Skalaari- ja vektorisuureet

”Ulkona on 20 °C.” Muuta ei tarvitse lisätä, jokainen tietää, pitääkö ottaa takki mukaan. Lämpötilan kuvaa luku ja yksikkö. Mutta yritä neuvoa jollekulle reitti lauseella ”kulje 100 m”. Hän kysyy heti: minne? Suoraan, vasemmalle, takaisin? Sata metriä pohjoiseen vie hänet rautatieasemalle, sata metriä etelään suoraan lampeen. Tällaiselle suureelle luku ei riitä, siihen tarvitaan myös suunta.

Skalaari vai vektori?

Suureita, jotka luku ja yksikkö kuvaavat täysin, sanotaan skalaareiksi. Skalaari on esimerkiksi lämpötila, aika, massa tai matka. Kun sanot, että kassin massa on 5 kg tai että elokuva kestää 2 h, sinun ei tarvitse lisätä mitään. Massa ei osoita vasemmalle eikä ylös.

Suureita, joilla myös suunta on tärkeä, sanotaan vektoreiksi. Tyypillinen vektori on voima. Jokainen, joka on joskus siirtänyt kaappia, tietää, että sen työntäminen seinää kohti on eri asia kuin seinästä poispäin. Vektori on myös nopeus: auto, joka ajaa nopeudella 90 km/h Brnoon, ja auto, joka ajaa nopeudella 90 km/h Brnosta pois, kulkevat yhtä suurella nopeudella, ja silti kumpikin menee eri suuntaan.

Vektorin tunnistaa tunnuksen päällä olevasta viivasta. Voima vektorina kirjoitetaan $\overline{F}$. Joskus suunta ei kuitenkaan kiinnosta, vaan halutaan vain tietää, kuinka suuri voima on. Tätä osaa kutsutaan vektorin suuruudeksi, ja se kirjoitetaan joko pystyviivoilla tai pelkällä tunnuksella ilman viivaa:

$$|\overline{F}|=F$$

Voiman suuruus on skalaari, esimerkiksi F = 300 N. Newton N on voiman yksikkö, enempää siitä ei toistaiseksi tarvita. Voima toimii tässä lähinnä vektorin esimerkkinä.

Vektori nuolena

Vektori piirretään nuolena. Se osoittaa samaan suuntaan kuin vektori, ja sen pituus vastaa vektorin suuruutta. Jotta nuolen voi piirtää, valitaan mittakaava, esimerkiksi että yksi senttimetri paperilla tarkoittaa 100 N. Voima 300 N on silloin kolme senttimetriä pitkä nuoli ja voima 50 N vain puoli senttimetriä pitkä.

Kuvassa näkyy kolme punaista nuolta. Kaikilla on sama pituus ja suunta, joten ne esittävät yhtä ja samaa vektoria $\overline{u}$, vain piirrettynä kolmeen eri paikkaan. Vektorin määräävät vain suuruus ja suunta, sillä ei ole väliä, mistä nuoli lähtee. Nuolta saa siis vapaasti siirtää, kunhan sitä ei käännä eikä lyhennä tai pidennä. Tästä on heti hyötyä yhteenlaskussa.

Sininen nuoli $\overline{w}$ on yhtä pitkä kuin punaiset, mutta osoittaa muualle, joten se on eri vektori. Molempien vektorien suuruus on sama, $|\overline{u}|=|\overline{w}|$, ja silti $\overline{u}\ne \overline{w}$.

Vektoreiden yhteenlasku

Eino lähtee mökiltä ja kävelee 3 km itään. Sitten hän kääntyy ja kävelee vielä 4 km pohjoiseen. Kuinka kaukana mökistä hän on?

Piirretään tilanne. Kuvassa pohjoinen on ylhäällä, itä oikealla ja yksi ruutu on kilometri. Oranssi piste on mökki, punainen nuoli on ensimmäinen osuus ja sininen nuoli toinen.

Sininen nuoli ei lähde mökiltä vaan punaisen nuolen päästä. Eino nimittäin käveli pohjoiseen siitä paikasta, johon hän oli itään kävellen päässyt. Näin vektorit lasketaan yhteen: toinen nuoli siirretään niin, että se alkaa ensimmäisen nuolen päästä. Summa on silloin nuoli, joka kulkee ensimmäisen nuolen alusta toisen nuolen loppuun. Kuvassa se on vihreä ja osoittaa, mihin Eino päätyi. Animaatio näyttää sen vaiheittain: sininen nuoli lähtee ensin samasta paikasta kuin punainen, siirtyy sitten sen päähän ja vasta sen jälkeen ilmestyy vihreä.

Jos vektoreiden sijasta lasketaan yhteen tavalliset luvut, saadaan 3 km + 4 km = 7 km. Seitsemän kilometriä Eino todella käveli, mutta niin kaukana mökistä hän ei ole. Hän kulki kiertotietä, vihreä nuoli on oikotie, ja siksi se on lyhyempi kuin molemmat osuudet yhteensä.

Kuinka pitkä vihreä nuoli on? Punainen, sininen ja vihreä muodostavat yhdessä suorakulmaisen kolmion, eli kolmion, jossa on yksi suora kulma. Kahta sivua, jotka rajaavat suoran kulman, sanotaan kateeteiksi, ja kolmatta, pisintä sivua suoraa kulmaa vastapäätä sanotaan hypotenuusaksi. Suorakulmaiselle kolmiolle pätee Pythagoraan lause: hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa. Kateetit ovat 3 km ja 4 km, joten hypotenuusalle c pätee

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Korotetaan potenssiin. Myös yksikkö korotetaan, kilometri kertaa kilometri on neliökilometri:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Ja otetaan neliöjuuri:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Eino on mökiltä 5 km päässä. Nuolta, joka kulkee lähtöpisteestä päätepisteeseen, sanotaan fysiikassa siirtymäksi. Toisin kuin käveltyjen kilometrien määrä se on vektori: viiden kilometrin lisäksi se kertoo myös, missä suunnassa mökki on. Suuntaan palataan artikkelin lopussa.

Summan voi kirjoittaa samoin kuin lukujen kohdalla, vain nuolten kanssa. Kun lasketaan yhteen kaksi vektoria $\overline{u}$ ja $\overline{w}$, saadaan uusi vektori $\overline{u}+\overline{w}$. Huomaa, että summan suuruus yleensä ei ole suuruuksien summa. Jos Einon ensimmäistä osuutta merkitään $\overline{u}$ ja toista $\overline{w}$, summan suuruus on

$$|\overline{u}+\overline{w}|=5\mathrm{km},$$

kun taas suuruuksien summa on

$$|\overline{u}|+|\overline{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Suunnikassääntö

Koiranulkoiluttajalla on talutushihnassa kaksi koiraa. Kumpikin vetää eri suuntaan, toinen voimalla ${\overline{F}}_1$ ja toinen voimalla ${\overline{F}}_2$, ja molemmat voimat vaikuttavat käteen, jossa ulkoiluttaja pitelee hihnoja. Minne koirat vetävät hänet yhdessä?

Voimat vaikuttavat samassa pisteessä, joten nuolet on luontevinta piirtää yhteisestä alkupisteestä. Kokonaisvoima löydetään suunnikassäännöllä. Kunkin nuolen päästä piirretään katkoviivalla toisen nuolen suuntainen jana. Näin syntyy suunnikas, ja sen yhteisestä pisteestä lähtevä lävistäjä on etsitty summa $\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2$.

Miksi tämä toimii? Suunnikkaan oikea katkoviivasivu on yhtä pitkä kuin sininen nuoli ja sen suuntainen. Se on siis sininen nuoli ${\overline{F}}_2$ siirrettynä punaisen nuolen ${\overline{F}}_1$ päähän. Tämä tunnetaan jo edellisestä osasta: toinen nuoli siirrettiin ensimmäisen päähän. Molemmat tavat, suunnikas ja nuolten ketjuttaminen peräkkäin, johtavat aina samaan tulokseen. Peräkkäiset nuolet sopivat tapahtumiin, jotka etenevät vaiheittain (ensin itään, sitten pohjoiseen), suunnikas voimiin, jotka vaikuttavat yhtä aikaa samassa pisteessä.

Vihreä nuoli näyttää, mihin koirat ulkoiluttajaa vetävät. Kokonaisvoimaa sanotaan myös resultantiksi. Koska kumpikin vetää vähän eri suuntaan, kokonaisvoima on pienempi kuin jos molemmat vetäisivät samaan suuntaan. Sen suuruus mitataan kuvasta mittakaavan avulla. Laskea sen voi toistaiseksi vain kahdessa tapauksessa: kun voimat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, kuten Einon kaksi osuutta, tai kun ne ovat samalla suoralla (se on heti alla).

Samalla suoralla olevat vektorit

Helpointa on laskea, kun vektorit ovat samalla suoralla. Kaksi kaveria työntää rikkoutunutta autoa. Toinen työntää voimalla 300 N ja toinen voimalla 250 N, molemmat eteenpäin. Nuolet asetetaan peräkkäin, jolloin saadaan nuoli, jonka pituus on yksinkertaisesti summa:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Punainen ja sininen nuoli ovat kummankin kaverin voimat, vihreä on kokonaisvoima.

Toinen tilanne: köydenveto. Yksi joukkue vetää oikealle voimalla 300 N, toinen vasemmalle voimalla 250 N. Molemmat voimat vaikuttavat köyden keskellä olevaan solmuun ja osoittavat täsmälleen vastakkain. Nuolet lähtevät solmusta vastakkaisiin suuntiin, ja siksi kokonaisvoima on erotus:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Ensimmäisen joukkueen voima on kuvassa punainen, toisen sininen ja kokonaisvoima vihreä. Kokonaisvoima 50 N osoittaa oikealle, vahvemman joukkueen puolelle. Jos molemmat joukkueet vetäisivät yhtä kovaa, kokonaisvoima olisi nolla ja voimat kumoaisivat toisensa. Vain kun vektorit osoittavat samaan tai täsmälleen vastakkaiseen suuntaan, niiden suuruudet lasketaan yhteen ja vähennetään kuten tavalliset luvut.

Vastavektori ja kertominen luvulla

Vektoria, jonka suuruus on sama kuin vektorin $\overline{u}$ mutta joka osoittaa täsmälleen vastakkaiseen suuntaan, sanotaan vastavektoriksi, ja se kirjoitetaan $-\overline{u}$. Alla olevassa kuvassa se on sininen. Kun vektoriin lisätään sen vastavektori, palataan sinne, mistä lähdettiin, ja saadaan nollavektori:

$$\overline{u}+(-\overline{u})=\overline{0}$$

Näin päättyy kahden yhtä vahvan joukkueen köydenveto. Vastavektorin ansiosta voi myös vähentää: vektorin $\overline{w}$ vähentäminen tarkoittaa vektorin $-\overline{w}$ lisäämistä, eli $\overline{u}-\overline{w}=\overline{u}+(-\overline{w})$.

Vektorin voi myös kertoa luvulla. Vihreä vektori $2\overline{u}$ osoittaa samaan suuntaan kuin $\overline{u}$, mutta on kaksi kertaa pidempi. Se on sama kuin $\overline{u}+\overline{u}$, kaksi samanlaista nuolta peräkkäin. Kun kerrotaan negatiivisella luvulla, vektori lisäksi kääntää suuntansa: oranssi vektori $-2\overline{u}$ on kaksi kertaa pidempi ja osoittaa vastakkaiseen suuntaan. Vastavektori $-\overline{u}$ on oikeastaan vektori $\overline{u}$ kerrottuna luvulla −1.

Fysiikassa tämä tarkoittaa: jos voima kaksinkertaistetaan ja sen annetaan vaikuttaa samaan suuntaan, saadaan voima $2\overline{F}$. Suuruus kaksinkertaistuu, suunta pysyy.

Sini ja kosini

Vino vektori kannattaa usein jakaa kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan vektoriin, esimerkiksi vaaka- ja pystysuuntaiseen. Sitä varten otetaan käyttöön kaksi uutta käsitettä, sinin ja kosinin. Molemmat perustuvat suorakulmaiseen kolmioon.

Kuvan kolmiossa on suora kulma kärjessä C, ja hypotenuusa on musta sivu c. Tarkastellaan kulmaa α kärjessä A. Punainen kateetti a on sitä vastapäätä, siksi sitä sanotaan vastaiseksi kateetiksi. Sininen kateetti b rajaa kulman α yhdessä hypotenuusan kanssa, ja sitä sanotaan viereiseksi kateetiksi.

Kulman α sini on vastaisen kateetin ja hypotenuusan suhde, kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Mihin tällaista suhdetta tarvitaan? Suurenna koko kolmio kaksinkertaiseksi. Kaikki sivut ovat kaksi kertaa pidempiä, mutta kulmat pysyvät samoina. Suhde $\frac{a}{c}$ ei muutu, koska sekä osoittaja että nimittäjä kaksinkertaistuvat. Sini ja kosini eivät siksi riipu piirretyn kolmion koosta vaan ainoastaan kulman α suuruudesta. Kulman 30° sini on aina sama, piirrätpä kolmion vihkoon tai koulun pihalle.

Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu, joten molemmat suhteet ovat aina pienempiä kuin yksi. Terävän kulman sini tai kosini ei koskaan ylitä ykköstä.

Minkä tahansa kulman sinin ja kosinin laskee laskin, siinä on painikkeet sin ja cos. Varmista kuitenkin, että laskin laskee asteina. Jos näytöllä ei lue DEG vaan RAD tai GRAD, laskin käyttää muita kulmayksiköitä ja tulokset ovat järjettömiä. Se on yksi yleisimmistä virheistä kokeissa. Verkossa voit käyttää sinilaskuria tai kosinilaskuria, ja molempien funktioiden muut ominaisuudet löydät artikkelista Sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin ominaisuudet.

Kolme kulmaa ilman laskinta

Kulmille 30°, 45° ja 60° sinin ja kosinin voi laskea myös ilman laskinta. Tarvitaan vain tasasivuinen kolmio ja neliö.

Vasemmalla on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 2. Kaikki sen kulmat ovat 60°. Katkoviivalla piirretty korkeusjana jakaa sen kahdeksi yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Punaisen kolmion hypotenuusa on 2, alakateetti 1, koska se on sivun puolikas, ja kulmat ovat 60° alhaalla ja 30° ylhäällä, koska korkeusjana puolittaa ylemmän kulman. Korkeusjanan pituus saadaan Pythagoraan lauseesta: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Enää tarvitsee sijoittaa määritelmiin. Kulmaa 30° vastapäätä on kateetti 1, joten

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Kulman 60° kohdalla asia on päinvastoin, sitä vastapäätä on korkeusjana $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Oikealla on neliö, jonka sivu on 1 ja joka on jaettu lävistäjällä. Lävistäjä puolittaa suoran kulman, joten sinisen kolmion kulma on 45°, molemmat kateetit ovat 1 ja hypotenuusa on $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sini ja kosini ovat samat:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Kaikki yhdessä:

Mielenkiintoista on, että kulman 30° sini on kulman 60° kosini ja päinvastoin. Se ei ole sattumaa: toisen terävän kulman vastainen kateetti on toisen kulman viereinen kateetti.

Vektorin jakaminen komponentteihin

Pekka vetää kelkalla pikkusiskoaan. Hän pitää köydestä kiinni kädessään, joten se ei kulje vaakasuoraan vaan vinosti ylöspäin ja muodostaa maan kanssa kulman 30°. Pekka vetää siitä voimalla 100 N. Kelkka kulkee kuitenkin maata pitkin, ei vinosti ilmaan. Kuinka suuri osa voimasta menee todella eteenpäin?

Vino voima $\overline{F}$ korvataan kahden voiman parilla, vaaka- ja pystysuuntaisella. Niitä sanotaan komponenteiksi, ja ne merkitään ${\overline{F}}_x$ ja ${\overline{F}}_y$ akselien x ja y mukaan. Ne valitaan niin, että niiden summa on täsmälleen alkuperäinen voima:

$$\overline{F}={\overline{F}}_x+{\overline{F}}_y$$

Kuvassa on vihreä voima $\overline{F}$ ja sen komponentit, punainen vaakasuuntainen ja sininen pystysuuntainen. Katkoviivalla on täydennetty suorakulmio. Oikea katkoviivasivu on sininen komponentti siirrettynä punaisen päähän, joten punainen ja sininen nuoli peräkkäin todella antavat vihreän. Se on suunnikassääntö toisinpäin: siellä kahdesta voimasta tehtiin yksi, täällä yhdestä kaksi. Suunnikas on tässä tapauksessa suorakulmio, koska komponentit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa.

Punainen komponentti, oikea katkoviivasivu ja vihreä voima muodostavat suorakulmaisen kolmion. Hypotenuusana on voima $\overline{F}$, jonka suuruus on F. Vaakakomponentti on kulman α viereinen kateetti ja pystykomponentti yhtä pitkä kuin vastainen kateetti. Sinin ja kosinin määritelmistä seuraa

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Kun kumpikin yhtälö kerrotaan voiman suuruudella F, saadaan kaavat komponenttien suuruuksille:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Sijoitetaan Pekan arvot. Vaakakomponentti on

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

ja pystykomponentti

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Eteenpäin kelkkaa vetää siis vain noin 86,6 N sadasta. Jäljelle jäävä pystykomponentti 50 N keventää kelkkaa hieman, joten se painaa lunta vähemmän.

Huomaa, että 86,6 N + 50 N on enemmän kuin 100 N. Se ei ole virhe, komponentit ovat vektoreita eikä niitä lasketa yhteen kuin lukuja. Yhteen voi laskea vain nuolia, peräkkäin, ja ne antavat takaisin alkuperäiset 100 N.

Entä jos Pekka nostaa köyden korkeammalle, kulmaan 60°? Silloin

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Eteenpäin hän vetäisi vain puolella voimasta. Mitä jyrkemmin köysi kulkee, sitä pienempi osa voimasta menee eteenpäin ja sitä enemmän kelkka kevenee.

Komponenttien yhdistäminen takaisin

Tähän asti voimaa on jaettu. Usein tarvitaan päinvastaista: tunnetaan kaksi kohtisuoraa komponenttia ja halutaan koko vektori. Komponentit ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja ja vektori sen hypotenuusa, joten suuruus lasketaan Pythagoraan lauseella:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Tarkistetaan se kelkan avulla. Sijoitetaan komponentit:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Korotetaan potenssiin:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Ja otetaan neliöjuuri:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Saatiin alkuperäinen voima. Pieni poikkeama juuren alla syntyi siitä, että kosini pyöristettiin lukuun 0,866.

Nyt voidaan palata Einoon ja hänen kävelyynsä. Hänen siirtymänsä komponentit ovat 3 km itään ja 4 km pohjoiseen, ja suuruus tiedetään jo, 5 km. Jäljellä on suunta. Merkitään α:lla kulmaa, jonka vihreä nuoli muodostaa punaisen kanssa, eli itään osoittavan suunnan kanssa. Pohjoiskomponentti 4 km on sitä vastapäätä ja hypotenuusa on 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometrit supistuivat, sini on tavallinen luku ilman yksikköä. Kulman, jonka sini on 0,8, löytää laskin painikkeella sin⁻¹ (se on usein painikkeen sin yläpuolella, verkossa auttaa arkussinilaskuri):

$$\alpha \approx 53°$$

Einon siirtymä on siis 5 km suuntaan, joka kääntyy idästä 53° pohjoiseen päin. Suuruus ja suunta, enempää vektori ei tarvitse. Jos Eino haluaisi palata lyhintä reittiä, hän kulkisi vastavektoria pitkin: 5 km vastakkaiseen suuntaan, eli lounaaseen, hieman enemmän etelään kuin länteen.

Siirtymä on mukana läpi koko kinematiikan. Seuraavassa artikkelissa, Liike ja lepo, se asetetaan matkan vastapainoksi ja näytetään, miksi juoksija ei ole siirtynyt mihinkään kuljettuaan kokonaisen kierroksen kentän ympäri.