Μονόμετρα και διανυσματικά μεγέθη

«Έξω έχει 20 °C.» Δεν χρειάζεται να προσθέσουμε τίποτα άλλο, ο καθένας ξέρει αν θα πάρει μπουφάν. Τη θερμοκρασία την περιγράφει ένας αριθμός και μια μονάδα. Δοκίμασε όμως να δώσεις σε κάποιον οδηγίες με τη φράση «πήγαινε 100 m». Αμέσως θα ρωτήσει: προς τα πού; Ευθεία, αριστερά, πίσω; Εκατό μέτρα προς βορρά θα τον φέρουν στον σταθμό, εκατό μέτρα προς νότο κατευθείαν στη λιμνούλα. Για ένα τέτοιο μέγεθος δεν αρκεί ο αριθμός, χρειαζόμαστε και κατεύθυνση.

Μονόμετρο ή διανυσματικό;

Τα μεγέθη που τα περιγράφει πλήρως ένας αριθμός με μονάδα λέγονται μονόμετρα. Μονόμετρο είναι η θερμοκρασία, ο χρόνος, η μάζα ή το διάστημα. Όταν πεις ότι η τσάντα έχει μάζα 5 kg ή ότι η ταινία διαρκεί 2 h, δεν χρειάζεται να προσθέσεις τίποτα άλλο. Η μάζα δεν δείχνει αριστερά ούτε πάνω.

Τα μεγέθη για τα οποία μετράει και η κατεύθυνση τα ονομάζουμε διανυσματικά. Τυπικό διανυσματικό μέγεθος είναι η δύναμη. Όποιος έχει μετακινήσει ποτέ μια ντουλάπα ξέρει ότι άλλο είναι να τη σπρώχνεις προς τον τοίχο και άλλο μακριά από αυτόν. Διανυσματικό μέγεθος είναι και η ταχύτητα: ένα αυτοκίνητο που κινείται με 90 km/h προς την Πάτρα και ένα που κινείται με 90 km/h από την Πάτρα έχουν ταχύτητα ίδιου μέτρου, κι όμως το καθένα πηγαίνει αλλού.

Ένα διανυσματικό μέγεθος το αναγνωρίζουμε από το βέλος πάνω από το σύμβολο. Η δύναμη ως διανυσματικό μέγεθος γράφεται $\overrightarrow{F}$. Κάποιες φορές όμως η κατεύθυνση δεν μας ενδιαφέρει και θέλουμε να ξέρουμε μόνο πόση είναι η δύναμη. Αυτό το μέρος το λέμε μέτρο του διανύσματος και το γράφουμε είτε με κατακόρυφες γραμμές είτε απλώς με το σύμβολο χωρίς βέλος:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Το μέτρο της δύναμης είναι μονόμετρο μέγεθος, για παράδειγμα F = 300 N. Το νιούτον N είναι η μονάδα της δύναμης, και προς το παρόν δεν θα χρειαστούμε περισσότερα για αυτό. Η δύναμη μάς χρησιμεύει εδώ κυρίως ως παράδειγμα διανύσματος.

Το διάνυσμα ως βέλος

Το διάνυσμα το σχεδιάζουμε ως βέλος. Δείχνει προς εκεί που δείχνει το διάνυσμα και το μήκος του αντιστοιχεί στο μέτρο του. Για να μπορέσουμε να σχεδιάσουμε το βέλος, διαλέγουμε μια κλίμακα, για παράδειγμα ότι ένα εκατοστό στο χαρτί σημαίνει 100 N. Η δύναμη 300 N είναι τότε ένα βέλος μήκους τριών εκατοστών, η δύναμη 50 N μόλις μισού εκατοστού.

Στην εικόνα βλέπουμε τρία κόκκινα βέλη. Όλα έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση, άρα παριστάνουν ένα και το ίδιο διάνυσμα $\overrightarrow{u}$, σχεδιασμένο απλώς σε τρία διαφορετικά σημεία. Το διάνυσμα καθορίζεται μόνο από το μέτρο και την κατεύθυνση, και δεν έχει σημασία από πού ξεκινά το βέλος. Το βέλος μπορούμε επομένως να το μετακινούμε ελεύθερα, αρκεί να μην το περιστρέψουμε ούτε να το κοντύνουμε ή να το μακρύνουμε. Αυτό θα μας χρειαστεί αμέσως στην πρόσθεση.

Το μπλε βέλος $\overrightarrow{w}$ έχει το ίδιο μήκος με τα κόκκινα, αλλά δείχνει αλλού, άρα πρόκειται για άλλο διάνυσμα. Τα δύο διανύσματα έχουν το ίδιο μέτρο, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, και παρ' όλα αυτά ισχύει $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Πρόσθεση διανυσμάτων

Ο Πέτρος ξεκινά από το εξοχικό και περπατά 3 km προς ανατολάς. Μετά στρίβει και περπατά ακόμη 4 km προς βορρά. Πόσο μακριά είναι από το εξοχικό;

Ας το σχεδιάσουμε. Στην εικόνα ο βορράς είναι πάνω, η ανατολή δεξιά και κάθε τετραγωνάκι είναι ένα χιλιόμετρο. Η πορτοκαλί τελεία είναι το εξοχικό, το κόκκινο βέλος είναι το πρώτο τμήμα και το μπλε βέλος το δεύτερο.

Το μπλε βέλος δεν ξεκινά από το εξοχικό, αλλά από το τέλος του κόκκινου. Ο Πέτρος ξεκίνησε προς βορρά από το σημείο όπου είχε φτάσει πηγαίνοντας προς ανατολάς. Έτσι προσθέτουμε διανύσματα: μετακινούμε το δεύτερο βέλος, ώστε να αρχίζει στο τέλος του πρώτου. Το άθροισμα είναι τότε το βέλος που πηγαίνει από την αρχή του πρώτου βέλους ως το τέλος του δεύτερου. Στην εικόνα είναι το πράσινο και δείχνει πού κατέληξε ο Πέτρος. Η κινούμενη εικόνα το δείχνει σταδιακά: το μπλε βέλος ξεκινά πρώτα από το ίδιο σημείο με το κόκκινο, μετά μετακινείται στο τέλος του και μόνο τότε εμφανίζεται το πράσινο.

Αν αντί για διανύσματα προσθέσουμε απλούς αριθμούς, βρίσκουμε 3 km + 4 km = 7 km. Επτά χιλιόμετρα ο Πέτρος περπάτησε πράγματι, μόνο που δεν απέχει τόσο από το εξοχικό. Πήρε τον μεγάλο γύρο, το πράσινο βέλος είναι ο σύντομος δρόμος, και γι' αυτό είναι πιο κοντό από τις δύο διαδρομές μαζί.

Πόσο είναι το μήκος του πράσινου βέλους; Το κόκκινο, το μπλε και το πράσινο σχηματίζουν μαζί ένα ορθογώνιο τρίγωνο, δηλαδή ένα τρίγωνο που έχει μία γωνία ορθή. Οι δύο πλευρές που σχηματίζουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές, και η τρίτη, η μεγαλύτερη, απέναντι από την ορθή γωνία, είναι η υποτείνουσα. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα: το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών. Οι κάθετες πλευρές έχουν μήκος 3 km και 4 km, άρα για την υποτείνουσα c ισχύει

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Υψώνουμε στο τετράγωνο. Στο τετράγωνο υψώνεται και η μονάδα, χιλιόμετρο επί χιλιόμετρο είναι τετραγωνικό χιλιόμετρο:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Ο Πέτρος απέχει από το εξοχικό 5 km. Το βέλος που πηγαίνει από το σημείο όπου ξεκινήσαμε ως το σημείο όπου καταλήξαμε λέγεται στη φυσική μετατόπιση. Σε αντίθεση με τα χιλιόμετρα που περπατήθηκαν, είναι διανυσματικό μέγεθος: εκτός από τα πέντε χιλιόμετρα, λέει και προς ποια κατεύθυνση βρίσκεται το εξοχικό. Στην κατεύθυνση θα επανέλθουμε στο τέλος του άρθρου.

Το άθροισμα μπορούμε να το γράψουμε όπως και στους αριθμούς, μόνο με βέλη. Όταν προσθέσουμε δύο διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{w}$, παίρνουμε ένα νέο διάνυσμα $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Προσοχή, το μέτρο του αθροίσματος γενικά δεν είναι το άθροισμα των μέτρων. Αν ονομάσουμε το πρώτο τμήμα του Πέτρου $\overrightarrow{u}$ και το δεύτερο $\overrightarrow{w}$, το μέτρο του αθροίσματος είναι

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

ενώ το άθροισμα των μέτρων είναι

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Κανόνας του παραλληλογράμμου

Κάποιος κρατάει με λουριά δύο σκυλιά. Το καθένα τραβάει προς άλλη μεριά, το ένα με δύναμη ${\overrightarrow{F}}_1$, το άλλο με δύναμη ${\overrightarrow{F}}_2$, και οι δύο δυνάμεις ασκούνται στο χέρι στο οποίο κρατάει τα λουριά. Προς τα πού τον τραβάνε τα σκυλιά μαζί;

Οι δυνάμεις ασκούνται στο ίδιο σημείο, γι' αυτό τα βέλη σχεδιάζονται πιο φυσικά από κοινή αρχή. Τη συνισταμένη δύναμη τη βρίσκουμε με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Από το τέλος κάθε βέλους φέρνουμε με διακεκομμένη γραμμή παράλληλη προς το άλλο. Έτσι προκύπτει ένα παραλληλόγραμμο, και η διαγώνιός του που ξεκινά από το κοινό σημείο είναι το άθροισμα που ψάχνουμε, $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Γιατί λειτουργεί; Η δεξιά διακεκομμένη πλευρά του παραλληλογράμμου έχει το ίδιο μήκος με το μπλε βέλος και είναι παράλληλη προς αυτό. Είναι λοιπόν το μπλε βέλος ${\overrightarrow{F}}_2$, απλώς μετακινημένο στο τέλος του κόκκινου ${\overrightarrow{F}}_1$. Αυτό το γνωρίζουμε ήδη από το προηγούμενο μέρος: μετακινήσαμε το δεύτερο βέλος στο τέλος του πρώτου. Και οι δύο τρόποι, το παραλληλόγραμμο και η σύνδεση των βελών το ένα μετά το άλλο, οδηγούν πάντα στο ίδιο αποτέλεσμα. Τα βέλη το ένα μετά το άλλο ταιριάζουν σε ό,τι γίνεται διαδοχικά (πρώτα προς ανατολάς, μετά προς βορρά), το παραλληλόγραμμο σε δυνάμεις που ασκούνται ταυτόχρονα στο ίδιο σημείο.

Το πράσινο βέλος δείχνει προς τα πού τον τραβάνε τα σκυλιά. Η συνολική δύναμη λέγεται και συνισταμένη. Επειδή το καθένα τραβάει λίγο αλλού, η συνισταμένη δύναμη είναι μικρότερη απ' ό,τι αν τραβούσαν και τα δύο προς την ίδια κατεύθυνση. Το μέτρο της το μετράμε στην εικόνα με την κλίμακα. Προς το παρόν μπορούμε να το υπολογίσουμε μόνο σε δύο περιπτώσεις: όταν οι δυνάμεις είναι κάθετες μεταξύ τους, όπως ήταν τα δύο τμήματα του Πέτρου, ή όταν βρίσκονται στην ίδια ευθεία (αυτό είναι αμέσως παρακάτω).

Διανύσματα στην ίδια ευθεία

Πιο εύκολα υπολογίζουμε όταν τα διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Δύο φίλοι σπρώχνουν ένα χαλασμένο αυτοκίνητο. Ο ένας σπρώχνει με δύναμη 300 N, ο άλλος με δύναμη 250 N, και οι δύο προς τα εμπρός. Βάζουμε τα βέλη το ένα μετά το άλλο και προκύπτει ένα βέλος με μήκος απλώς το άθροισμα:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Το κόκκινο και το μπλε βέλος είναι οι δυνάμεις των δύο φίλων, το πράσινο είναι η συνισταμένη δύναμη.

Άλλη περίπτωση: διελκυστίνδα με σχοινί. Η μία ομάδα τραβάει προς τα δεξιά με δύναμη 300 N, η άλλη προς τα αριστερά με δύναμη 250 N. Και οι δύο δυνάμεις ασκούνται στον κόμπο στη μέση του σχοινιού και δείχνουν ακριβώς αντίθετα. Τα βέλη ξεκινούν από τον κόμπο προς αντίθετες πλευρές, και γι' αυτό η συνισταμένη δύναμη είναι η διαφορά:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Η δύναμη της πρώτης ομάδας είναι στην εικόνα κόκκινη, της δεύτερης μπλε και η συνισταμένη δύναμη πράσινη. Η συνισταμένη 50 N δείχνει προς τα δεξιά, προς την πλευρά της ισχυρότερης ομάδας. Αν οι δύο ομάδες τραβούσαν εξίσου δυνατά, η συνισταμένη δύναμη θα ήταν μηδέν και οι δυνάμεις θα εξισορροπούνταν. Μόνο όταν τα διανύσματα δείχνουν προς την ίδια ή ακριβώς προς την αντίθετη κατεύθυνση, τα μέτρα τους προστίθενται και αφαιρούνται σαν απλοί αριθμοί.

Αντίθετο διάνυσμα και πολλαπλασιασμός με αριθμό

Το διάνυσμα που έχει το ίδιο μέτρο με το $\overrightarrow{u}$, αλλά δείχνει ακριβώς αντίθετα, λέγεται αντίθετο διάνυσμα και γράφεται $-\overrightarrow{u}$. Στην εικόνα παρακάτω είναι μπλε. Αν προσθέσουμε στο διάνυσμα το αντίθετό του, γυρίζουμε εκεί από όπου ξεκινήσαμε και παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Έτσι καταλήγει η διελκυστίνδα δύο εξίσου δυνατών ομάδων. Χάρη στο αντίθετο διάνυσμα μπορούμε και να αφαιρούμε: το να αφαιρέσουμε το $\overrightarrow{w}$ σημαίνει να προσθέσουμε το $-\overrightarrow{w}$, δηλαδή $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Ένα διάνυσμα μπορούμε και να το πολλαπλασιάσουμε με αριθμό. Το πράσινο διάνυσμα $2\overrightarrow{u}$ δείχνει όπως το $\overrightarrow{u}$, αλλά είναι διπλάσιο σε μήκος. Είναι το ίδιο με το $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, δύο ίδια βέλη το ένα μετά το άλλο. Όταν πολλαπλασιάζουμε με αρνητικό αριθμό, το διάνυσμα αλλάζει επιπλέον φορά: το πορτοκαλί διάνυσμα $-2\overrightarrow{u}$ είναι διπλάσιο σε μήκος και δείχνει αντίθετα. Το αντίθετο διάνυσμα $-\overrightarrow{u}$ είναι στην πραγματικότητα το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό −1.

Στη φυσική αυτό σημαίνει: αν διπλασιάσουμε μια δύναμη και την αφήσουμε να ασκείται προς την ίδια κατεύθυνση, παίρνουμε τη δύναμη $2\overrightarrow{F}$. Το μέτρο διπλασιάζεται, η κατεύθυνση μένει.

Ημίτονο και συνημίτονο

Ένα πλάγιο διάνυσμα συχνά συμφέρει να το αναλύσουμε σε δύο κάθετα, για παράδειγμα ένα οριζόντιο και ένα κατακόρυφο. Γι' αυτό πρέπει να εισαγάγουμε δύο νέες έννοιες, το ημίτονο και το συνημίτονο. Και οι δύο προκύπτουν από το ορθογώνιο τρίγωνο.

Το τρίγωνο της εικόνας έχει ορθή γωνία στην κορυφή C και υποτείνουσα τη μαύρη πλευρά c. Κοιτάμε τη γωνία α στην κορυφή A. Η κόκκινη κάθετη πλευρά a βρίσκεται απέναντί της, γι' αυτό λέγεται απέναντι. Η μπλε κάθετη πλευρά b σχηματίζει μαζί με την υποτείνουσα τη γωνία α και λέγεται προσκείμενη.

Ημίτονο της γωνίας α είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, συνημίτονο είναι ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{a}{c},\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha =\frac{b}{c}$$

Σε τι χρησιμεύει ένας τέτοιος λόγος; Μεγέθυνε ολόκληρο το τρίγωνο δύο φορές. Όλες οι πλευρές θα γίνουν διπλάσιες, αλλά οι γωνίες θα μείνουν ίδιες. Ο λόγος $\frac{a}{c}$ δεν αλλάζει, επειδή διπλασιάζονται και ο αριθμητής και ο παρονομαστής. Το ημίτονο και το συνημίτονο δεν εξαρτώνται λοιπόν από το μέγεθος του τριγώνου που σχεδιάσαμε, αλλά μόνο από το μέγεθος της γωνίας α. Η γωνία 30° έχει πάντα το ίδιο ημίτονο, είτε σχεδιάζεις το τρίγωνο στο τετράδιο είτε στο γήπεδο του σχολείου.

Η υποτείνουσα είναι στο ορθογώνιο τρίγωνο η μεγαλύτερη πλευρά, άρα και οι δύο λόγοι βγαίνουν πάντα μικρότεροι από ένα. Ούτε το ημίτονο ούτε το συνημίτονο οξείας γωνίας ξεπερνά ποτέ το ένα.

Το ημίτονο και το συνημίτονο οποιασδήποτε γωνίας τα υπολογίζει το κομπιουτεράκι, όπου θα βρεις τα πλήκτρα sin και cos. Πρόσεξε όμως να υπολογίζει σε μοίρες. Αν στην οθόνη δεν βλέπεις DEG, αλλά RAD ή GRAD, υπολογίζει σε άλλες μονάδες γωνίας και βγαίνουν ανοησίες. Είναι ένα από τα πιο συχνά λάθη στα διαγωνίσματα. Στον ιστότοπο μπορείς να χρησιμοποιήσεις την αριθμομηχανή ημιτόνου ή του συνημιτόνου, και άλλες ιδιότητες των δύο συναρτήσεων θα βρεις στο άρθρο Ιδιότητες ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

Τρεις γωνίες χωρίς κομπιουτεράκι

Για τις γωνίες 30°, 45° και 60° το ημίτονο και το συνημίτονο τα υπολογίζουμε και χωρίς κομπιουτεράκι. Μας αρκούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο.

Αριστερά βλέπουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 2. Όλες οι γωνίες του έχουν 60°. Το διακεκομμένο ύψος το χωρίζει σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. Το κόκκινο έχει υποτείνουσα 2, κάτω κάθετη πλευρά 1, επειδή είναι το μισό της πλευράς, και γωνίες 60° κάτω και 30° πάνω, επειδή το ύψος διχοτομεί την πάνω γωνία. Το μήκος του ύψους το βρίσκουμε από το Πυθαγόρειο θεώρημα: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Μένει να αντικαταστήσουμε στους ορισμούς. Απέναντι από τη γωνία 30° βρίσκεται η κάθετη πλευρά 1, άρα

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }30°=\frac{1}{2},\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Στη γωνία 60° συμβαίνει το αντίστροφο, απέναντί της βρίσκεται το ύψος $\sqrt{3}$:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }60°=\frac{1}{2}.$$

Δεξιά είναι ένα τετράγωνο με πλευρά 1, χωρισμένο με τη διαγώνιο. Η διαγώνιος διχοτομεί την ορθή γωνία, άρα το μπλε τρίγωνο έχει γωνία 45°, και τις δύο κάθετες πλευρές μήκους 1 και υποτείνουσα $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Το ημίτονο και το συνημίτονο βγαίνουν ίσα:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }45°=\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Όλα μαζί:

Είναι ενδιαφέρον ότι το ημίτονο των 30° είναι το συνημίτονο των 60° και αντίστροφα. Δεν είναι τυχαίο: η απέναντι κάθετη πλευρά της μίας οξείας γωνίας είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της άλλης.

Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες

Ο Τάκης σέρνει τη μικρή του αδερφή πάνω σε ένα έλκηθρο. Κρατάει το σκοινί στο χέρι, και έτσι δεν είναι οριζόντιο, αλλά πάει πλάγια προς τα πάνω και σχηματίζει με το έδαφος γωνία 30°. Ο Τάκης το τραβάει με δύναμη 100 N. Το έλκηθρο όμως κινείται πάνω στο έδαφος, όχι πλάγια στον αέρα. Πόση από αυτή τη δύναμη πηγαίνει πραγματικά προς τα εμπρός;

Την πλάγια δύναμη $\overrightarrow{F}$ την αντικαθιστούμε με ένα ζεύγος δυνάμεων, μια οριζόντια και μια κατακόρυφη. Τις λέμε συνιστώσες και τις συμβολίζουμε ${\overrightarrow{F}}_x$ και ${\overrightarrow{F}}_y$ ανάλογα με τους άξονες x και y. Τις επιλέγουμε έτσι, ώστε το άθροισμά τους να ισούται ακριβώς με την αρχική δύναμη:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Στην εικόνα βλέπουμε την πράσινη δύναμη $\overrightarrow{F}$ και τις συνιστώσες της, την κόκκινη οριζόντια και την μπλε κατακόρυφη. Με διακεκομμένες γραμμές έχει συμπληρωθεί ένα ορθογώνιο. Η δεξιά διακεκομμένη πλευρά είναι η μπλε συνιστώσα μετακινημένη στο τέλος της κόκκινης, άρα το κόκκινο και το μπλε βέλος το ένα μετά το άλλο δίνουν πράγματι το πράσινο. Είναι ο κανόνας του παραλληλογράμμου αντίστροφα: εκεί από δύο δυνάμεις φτιάχναμε μία, εδώ από μία φτιάχνουμε δύο. Το παραλληλόγραμμο είναι σε αυτή την περίπτωση ορθογώνιο, επειδή οι συνιστώσες είναι κάθετες μεταξύ τους.

Η κόκκινη συνιστώσα, η δεξιά διακεκομμένη πλευρά και η πράσινη δύναμη σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Υποτείνουσα είναι η δύναμη $\overrightarrow{F}$ με μέτρο F. Η οριζόντια συνιστώσα είναι η προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας α και η κατακόρυφη συνιστώσα έχει το ίδιο μήκος με την απέναντι κάθετη πλευρά. Από τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου ισχύει

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha =\frac{F_x}{F},\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο εξισώσεις με το μέτρο της δύναμης F και βρίσκουμε τους τύπους για τα μέτρα των συνιστωσών:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha \\ F_y& =F\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \end{array}$$

Αντικαθιστούμε τις τιμές του Τάκη. Η οριζόντια συνιστώσα είναι

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

και η κατακόρυφη

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Προς τα εμπρός τραβάει το έλκηθρο μόνο περίπου 86,6 N από τα εκατό. Η υπόλοιπη κατακόρυφη συνιστώσα 50 N ανασηκώνει λίγο το έλκηθρο, έτσι πιέζει λιγότερο το χιόνι.

Πρόσεξε ότι το 86,6 N + 50 N δίνει περισσότερο από 100 N. Δεν είναι λάθος, οι συνιστώσες είναι διανύσματα και δεν προστίθενται σαν αριθμοί. Προστίθενται μόνο τα βέλη, το ένα μετά το άλλο, και αυτά δίνουν πάλι τα αρχικά 100 N.

Και αν ο Τάκης σηκώσει το σκοινί ψηλότερα, στις 60°; Τότε

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Προς τα εμπρός θα τραβούσε μόνο με το μισό της δύναμης. Όσο πιο απότομη κλίση έχει το σκοινί, τόσο μικρότερο μέρος της δύναμης πηγαίνει προς τα εμπρός και τόσο περισσότερο ανασηκώνει το έλκηθρο.

Σύνθεση συνιστωσών

Μέχρι τώρα αναλύαμε τη δύναμη. Συχνά χρειάζεται το αντίστροφο: γνωρίζουμε δύο κάθετες συνιστώσες και θέλουμε ολόκληρο το διάνυσμα. Οι συνιστώσες είναι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου και το διάνυσμα η υποτείνουσά του, άρα το μέτρο το υπολογίζουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Θα το ελέγξουμε στο έλκηθρο. Αντικαθιστούμε τις συνιστώσες:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Υψώνουμε στο τετράγωνο:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Βρήκαμε την αρχική δύναμη. Η μικρή απόκλιση κάτω από τη ρίζα προέκυψε επειδή στρογγυλοποιήσαμε το συνημίτονο σε 0,866.

Τώρα μπορούμε να επιστρέψουμε στον Πέτρο και τη βόλτα του. Η μετατόπισή του έχει συνιστώσες 3 km προς ανατολάς και 4 km προς βορρά και το μέτρο της το ξέρουμε ήδη, 5 km. Μένει η κατεύθυνση. Ονομάζουμε α τη γωνία που σχηματίζει το πράσινο βέλος με το κόκκινο, δηλαδή με την κατεύθυνση προς ανατολάς. Η βόρεια συνιστώσα 4 km βρίσκεται απέναντί της και η υποτείνουσα έχει μήκος 5 km:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Τα χιλιόμετρα απλοποιήθηκαν, το ημίτονο είναι ένας απλός αριθμός χωρίς μονάδα. Τη γωνία της οποίας το ημίτονο είναι 0,8 τη βρίσκει το κομπιουτεράκι με το πλήκτρο sin⁻¹ (συνήθως βρίσκεται πάνω από το πλήκτρο sin, και στον ιστότοπο μπορείς να χρησιμοποιήσεις την αριθμομηχανή τόξου ημιτόνου):

$$\alpha \approx 53°$$

Η μετατόπιση του Πέτρου είναι λοιπόν 5 km προς κατεύθυνση που αποκλίνει από την ανατολή κατά 53° προς βορρά. Μέτρο και κατεύθυνση, περισσότερα δεν χρειάζεται ένα διάνυσμα. Αν ο Πέτρος ήθελε να γυρίσει από τον συντομότερο δρόμο, θα ακολουθούσε το αντίθετο διάνυσμα: 5 km προς την αντίθετη κατεύθυνση, δηλαδή προς νοτιοδυτικά, λίγο περισσότερο προς νότο παρά προς δυσμάς.

Η μετατόπιση θα μας συνοδεύει σε όλη την κινηματική. Στο επόμενο άρθρο, Κίνηση και ηρεμία, θα την αντιπαραβάλουμε με το διάστημα και θα δείξουμε γιατί μια αθλήτρια, μετά από ολόκληρο γύρο του γηπέδου, δεν έχει στην πραγματικότητα μετατοπιστεί πουθενά.