Skalarer og vektorer

»Udenfor er der 20 °C.« Mere behøver man ikke sige, alle ved, om de skal tage jakke på. Temperaturen beskrives af et tal og en enhed. Men prøv at vise nogen vej med sætningen »gå 100 m«. Straks spørger de: hvorhen? Ligeud, til venstre, tilbage? Hundrede meter mod nord fører dem til stationen, hundrede meter mod syd direkte ud i gadekæret. En sådan størrelse har ikke nok i et tal, vi har også brug for en retning.

Skalar eller vektor?

Størrelser, som et tal med en enhed beskriver fuldstændigt, kaldes skalarer. En skalar er temperatur, tid, masse eller strækning. Når du siger, at en taske har massen 5 kg, eller at en film varer 2 h, behøver du ikke tilføje mere. Massen peger hverken til venstre eller opad.

Størrelser, hvor retningen også er vigtig, kalder vi vektorer. En typisk vektor er kraften. Den, der nogensinde har flyttet et skab, ved, at det er noget andet at skubbe det ind mod væggen end væk fra væggen. Hastigheden er også en vektor: en bil, der kører 90 km/h mod Vejle, og en bil, der kører 90 km/h væk fra Vejle, har samme fart, og alligevel kører de hver sin vej.

En vektor kender vi på pilen over symbolet. Kraften som vektor skrives $\overrightarrow{F}$. Nogle gange er vi dog ikke interesserede i retningen og vil bare vide, hvor stor kraften er. Den del kalder vi vektorens størrelse, og vi skriver den enten med lodrette streger eller bare med symbolet uden pil:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Kraftens størrelse er en skalar, for eksempel F = 300 N. Newton N er enheden for kraft, mere om den behøver vi ikke foreløbig. Her bruger vi kraften især som et eksempel på en vektor.

Vektor som pil

En vektor tegner vi som en pil. Den peger i vektorens retning, og dens længde svarer til vektorens størrelse. For at kunne tegne pilen vælger vi en målestok, for eksempel at en centimeter på papiret betyder 100 N. En kraft på 300 N er så en pil på tre centimeter, en kraft på 50 N kun en halv centimeter lang.

På figuren ser vi tre røde pile. De har alle samme længde og retning, så de forestiller én og samme vektor $\overrightarrow{u}$, bare tegnet tre forskellige steder. En vektor er kun bestemt af størrelse og retning, det er ligegyldigt, hvor pilen starter. Vi må derfor flytte pilen frit, bare vi hverken drejer den eller gør den kortere eller længere. Det får vi straks brug for ved addition.

Den blå pil $\overrightarrow{w}$ er lige så lang som de røde, men peger et andet sted hen, så det er en anden vektor. De to vektorer har samme størrelse, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, og alligevel gælder $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Addition af vektorer

William forlader sin hytte og går 3 km mod øst. Derefter drejer han og går yderligere 4 km mod nord. Hvor langt er han fra hytten?

Vi tegner det. På figuren er nord opad, øst mod højre, og hver rude er en kilometer. Den orange prik er hytten, den røde pil er første stykke og den blå pil andet stykke.

Den blå pil starter ikke ved hytten, men i enden af den røde. William gik jo mod nord fra det sted, han var nået til mod øst. Sådan lægger man vektorer sammen: vi flytter den anden pil, så den starter i enden af den første. Summen er så den pil, der går fra begyndelsen af den første pil til enden af den anden. På figuren er den grøn og viser, hvor William endte. Animationen viser det trin for trin: Den blå pil udgår først fra samme sted som den røde, flytter sig så til dens ende, og først derefter dukker den grønne op.

Hvis vi i stedet lægger almindelige tal sammen, får vi 3 km + 4 km = 7 km. Syv kilometer har William virkelig gået, men så langt fra hytten er han ikke. Han gik en omvej, den grønne pil er en genvej, og derfor er den kortere end begge stykker tilsammen.

Hvor lang er den grønne pil? Den røde, den blå og den grønne danner sammen en retvinklet trekant, altså en trekant med én ret vinkel. De to sider, der danner den rette vinkel, kaldes kateter, og den tredje, den længste, over for den rette vinkel, er hypotenusen. For en retvinklet trekant gælder Pythagoras' sætning: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på kateterne. Kateterne er 3 km og 4 km, så for hypotenusen c gælder

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Vi kvadrerer. Enheden kvadreres også, kilometer gange kilometer er kvadratkilometer:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Og så uddrager vi kvadratroden:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

William er 5 km fra hytten. Pilen, der går fra det sted, hvor vi startede, til det sted, hvor vi sluttede, kaldes i fysik forskydningen. I modsætning til de tilbagelagte kilometer er den en vektor: Ud over de fem kilometer fortæller den også, i hvilken retning hytten ligger. Retningen vender vi tilbage til sidst i artiklen.

Summen kan vi skrive ligesom for tal, bare med pile. Når vi lægger to vektorer $\overrightarrow{u}$ og $\overrightarrow{w}$ sammen, får vi en ny vektor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Pas på, størrelsen af summen er generelt ikke summen af størrelserne. Kalder vi Williams første stykke $\overrightarrow{u}$ og andet stykke $\overrightarrow{w}$, er størrelsen af summen

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

mens summen af størrelserne er

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Parallelogramreglen

En hundeejer har to hunde i snor. Hver trækker sin vej, den ene med kraften ${\overrightarrow{F}}_1$, den anden med kraften ${\overrightarrow{F}}_2$, og begge kræfter virker på den hånd, som ejeren holder snorene i. Hvor trækker hundene ham hen tilsammen?

Kræfterne virker i samme punkt, så det er mest naturligt at tegne pilene fra et fælles udgangspunkt. Den resulterende kraft finder vi med parallelogramreglen. Fra enden af hver pil tegner vi en stiplet linje parallel med den anden pil. Så opstår et parallelogram, og dets diagonal fra det fælles punkt er den søgte sum $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Hvorfor virker det? Parallelogrammets højre stiplede side er lige så lang som den blå pil og parallel med den. Det er altså den blå pil ${\overrightarrow{F}}_2$, bare flyttet til enden af den røde ${\overrightarrow{F}}_1$. Det kender vi fra det forrige afsnit: Vi flyttede den anden pil til enden af den første. Begge fremgangsmåder, både parallelogrammet og pile sat efter hinanden, fører altid til det samme resultat. Pile efter hinanden passer til forløb, der sker efter hinanden (først mod øst, så mod nord), parallelogrammet til kræfter, der virker samtidig i samme punkt.

Den grønne pil viser, hvor hundene trækker ejeren hen. Den resulterende kraft kaldes også resultanten. Den resulterende kraft er mindre, end hvis begge trak i samme retning, fordi de trækker lidt forskelligt. Dens størrelse måler vi på figuren i målestokken. Beregne den kan vi foreløbig kun i to tilfælde: når kræfterne står vinkelret på hinanden, som Williams to stykker gjorde, eller når de ligger på én linje (det kommer lige nedenfor).

Vektorer på én linje

Det er nemmest at regne, når vektorerne ligger på én linje. To venner skubber en bil, der er brudt sammen. Den ene skubber med kraften 300 N, den anden med kraften 250 N, begge fremad. Vi lægger pilene efter hinanden og får en pil, hvis længde simpelthen er summen:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Den røde og den blå pil er de to venners kræfter, den grønne er den resulterende kraft.

En anden situation: tovtrækning. Det ene hold trækker mod højre med kraften 300 N, det andet mod venstre med kraften 250 N. Begge kræfter virker på knuden midt på touget og peger præcis mod hinanden. Pilene udgår fra knuden til hver sin side, og derfor er den resulterende kraft forskellen:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Det første holds kraft er på figuren rød, det andet holds blå og den resulterende kraft grøn. Den resulterende kraft på 50 N peger mod højre, mod det stærkere hold. Hvis begge hold trak lige hårdt, ville den resulterende kraft være nul, og kræfterne ville udligne hinanden. Kun når vektorerne peger i samme retning eller præcis modsat, kan deres størrelser lægges sammen og trækkes fra hinanden som almindelige tal.

Modsat vektor og multiplikation med et tal

En vektor, der har samme størrelse som $\overrightarrow{u}$, men peger præcis modsat, kaldes den modsatte vektor og skrives $-\overrightarrow{u}$. På figuren nedenfor er den blå. Lægger vi en vektors modsatte vektor til den, vender vi tilbage til det sted, vi gik fra, og får nulvektoren:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Sådan ender en tovtrækning mellem to lige stærke hold. Takket være den modsatte vektor kan man også trække fra: at trække $\overrightarrow{w}$ fra betyder at lægge $-\overrightarrow{w}$ til, altså $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

En vektor kan vi også gange med et tal. Den grønne vektor $2\overrightarrow{u}$ peger ligesom $\overrightarrow{u}$, men er dobbelt så lang. Det er det samme som $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, to ens pile efter hinanden. Når vi ganger med et negativt tal, vender vektoren desuden retning: Den orange vektor $-2\overrightarrow{u}$ er dobbelt så lang og peger modsat. Den modsatte vektor $-\overrightarrow{u}$ er i virkeligheden vektoren $\overrightarrow{u}$ ganget med tallet −1.

I fysik betyder det: Hvis vi fordobler en kraft og lader den virke i samme retning, får vi kraften $2\overrightarrow{F}$. Størrelsen fordobles, retningen bevares.

Sinus og cosinus

En skrå vektor kan man ofte med fordel opløse i to vinkelrette, for eksempel en vandret og en lodret. Til det må vi indføre to nye begreber, sinus og cosinus. Begge udgår fra en retvinklet trekant.

Trekanten på figuren har en ret vinkel i hjørnet C, og hypotenusen er den sorte side c. Vi ser på vinklen α i hjørnet A. Den røde katete a ligger over for den og kaldes derfor den modstående. Den blå katete b danner sammen med hypotenusen vinklen α og kaldes den hosliggende.

Sinus til vinklen α er forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen, cosinus er forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Hvad er sådan et forhold godt for? Forstør hele trekanten til det dobbelte. Alle sider bliver dobbelt så lange, men vinklerne forbliver de samme. Forholdet $\frac{a}{c}$ ændrer sig ikke, fordi både tæller og nævner bliver dobbelt så store. Sinus og cosinus afhænger derfor ikke af størrelsen af den tegnede trekant, men kun af vinklen α. En vinkel på 30° har altid den samme sinus, uanset om du tegner trekanten i dit hæfte eller på skolens sportsplads.

Hypotenusen er den længste side i en retvinklet trekant, så begge forhold bliver altid mindre end én. Sinus og cosinus til en spids vinkel overstiger aldrig ét.

Sinus og cosinus til en vilkårlig vinkel udregner lommeregneren, du finder knapperne sin og cos på den. Pas dog på, at lommeregneren regner i grader. Hvis du ikke kan se DEG på displayet, men RAD eller GRAD, regner den i andre vinkelenheder, og der kommer volapyk ud. Det er en af de hyppigste fejl i skriftlige prøver. På nettet kan du bruge sinusberegneren eller cosinusberegneren. Flere egenskaber ved begge funktioner finder du i artiklen Egenskaber ved sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Tre vinkler uden lommeregner

For vinklerne 30°, 45° og 60° kan vi finde sinus og cosinus uden lommeregner. Vi klarer os med en ligesidet trekant og et kvadrat.

Til venstre ser vi en ligesidet trekant med siden 2. Alle dens vinkler er 60°. Den stiplede højde deler den i to kongruente retvinklede trekanter. Den røde har hypotenusen 2, den nederste katete 1, fordi den er halvdelen af siden, og vinklerne 60° nederst og 30° øverst, fordi højden halverer den øverste vinkel. Højdens længde finder vi med Pythagoras' sætning: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Nu mangler vi bare at sætte ind i definitionerne. Over for vinklen 30° ligger kateten med længden 1, så

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

For vinklen 60° er det omvendt, over for den ligger højden $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Til højre er et kvadrat med siden 1, delt af en diagonal. Diagonalen halverer den rette vinkel, så den blå trekant har vinklen 45°, begge kateter med længden 1 og hypotenusen $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus og cosinus bliver ens:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Alt samlet:

Interessant er det, at sinus til 30° er cosinus til 60° og omvendt. Det er ikke tilfældigt: Den modstående katete til den ene spidse vinkel er den hosliggende katete til den anden.

Opløsning af en vektor i komposanter

Peter trækker sin lillesøster på en slæde. Han holder rebet i hånden, og derfor går det ikke vandret, men skråt opad og danner vinklen 30° med jorden. Peter trækker i det med kraften 100 N. Men slæden kører på jorden, ikke skråt op i luften. Hvor meget af den kraft går virkelig fremad?

Den skrå kraft $\overrightarrow{F}$ erstatter vi med to kræfter, en vandret og en lodret. Vi kalder dem komposanter og skriver dem ${\overrightarrow{F}}_x$ og ${\overrightarrow{F}}_y$ efter akserne x og y. Vi vælger dem, så deres sum er præcis lig med den oprindelige kraft:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

På figuren er den grønne kraft $\overrightarrow{F}$ og dens komposanter, den røde vandrette og den blå lodrette. Med stiplede linjer er et rektangel føjet til. Den højre stiplede side er den blå komposant flyttet til enden af den røde, så den røde og den blå pil efter hinanden virkelig giver den grønne. Det er parallelogramreglen omvendt: Dér lavede vi to kræfter til én, her laver vi én til to. Parallelogrammet er i dette tilfælde et rektangel, fordi komposanterne står vinkelret på hinanden.

Den røde komposant, den højre stiplede side og den grønne kraft danner en retvinklet trekant. Hypotenusen er kraften $\overrightarrow{F}$ med størrelsen F. Den vandrette komposant er den hosliggende katete til vinklen α, og den lodrette komposant er lige så lang som den modstående katete. Af definitionerne på sinus og cosinus gælder

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Begge ligninger ganger vi med kraftens størrelse F og får formlerne for komposanternes størrelser:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Vi sætter Peters værdier ind. Den vandrette komposant er

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

og den lodrette

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Fremad trækkes slæden kun med cirka 86,6 N af de hundrede. Den resterende lodrette komposant på 50 N letter slæden en smule, så den trykker mindre på sneen.

Læg mærke til, at 86,6 N + 50 N giver mere end 100 N. Det er ikke en fejl, komposanterne er vektorer og lægges ikke sammen som tal. Kun pile kan lægges sammen, efter hinanden, og de giver de oprindelige 100 N tilbage.

Og hvad nu, hvis Peter løfter rebet højere, til 60°? Så er

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Fremad ville han kun trække med halvdelen af kraften. Jo stejlere rebet går, desto mindre del af kraften går fremad, og desto mere letter den slæden.

Sammensætning af komposanter

Indtil nu har vi opløst kraften. Ofte har man brug for det modsatte: Vi kender to vinkelrette komposanter og vil have hele vektoren. Komposanterne er kateterne i en retvinklet trekant, og vektoren er dens hypotenuse, så størrelsen beregner vi med Pythagoras' sætning:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Vi kontrollerer det på slæden. Vi sætter komposanterne ind:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Vi kvadrerer:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Og uddrager kvadratroden:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Vi fik den oprindelige kraft. Den lille afvigelse under rodtegnet opstod, fordi vi rundede cosinus af til 0,866.

Nu kan vi vende tilbage til William og hans gåtur. Hans forskydning har komposanterne 3 km mod øst og 4 km mod nord, og størrelsen kender vi allerede, 5 km. Tilbage er retningen. Lad α være den vinkel, som den grønne pil danner med den røde, altså med retningen mod øst. Den nordlige komposant på 4 km ligger over for den, og hypotenusen er 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometerne gik ud med hinanden, sinus er et almindeligt tal uden enhed. Vinklen, hvis sinus er 0,8, finder lommeregneren med knappen sin⁻¹ (den sidder ofte over knappen sin, på nettet kan du bruge beregneren til arcus sinus):

$$\alpha \approx 53°$$

Williams forskydning er altså 5 km i en retning, der drejer 53° fra øst mod nord. Størrelse og retning, mere har en vektor ikke brug for. Hvis William ville tilbage ad den korteste vej, skulle han gå langs den modsatte vektor: 5 km i modsat retning, altså mod sydvest, lidt mere mod syd end mod vest.

Forskydningen følger os gennem hele kinematikken. I den næste artikel, Bevægelse og hvile, sætter vi den op imod strækningen og viser, hvorfor en løber efter en hel omgang rundt om banen faktisk ikke har flyttet sig.