non si è spostata da nessuna parte.