Grandezas escalares e vetoriais

“Lá fora faz 20 °C.” Não é preciso acrescentar mais nada, todo mundo sabe se deve levar um casaco. A temperatura é descrita por um número e uma unidade. Mas tente indicar um caminho a alguém dizendo “ande 100 m”. A pessoa logo pergunta: para onde? Em frente, para a esquerda, de volta? Cem metros para o norte a levam até a estação de trem, cem metros para o sul a levam direto para o lago. Para uma grandeza assim, o número não basta, precisamos também de uma direção e de um sentido.

Escalar ou vetor?

As grandezas que ficam completamente descritas por um número com unidade se chamam escalares. São escalares a temperatura, o tempo, a massa ou a distância percorrida. Quando você diz que uma sacola tem massa de 5 kg ou que um filme dura 2 h, não precisa acrescentar mais nada. A massa não aponta nem para a esquerda nem para cima.

Chamamos de vetoriais as grandezas em que a direção e o sentido também importam. Um exemplo típico é a força. Quem já mudou um armário de lugar sabe que empurrá-lo contra a parede é uma coisa e puxá-lo para longe da parede é outra. A velocidade também é vetorial: um carro que anda a 90 km/h para Brno e um carro que anda a 90 km/h saindo de Brno têm velocidades de mesmo valor e, mesmo assim, cada um vai para um lado.

Reconhecemos um vetor pela seta sobre o símbolo. A força como vetor se escreve $\overrightarrow{F}$. Às vezes, porém, a direção e o sentido não nos interessam e queremos apenas saber qual é a intensidade da força. Chamamos essa parte de módulo do vetor e a escrevemos com barras verticais ou simplesmente com o símbolo sem a seta:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

O módulo da força é um escalar, por exemplo F = 300 N. O newton N é a unidade de força, e por enquanto não precisaremos saber mais nada sobre ele. Aqui a força nos serve principalmente como exemplo de vetor.

O vetor como seta

Desenhamos o vetor como uma seta. Ela aponta para onde o vetor aponta, e o seu comprimento corresponde ao módulo. Para podermos desenhar a seta, escolhemos uma escala, por exemplo que um centímetro no papel significa 100 N. Uma força de 300 N é então uma seta de três centímetros de comprimento, e uma força de 50 N, uma seta de apenas meio centímetro.

Na imagem vemos três setas vermelhas. Todas têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido, por isso representam um único e mesmo vetor $\overrightarrow{u}$, apenas desenhado em três lugares diferentes. O vetor é determinado só pelo módulo, pela direção e pelo sentido, e não importa de onde a seta parte. Por isso podemos deslocar a seta livremente, só não podemos girá-la nem encurtá-la ou alongá-la. Isso vai nos ser útil logo na adição.

A seta azul $\overrightarrow{w}$ tem o mesmo comprimento que as vermelhas, mas aponta para outro lado, de modo que é um vetor diferente. Os dois vetores têm o mesmo módulo, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, e mesmo assim $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Adição de vetores

Pedro sai de um chalé e anda 3 km para o leste. Depois vira e anda mais 4 km para o norte. A que distância do chalé ele está?

Vamos desenhar. Na imagem, o norte está em cima, o leste à direita e cada quadradinho mede um quilômetro. O ponto laranja é o chalé, a seta vermelha é o primeiro trecho e a seta azul, o segundo.

A seta azul não parte do chalé, mas do fim da vermelha. Afinal, Pedro andou para o norte a partir do lugar aonde chegou depois de andar para o leste. É assim que os vetores se somam: deslocamos a segunda seta de modo que comece no fim da primeira. A soma é então a seta que vai do início da primeira seta ao fim da segunda. Na imagem ela é verde e mostra onde Pedro terminou. A animação mostra isso passo a passo: primeiro a seta azul sai do mesmo lugar que a vermelha, depois se desloca para o fim dela e só então aparece a verde.

Se somarmos, em vez de vetores, números comuns, obtemos 3 km + 4 km = 7 km. Sete quilômetros Pedro realmente andou, mas ele não está tão longe do chalé. Ele andou fazendo um desvio, a seta verde é um atalho, e por isso é mais curta que os dois trechos juntos.

Quanto mede a seta verde? A vermelha, a azul e a verde formam juntas um triângulo retângulo, isto é, um triângulo que tem um ângulo reto. Os dois lados que formam o ângulo reto se chamam catetos, e o terceiro, o mais longo, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa. No triângulo retângulo vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Os catetos medem 3 km e 4 km, de modo que, para a hipotenusa c, vale

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Elevamos ao quadrado. A unidade também é elevada ao quadrado: quilômetro vezes quilômetro é quilômetro quadrado:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

E extraímos a raiz quadrada:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Pedro está a 5 km do chalé. A seta que vai do lugar onde começamos ao lugar onde terminamos se chama, na física, deslocamento. Ao contrário dos quilômetros percorridos, ele é um vetor: além dos cinco quilômetros, diz também em que direção fica o chalé. Voltaremos à direção no fim do artigo.

Podemos escrever a soma como fazemos com os números, só que com setas. Quando somamos dois vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{w}$, obtemos um novo vetor $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Atenção, o módulo da soma em geral não é a soma dos módulos. Se chamarmos o primeiro trecho de Pedro de $\overrightarrow{u}$ e o segundo de $\overrightarrow{w}$, o módulo da soma é

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

enquanto a soma dos módulos é

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Regra do paralelogramo

Uma pessoa passeia com dois cachorros em guias. Cada um puxa para um lado, um com a força ${\overrightarrow{F}}_1$ e o outro com a força ${\overrightarrow{F}}_2$, e as duas forças atuam sobre a mão em que a pessoa segura as guias. Para onde os cachorros a puxam, no conjunto?

As forças atuam no mesmo ponto, por isso o mais natural é desenhar as setas a partir de um início comum. Encontramos a força resultante pela regra do paralelogramo. Do fim de cada seta traçamos, em tracejado, uma paralela à outra. Assim se forma um paralelogramo, e a sua diagonal que parte do ponto comum é a soma procurada $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Por que isso funciona? O lado tracejado da direita do paralelogramo tem o mesmo comprimento que a seta azul e é paralelo a ela. Ou seja, é a seta azul ${\overrightarrow{F}}_2$, só que deslocada para o fim da vermelha ${\overrightarrow{F}}_1$. Já conhecemos isso da parte anterior: deslocamos a segunda seta para o fim da primeira. Os dois procedimentos, o paralelogramo e o encadeamento das setas uma após a outra, levam sempre ao mesmo resultado. As setas em sequência servem para os movimentos que acontecem aos poucos (primeiro para o leste, depois para o norte), e o paralelogramo, para as forças que atuam ao mesmo tempo no mesmo ponto.

A seta verde mostra para onde os cachorros puxam a pessoa. A força resultante também é chamada simplesmente de resultante. Como cada cachorro puxa um pouco para um lado, a força resultante é menor do que se os dois puxassem no mesmo sentido. Medimos o módulo dela na imagem, usando a escala. Por enquanto só sabemos calculá-lo em dois casos: quando as forças são perpendiculares entre si, como eram os dois trechos de Pedro, ou quando estão sobre uma mesma reta (isso vem logo a seguir).

Vetores sobre uma mesma reta

O mais fácil é calcular quando os vetores estão sobre uma mesma reta. Dois amigos empurram um carro quebrado. Um empurra com a força de 300 N, o outro com a força de 250 N, os dois para a frente. Colocamos as setas uma após a outra e obtemos uma seta cujo comprimento é simplesmente a soma:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

A seta vermelha e a azul são as forças dos dois amigos, e a verde é a força resultante.

Outra situação: um cabo de guerra. Uma equipe puxa para a direita com a força de 300 N e a outra, para a esquerda, com a força de 250 N. As duas forças atuam sobre o nó no meio da corda e apontam exatamente em sentidos opostos. As setas partem do nó para lados opostos e, por isso, a força resultante é a diferença:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

A força da primeira equipe está na imagem em vermelho, a da segunda em azul e a força resultante em verde. A força resultante de 50 N aponta para a direita, para o lado da equipe mais forte. Se as duas equipes puxassem com a mesma força, a força resultante seria nula e as forças se equilibrariam. Só quando os vetores apontam no mesmo sentido ou exatamente em sentidos opostos é que os seus módulos se somam e se subtraem como números comuns.

Vetor oposto e multiplicação por um número

O vetor que tem o mesmo módulo que $\overrightarrow{u}$, mas aponta exatamente no sentido contrário, se chama vetor oposto e se escreve $-\overrightarrow{u}$. Na imagem abaixo ele está em azul. Se somamos a um vetor o seu vetor oposto, voltamos ao lugar de onde partimos e obtemos o vetor nulo:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

É assim que termina o cabo de guerra de duas equipes igualmente fortes. Graças ao vetor oposto também é possível subtrair: subtrair $\overrightarrow{w}$ significa somar $-\overrightarrow{w}$, ou seja, $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Também podemos multiplicar um vetor por um número. O vetor verde $2\overrightarrow{u}$ aponta para o mesmo lado que $\overrightarrow{u}$, mas é duas vezes mais longo. É o mesmo que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, duas setas iguais uma após a outra. Quando multiplicamos por um número negativo, o vetor ainda inverte o sentido: o vetor laranja $-2\overrightarrow{u}$ é duas vezes mais longo e aponta no sentido contrário. O vetor oposto $-\overrightarrow{u}$ é, na verdade, o vetor $\overrightarrow{u}$ multiplicado pelo número −1.

Na física isso significa: se dobramos uma força e a deixamos atuar na mesma direção e no mesmo sentido, obtemos a força $2\overrightarrow{F}$. O módulo dobra, a direção e o sentido permanecem.

Seno e cosseno

Muitas vezes vale a pena decompor um vetor oblíquo em dois vetores perpendiculares, por exemplo um horizontal e um vertical. Para isso precisamos apresentar dois novos conceitos, o seno e o cosseno. Os dois partem do triângulo retângulo.

O triângulo da imagem tem o ângulo reto no vértice C, e a hipotenusa é o lado preto c. Vamos olhar para o ângulo α no vértice A. O cateto vermelho a fica oposto a ele, por isso é chamado de cateto oposto. O cateto azul b forma o ângulo α junto com a hipotenusa, e é chamado de cateto adjacente.

O seno do ângulo α é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, e o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Para que serve uma razão assim? Dobre o tamanho do triângulo inteiro. Todos os lados ficarão duas vezes mais longos, mas os ângulos permanecem iguais. A razão $\frac{a}{c}$ não muda, porque tanto o numerador quanto o denominador dobram. O seno e o cosseno, portanto, não dependem do tamanho do triângulo desenhado, mas apenas da medida do ângulo α. O ângulo de 30° tem sempre o mesmo seno, quer você desenhe o triângulo no caderno, quer na quadra da escola.

A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo retângulo, de modo que as duas razões dão sempre menos que um. O seno e o cosseno de um ângulo agudo nunca ultrapassam o número um.

O seno e o cosseno de qualquer ângulo são calculados pela calculadora, na qual você encontra as teclas sen e cos. Mas cuidado para que a calculadora calcule em graus. Se no visor você não vê DEG, mas RAD ou GRAD, ela calcula em outras unidades de ângulo e saem resultados absurdos. É um dos erros mais frequentes nas provas. No site você pode usar a calculadora de seno ou a de cosseno, e as outras propriedades das duas funções você encontra no artigo Seno e cosseno.

Três ângulos sem calculadora

Para os ângulos de 30°, 45° e 60° podemos calcular o seno e o cosseno até sem calculadora. Basta um triângulo equilátero e um quadrado.

À esquerda vemos um triângulo equilátero de lado 2. Todos os seus ângulos medem 60°. A altura tracejada o divide em dois triângulos retângulos congruentes. O vermelho tem hipotenusa 2, cateto de baixo 1, porque é metade do lado, e ângulos de 60° embaixo e de 30° em cima, porque a altura divide o ângulo de cima ao meio. Calculamos o comprimento da altura pelo teorema de Pitágoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Falta substituir nas definições. Oposto ao ângulo de 30° fica o cateto 1, então

$$\mathrm{sen}30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Com o ângulo de 60° é o contrário, oposta a ele fica a altura $\sqrt{3}$:

$$\mathrm{sen}60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

À direita está um quadrado de lado 1, dividido por uma diagonal. A diagonal divide o ângulo reto ao meio, então o triângulo azul tem um ângulo de 45°, os dois catetos de comprimento 1 e a hipotenusa $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. O seno e o cosseno saem iguais:

$$\mathrm{sen}45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Tudo junto:

É interessante que o seno de 30° é o cosseno de 60° e vice-versa. Não é coincidência: o cateto oposto de um ângulo agudo é o cateto adjacente do outro.

Decomposição de um vetor em componentes

Zé puxa a irmãzinha num trenó. Ele segura a corda na mão, e por isso ela não fica na horizontal, mas inclinada para cima, formando com o chão um ângulo de 30°. Zé puxa a corda com a força de 100 N. Mas o trenó anda pelo chão, não obliquamente pelo ar. Quanto dessa força realmente vai para a frente?

Substituímos a força oblíqua $\overrightarrow{F}$ por um par de forças, uma horizontal e outra vertical. Elas se chamam componentes e se escrevem ${\overrightarrow{F}}_x$ e ${\overrightarrow{F}}_y$, conforme os eixos x e y. Escolhemos as componentes de modo que a soma delas seja exatamente igual à força original:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Na imagem estão a força verde $\overrightarrow{F}$ e as suas componentes, a horizontal em vermelho e a vertical em azul. O retângulo está completado com tracejado. O lado tracejado da direita é a componente azul deslocada para o fim da vermelha, de modo que as setas vermelha e azul uma após a outra realmente dão a verde. É a regra do paralelogramo ao contrário: lá fazíamos uma força a partir de duas, aqui fazemos duas a partir de uma. O paralelogramo, neste caso, é um retângulo, porque as componentes são perpendiculares entre si.

A componente vermelha, o lado tracejado da direita e a força verde formam um triângulo retângulo. A hipotenusa é a força $\overrightarrow{F}$ com módulo F. A componente horizontal é o cateto adjacente ao ângulo α, e a componente vertical tem o mesmo comprimento que o cateto oposto. Pelas definições de seno e cosseno, vale

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\mathrm{sen}\alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Multiplicamos as duas equações pelo módulo da força F e obtemos as fórmulas para os módulos das componentes:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \mathrm{sen}\alpha \end{array}$$

Substituímos os valores do Zé. A componente horizontal é

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

e a vertical

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{sen}30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Para a frente, o trenó é puxado com apenas cerca de 86,6 N dos cem. A componente vertical restante, de 50 N, alivia um pouco o peso do trenó, que por isso pressiona menos a neve.

Repare que 86,6 N + 50 N dá mais do que 100 N. Isso não é erro, as componentes são vetores e não se somam como números. Só se podem somar as setas, uma após a outra, e elas dão de volta os 100 N originais.

E se o Zé levantar a corda mais alto, para 60°? Então

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Para a frente, ele puxaria só com metade da força. Quanto mais inclinada a corda, menor a parte da força que vai para a frente e mais ela alivia o peso do trenó.

Composição das componentes

Até agora decompusemos a força. Muitas vezes é preciso o contrário: conhecemos duas componentes perpendiculares e queremos o vetor inteiro. As componentes são os catetos de um triângulo retângulo e o vetor é a sua hipotenusa, de modo que calculamos o módulo pelo teorema de Pitágoras:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Vamos verificar isso no trenó. Substituímos as componentes:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Elevamos ao quadrado:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

E extraímos a raiz quadrada:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Obtivemos a força original. O pequeno desvio sob a raiz surgiu porque arredondamos o cosseno para 0,866.

Agora podemos voltar ao Pedro e à sua caminhada. O deslocamento dele tem componentes de 3 km para o leste e 4 km para o norte, e já conhecemos o módulo, 5 km. Falta a direção. Chamemos de α o ângulo que a seta verde forma com a vermelha, ou seja, com a direção leste. A componente norte, de 4 km, fica oposta a ele e a hipotenusa mede 5 km:

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Os quilômetros se cancelaram, o seno é um número comum, sem unidade. A calculadora encontra o ângulo cujo seno é 0,8 com a tecla sen⁻¹ (costuma ficar acima da tecla sen; no site serve a calculadora de arco seno):

$$\alpha \approx 53°$$

O deslocamento de Pedro é, portanto, de 5 km numa direção que se desvia do leste em 53° para o norte. Módulo, direção e sentido: é só disso que um vetor precisa. Se Pedro quisesse voltar pelo caminho mais curto, andaria pelo vetor oposto: 5 km no sentido contrário, ou seja, para o sudoeste, um pouco mais para o sul do que para o oeste.

O deslocamento nos acompanhará por toda a cinemática. No próximo artigo, Movimento e repouso, vamos compará-lo com a distância percorrida e mostrar por que uma corredora que dá uma volta inteira em torno da quadra, na verdade, não se deslocou para lugar nenhum.