Skalarer og vektorer

«Det er 20 °C ute.» Mer trenger du ikke si, alle vet om de skal ta på seg jakke. Temperaturen beskrives av et tall og en enhet. Men prøv å forklare noen veien med setningen «gå 100 m». Han spør straks: hvor da? Rett fram, til venstre, tilbake? Hundre meter mot nord tar ham til stasjonen, hundre meter mot sør rett uti tjernet. For en slik størrelse er ikke et tall nok, vi trenger også en retning.

Skalar eller vektor?

Størrelser som et tall med enhet beskriver fullstendig, kalles skalarer. Temperatur, tid, masse og strekning er skalarer. Når du sier at en pose har massen 5 kg eller at en film varer 2 h, trenger du ikke legge til noe mer. Masse peker verken til venstre eller oppover.

Størrelser der også retningen har noe å si, kaller vi vektorer. Kraft er et typisk eksempel på en vektor. Den som noen gang har flyttet et skap, vet at det er noe annet å skyve det mot veggen enn bort fra veggen. Hastighet er også en vektor: en bil som kjører 90 km/h mot Brno, og en bil som kjører 90 km/h fra Brno, har like stor fart, og likevel kjører de hver sin vei.

En vektor kjenner vi igjen på pilen over symbolet. Kraft som vektor skrives $\overrightarrow{F}$. Noen ganger er vi imidlertid ikke interessert i retningen, men vil bare vite hvor stor kraften er. Den delen kaller vi lengden av vektoren, og vi skriver den enten med loddrette streker eller bare med symbolet uten pil:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Størrelsen av kraften er en skalar, for eksempel F = 300 N. Newton N er enheten for kraft, mer om den trenger vi ikke foreløpig. Kraft bruker vi her først og fremst som eksempel på en vektor.

Vektor som pil

En vektor tegner vi som en pil. Den peker i samme retning som vektoren, og lengden svarer til størrelsen. For å kunne tegne pilen velger vi en målestokk, for eksempel at én centimeter på papiret betyr 100 N. En kraft på 300 N er da en pil på tre centimeter, en kraft på 50 N bare en halv centimeter lang.

På bildet ser vi tre røde piler. Alle har samme lengde og retning, så de representerer én og samme vektor $\overrightarrow{u}$, bare tegnet på tre ulike steder. En vektor er bestemt bare av lengde og retning, og det spiller ingen rolle hvor pilen starter. Vi kan derfor flytte pilen fritt, bare ikke dreie den eller gjøre den kortere eller lengre. Det kommer straks til nytte ved addisjon.

Den blå pilen $\overrightarrow{w}$ er like lang som de røde, men peker et annet sted, så det er en annen vektor. Begge vektorene har samme lengde, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, og likevel gjelder $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Addisjon av vektorer

Per går fra hytta og tilbakelegger 3 km mot øst. Så svinger han av og går ytterligere 4 km mot nord. Hvor langt fra hytta er han?

Vi tegner det. På bildet er nord oppover, øst mot høyre, og én rute måler en kilometer. Den oransje prikken er hytta, den røde pilen er første etappe og den blå pilen andre.

Den blå pilen starter ikke ved hytta, men ved enden av den røde. Per gikk jo mot nord fra stedet han kom til etter å ha gått mot øst. Slik adderes vektorer: vi flytter den andre pilen slik at den begynner der den første slutter. Summen er da pilen som går fra starten av den første pilen til enden av den andre. På bildet er den grønn og viser hvor Per havnet. Animasjonen viser det steg for steg: den blå pilen starter først på samme sted som den røde, flyttes så til enden av den, og først deretter kommer den grønne til syne.

Hvis vi i stedet legger sammen vanlige tall, får vi 3 km + 4 km = 7 km. Sju kilometer har Per virkelig gått, men så langt fra hytta er han ikke. Han gikk en omvei, den grønne pilen er snarveien, og derfor er den kortere enn begge etappene til sammen.

Hvor lang er den grønne pilen? Den røde, den blå og den grønne danner sammen en rettvinklet trekant, altså en trekant med én rett vinkel. De to sidene som danner den rette vinkelen, heter kateter, og den tredje, lengste, som ligger overfor den rette vinkelen, er hypotenusen. For en rettvinklet trekant gjelder Pytagoras' setning: kvadratet av hypotenusen er lik summen av kvadratene av katetene. Katetene måler 3 km og 4 km, så for hypotenusen c gjelder

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Vi kvadrerer. Enheten kvadreres også, kilometer ganger kilometer er kvadratkilometer:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Og tar kvadratroten:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Per er 5 km fra hytta. Pilen som går fra stedet vi startet til stedet vi endte, kalles i fysikk forflytning. I motsetning til de tilbakelagte kilometerne er det en vektor: i tillegg til fem kilometer sier den også i hvilken retning hytta ligger. Til retningen kommer vi tilbake på slutten av artikkelen.

Summen kan vi skrive på samme måte som for tall, bare med piler. Når vi adderer to vektorer $\overrightarrow{u}$ og $\overrightarrow{w}$, får vi en ny vektor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Pass på, lengden av summen er generelt ikke summen av lengdene. Kaller vi Pers første etappe $\overrightarrow{u}$ og den andre $\overrightarrow{w}$, er lengden av summen

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

mens summen av lengdene er

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Parallellogrammetoden

En hundeeier har to hunder i bånd. Hver trekker hver sin vei, den ene med kraften ${\overrightarrow{F}}_1$, den andre med kraften ${\overrightarrow{F}}_2$, og begge kreftene virker på hånden som holder båndene. Hvor trekker hundene eieren til sammen?

Kreftene virker i samme punkt, derfor tegner vi pilene mest naturlig fra et felles startpunkt. Den resulterende kraften finner vi med parallellogrammetoden. Fra enden av hver pil trekker vi en stiplet linje parallelt med den andre. Slik oppstår et parallellogram, og diagonalen som går ut fra det felles punktet, er summen vi leter etter, $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Hvorfor virker det? Den høyre stiplede siden i parallellogrammet er like lang som den blå pilen og parallell med den. Det er altså den blå pilen ${\overrightarrow{F}}_2$, bare flyttet til enden av den røde ${\overrightarrow{F}}_1$. Det kjenner vi fra forrige avsnitt: vi flyttet den andre pilen til enden av den første. Begge framgangsmåtene, parallellogrammet og piler etter hverandre, gir alltid samme resultat. Piler etter hverandre passer for hendelser som skjer etter hverandre (først mot øst, så mot nord), parallellogrammet for krefter som virker samtidig i samme punkt.

Den grønne pilen viser hvor hundene trekker eieren. Den resulterende kraften kalles også resultant. Fordi hver trekker litt hver sin vei, er den resulterende kraften mindre enn om begge hadde trukket i samme retning. Lengden finner vi ved å måle på bildet i målestokk. Regne den ut kan vi foreløpig bare i to tilfeller: når kreftene står vinkelrett på hverandre, som Pers to etapper gjorde, eller når de ligger på én linje (det kommer straks).

Vektorer på én linje

Enklest er det å regne når vektorene ligger på én linje. To venner skyver en bil som har stoppet. Den ene skyver med kraften 300 N, den andre med kraften 250 N, begge framover. Vi legger pilene etter hverandre, og får en pil hvis lengde rett og slett er summen:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Den røde og den blå pilen er kreftene fra de to vennene, den grønne er den resulterende kraften.

En annen situasjon: tautrekking. Det ene laget trekker mot høyre med kraften 300 N, det andre mot venstre med kraften 250 N. Begge kreftene virker på knuten midt på tauet og peker nøyaktig mot hverandre. Pilene går ut fra knuten til hver sin side, og derfor er den resulterende kraften differansen:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Kraften fra det første laget er rød på bildet, fra det andre blå og den resulterende kraften grønn. Den resulterende kraften på 50 N peker mot høyre, til siden der laget er sterkest. Hvis begge lagene trakk like hardt, ville den resulterende kraften vært null, og kreftene ville ha utlignet hverandre. Bare når vektorene peker i samme eller nøyaktig motsatt retning, adderes og subtraheres lengdene deres som vanlige tall.

Motsatt vektor og multiplikasjon med et tall

En vektor som har samme lengde som $\overrightarrow{u}$, men peker rett motsatt, kalles motsatt vektor og skrives $-\overrightarrow{u}$. På bildet under er den blå. Legger vi den motsatte vektoren til en vektor, kommer vi tilbake dit vi startet, og får nullvektoren:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Slik ender tautrekkingen mellom to like sterke lag. Takket være den motsatte vektoren kan vi også subtrahere: å trekke fra $\overrightarrow{w}$ betyr å legge til $-\overrightarrow{w}$, altså $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

En vektor kan vi også multiplisere med et tall. Den grønne vektoren $2\overrightarrow{u}$ peker som $\overrightarrow{u}$, men er dobbelt så lang. Det er det samme som $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, to like piler etter hverandre. Når vi multipliserer med et negativt tall, snur vektoren dessuten retning: den oransje vektoren $-2\overrightarrow{u}$ er dobbelt så lang og peker motsatt vei. Den motsatte vektoren $-\overrightarrow{u}$ er egentlig vektoren $\overrightarrow{u}$ multiplisert med tallet −1.

I fysikk betyr det: hvis vi dobler en kraft og lar den virke i samme retning, får vi kraften $2\overrightarrow{F}$. Størrelsen dobles, retningen blir den samme.

Sinus og cosinus

En skrå vektor lønner det seg ofte å splitte i to vinkelrette, for eksempel en vannrett og en loddrett. Til det må vi innføre to nye begreper, sinus og cosinus. Begge tar utgangspunkt i den rettvinklede trekanten.

Trekanten på bildet har rett vinkel i hjørnet C, hypotenusen er den svarte siden c. Vi ser på vinkelen α i hjørnet A. Den røde kateten a ligger overfor den, derfor kalles den den motstående kateten. Den blå kateten b danner vinkelen α sammen med hypotenusen, og kalles den hosliggende kateten.

Sinus til vinkelen α er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen, cosinus er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Hva er et slikt forhold godt for? Forstørr hele trekanten to ganger. Alle sidene blir dobbelt så lange, men vinklene forblir de samme. Forholdet $\frac{a}{c}$ endrer seg ikke, fordi både teller og nevner blir dobbelt så store. Sinus og cosinus avhenger derfor ikke av hvor stor trekanten vi har tegnet, bare av størrelsen på vinkelen α. Vinkelen 30° har alltid den samme sinusverdien, enten du tegner trekanten i skriveboka eller i skolegården.

Hypotenusen er den lengste siden i en rettvinklet trekant, så begge forholdene blir alltid mindre enn én. Sinus og cosinus til en spiss vinkel overskrider aldri én.

Sinus og cosinus til en vilkårlig vinkel regner kalkulatoren ut, du finner knappene sin og cos på den. Pass imidlertid på at kalkulatoren regner i grader. Hvis du ikke ser DEG på displayet, men RAD eller GRAD, regner den med andre vinkelenheter, og du får tull. Det er en av de vanligste feilene i prøver. På nettsiden kan du bruke kalkulatoren for sinus eller cosinus. Flere egenskaper ved begge funksjonene finner du i artikkelen Egenskaper ved sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Tre vinkler uten kalkulator

For vinklene 30°, 45° og 60° kan vi regne ut sinus og cosinus også uten kalkulator. Vi klarer oss med en likesidet trekant og et kvadrat.

Til venstre ser vi en likesidet trekant med side 2. Alle vinklene er 60°. Den stiplede høyden deler den i to kongruente rettvinklede trekanter. Den røde har hypotenus 2, nedre katet 1, fordi det er halve siden, og vinkler på 60° nede og 30° oppe, fordi høyden halverer den øverste vinkelen. Lengden av høyden finner vi med Pytagoras' setning: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Det gjenstår å sette inn i definisjonene. Overfor vinkelen 30° ligger kateten 1, så

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

For vinkelen 60° er det omvendt, overfor den ligger høyden $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Til høyre er et kvadrat med side 1, delt av en diagonal. Diagonalen halverer den rette vinkelen, så den blå trekanten har vinkelen 45°, begge katetene med lengde 1 og hypotenusen $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus og cosinus blir like:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Alt samlet:

Interessant nok er sinus til 30° lik cosinus til 60° og omvendt. Det er ingen tilfeldighet: den motstående kateten til én spiss vinkel er den hosliggende kateten til den andre.

Splitting av en vektor i komponenter

Petter drar lillesøsteren sin på en kjelke. Han holder i tauet, og det går derfor ikke vannrett, men skrått oppover og danner vinkelen 30° med bakken. Petter drar i det med kraften 100 N. Men kjelken går langs bakken, ikke skrått opp i lufta. Hvor mye av kraften går egentlig framover?

Den skrå kraften $\overrightarrow{F}$ erstatter vi med et par krefter, en vannrett og en loddrett. De kalles komponenter og skrives ${\overrightarrow{F}}_x$ og ${\overrightarrow{F}}_y$ etter aksene x og y. Vi velger dem slik at summen deres er nøyaktig lik den opprinnelige kraften:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

På bildet er den grønne kraften $\overrightarrow{F}$ og komponentene dens, den røde vannrette og den blå loddrette. Stiplet er et rektangel tegnet inn. Den høyre stiplede siden er den blå komponenten flyttet til enden av den røde, så den røde og den blå pilen etter hverandre gir virkelig den grønne. Det er parallellogrammetoden baklengs: der laget vi én kraft av to, her to av én. Parallellogrammet er i dette tilfellet et rektangel, fordi komponentene står vinkelrett på hverandre.

Den røde komponenten, den høyre stiplede siden og den grønne kraften danner en rettvinklet trekant. Hypotenusen er kraften $\overrightarrow{F}$ med størrelsen F. Den vannrette komponenten er hosliggende katet til vinkelen α, og den loddrette komponenten er like lang som motstående katet. Fra definisjonene av sinus og cosinus gjelder

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Begge likningene multipliserer vi med størrelsen av kraften F, og får formlene for størrelsene av komponentene:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Vi setter inn Petters verdier. Den vannrette komponenten er

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

og den loddrette

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Bare omtrent 86,6 N av de hundre drar kjelken framover. Den gjenværende loddrette komponenten på 50 N løfter kjelken litt, så den trykker mindre mot snøen.

Legg merke til at 86,6 N + 50 N gir mer enn 100 N. Det er ingen feil, komponentene er vektorer og adderes ikke som tall. Bare pilene kan adderes, etter hverandre, og de gir tilbake de opprinnelige 100 N.

Og hva om Petter løfter tauet høyere, til 60°? Da er

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Framover ville han bare dra med halvparten av kraften. Jo brattere tauet går, desto mindre del av kraften går framover og desto mer løfter den kjelken.

Sammensetting av komponenter

Hittil har vi splittet kraften. Ofte trengs det motsatte: vi kjenner to vinkelrette komponenter og vil ha hele vektoren. Komponentene er katetene i en rettvinklet trekant og vektoren er hypotenusen, så lengden regner vi ut med Pytagoras' setning:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Vi prøver det på kjelken. Vi setter inn komponentene:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Vi kvadrerer:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499,56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Og tar kvadratroten:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Vi fikk den opprinnelige kraften. Det lille avviket under rottegnet kom av at vi rundet cosinus av til 0,866.

Nå kan vi vende tilbake til Per og turen hans. Forflytningen hans har komponentene 3 km mot øst og 4 km mot nord, og lengden kjenner vi allerede, 5 km. Det gjenstår retningen. La α være vinkelen den grønne pilen danner med den røde, altså med østretningen. Nordkomponenten 4 km ligger overfor den, og hypotenusen er 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Kilometerne forkortet seg bort, sinus er et vanlig tall uten enhet. Vinkelen med sinus 0,8 finner kalkulatoren med knappen sin⁻¹ (den sitter ofte over knappen sin, og på nettsiden kan du bruke kalkulatoren for arcsin):

$$\alpha \approx 53°$$

Pers forflytning er altså 5 km i en retning som dreier 53° fra øst mot nord. Lengde og retning, mer trenger ikke en vektor. Hvis Per ville tilbake på kortest mulig vei, måtte han gå langs den motsatte vektoren: 5 km i motsatt retning, altså mot sørvest, litt mer mot sør enn mot vest.

Forflytningen følger oss gjennom hele kinematikken. I neste artikkel, Bevegelse og hvile, setter vi den opp mot strekningen og viser hvorfor en løper etter en hel runde rundt banen egentlig ikke har forflyttet seg noe sted.