Gnidning

Skub til en kop på et bord. Den glider et stykke og standser. En sko, der glider på fliserne, kommer også kun et stykke og bliver stående. Ifølge inertiens lov ville et legeme uden resulterende kraft ellers blive ved med at bevæge sig lige hurtigt. Noget bremser det altså, og det noget er gnidning: den kraft, to overflader virker på hinanden med, når de glider mod hinanden, eller bare forsøger det.

Gnidning er dog ikke kun til skade. Uden den ville foden glide bagud på jorden, og dækkene ville spinde på stedet, så vi kunne ikke tage et skridt, og bilen ville blive stående.

Statisk gnidning

Ida flytter og skal skubbe et skab af træ med massen 60 kg hen over et trægulv. Forsigtigt skubber hun til det, men skabet rokker sig ikke. På skabet virker den vandrette kraft fra Idas hænder $\overrightarrow{F}$. Skabet står stille, så den resulterende kraft må være nul, og imod trækket virker en lige så stor kraft i modsat retning. Det er den statiske gnidningskraft, hvormed gulvet holder fast i skabets bund.

Ida skubber hårdere. Skabet står stadig, så den statiske gnidning er vokset sammen med hendes kraft. Den er altid præcis så stor, at skabet holdes på plads, ikke en newton mere. Hvis Ida holdt op med at skubbe, ville den statiske gnidning forsvinde. Skabet sætter sig jo ikke af sig selv i gang imod hende.

Sådan kan det dog ikke fortsætte for evigt. Den statiske gnidning har sit maksimum, og så snart Ida overskrider det, rykker skabet.

Dynamisk gnidning

Så snart skabet glider, bremses det videre af den dynamiske gnidningskraft $\overrightarrow{F_{\mathrm{gnid}}}$. Den peger imod bevægelsen, og det betyder næsten ikke noget, hvor hurtigt skabet glider. Ida lægger mærke til noget mærkeligt: det er lettere at skubbe skabet videre end at få det i gang. Den dynamiske gnidning er mindre end den største statiske.

Hvorfor? Selv overflader, der ser glatte ud, er under mikroskop fulde af små toppe og dale. I hvile falder bundens og gulvets toppe ned i hinanden, og på kontaktstederne klistrer materialerne lidt sammen. Den, der vil sætte skabet i gang, må rive alle de forbindelser over på én gang. Ved glidning når toppene ikke at falde så dybt ned, og de springer snarere hen over hinanden.

Så længe skabet står stille, er gnidningskraften lig med trækket, og grafen er den røde skrå linje. I det orange punkt når trækket det statiske maksimum, skabet rykker løs, og gnidningskraften falder til en lavere værdi, den dynamiske gnidning. Her bliver den, uanset hvordan Ida skubber. Den er markeret med den blå vandrette linje.

Hvor stor er gnidningen

Jo kraftigere overfladerne trykkes mod hinanden, desto dybere falder toppene ned, og desto større er gnidningen. Et tomt skab flytter du lettere end et fuldt af bøger. Sammentrykningen måles af normalkraften $\overrightarrow{F_N}$, som underlaget trykker på legemet med, og den dynamiske gnidningskraft er ligefrem proportional med den:

$$F_{\mathrm{gnid}}=\mu \cdot F_N,$$

hvor μ er den dynamiske gnidningskoefficient. Det er forholdet mellem to kræfter, newtonerne forkortes væk, og koefficienten har derfor ingen enhed. Den afhænger kun af, hvilke to overflader der gnider mod hinanden, og bestemmes ved måling. Størrelsen af berøringsfladen betyder næsten ikke noget: et skab, der er lagt på siden, glider lige så tungt som et, der står op.

Den største statiske gnidning regnes ud med den samme formel, bare med en større statisk gnidningskoefficient μ_s. Vejledende værdier af den dynamiske gnidningskoefficient:

De virkelige værdier varierer med dæk, temperatur og overfladens glathed. Mindst glider gummi på tør asfalt, mest en skøjte af stål på is. Fortove strøs om vinteren med sand netop for at gøre koefficienten på isen større.

Du kan måle koefficienten selv. Læg en træklods på et bræt, og træk den med en kraftmåler, så den bevæger sig med konstant fart. Kraftmåleren viser så netop den dynamiske gnidningskraft. Hæng derefter klodsen op i kraftmåleren og mål dens tyngdekraft, som på et vandret bræt er lig med normalkraften. Forholdet mellem de to udslag er gnidningskoefficienten.

Hvor meget kraft skal der til for skabet

Vi finder ud af, hvor hårdt Ida skal skubbe. Gulvet er vandret, og Ida skubber vandret, så i lodret retning virker kun tyngdekraften og normalkraften. Skabet bevæger sig ikke op eller ned, så de to kræfter er lige store:

$$\begin{array}{rl}{F}_N=F_t& =m\cdot g\\ & =60\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & \approx 588,6\mathrm{N}\end{array}$$

For træ på træ er μ = 0,3. Vi indsætter i formlen for gnidningskraften:

$$F_{\mathrm{gnid}}=0,3\cdot 588,6\mathrm{N}\approx 177\mathrm{N}$$

For at skabet kan glide med konstant fart, skal Ida skubbe det med en kraft på cirka 177 N. Trækket og gnidningen udligner så hinanden, og den resulterende kraft bliver nul.

Det sker let, at man ganger koefficienten direkte med massen. Men 0,3 · 60 kg = 18 kg er ikke en kraft, det er stadig bare kilogram. I formlen hører normalkraften i newton hjemme.

Normalkraften behøver desuden ikke altid at være lig med tyngdekraften. Hvis Ida støttede albuen på skabet og også skubbede det oppefra, ville gulvet trykke skabet kraftigere, og gnidningen ville vokse. Hvis hun omvendt trak i skabet med en rem skråt opad, ville remmen aflaste skabet lidt, normalkraften ville falde, og gnidningen med den.

Til at sætte skabet i gang skal der mere til. Den statiske gnidningskoefficient for træ på træ er cirka μ_s = 0,5, og den største statiske gnidningskraft bliver derfor

$$0,5\cdot 588,6\mathrm{N}\approx 294\mathrm{N}.$$

Ida må i begyndelsen skubbe cirka to tredjedele hårdere, end der bagefter er brug for. Og når skabet rykker løs, og Ida i et øjeblik endnu skubber med fuld kraft, overstiger trækket gnidningen med cirka 118 N. Ifølge kraftloven giver det skabet accelerationen

$$a=\frac{118\mathrm{N}}{60\mathrm{kg}}\approx 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Skabet farer fremad, og Ida er lige ved at falde efter det. Flyttemænd kender det: tunge møbler standser de helst ikke, før de er nået på plads, for det er sværere at sætte dem i gang igen end at skubbe dem videre.

Rullemodstand og hvorfor vi har hjul

Ida kunne dog låne en rullevogn med hjul. Et hjul glider ikke hen over gulvet, men ruller. Stedet, hvor hjulet rører gulvet, bevæger sig i det øjeblik ikke i forhold til det, så toppene hverken skal rives over eller springe hen over hinanden. Men også et rullende hjul standser til sidst. Hjulet og underlaget trykkes en smule ind på kontaktstedet, og hjulet kører så at sige hele tiden op af en lille fordybning. Det kalder vi rullemodstand.

Den regnes ud ligesom gnidning, bare med en meget mindre koefficient. For hårde små hjul på et glat gulv er den cirka 0,02, for et oppumpet dæk på asfalt omkring 0,01 og for et togs stålhjul på skinnen kun cirka 0,002. Et skab på en rullevogn, hvis masse vi ser bort fra, ville Ida skubbe med kraften

$$0,02\cdot 588,6\mathrm{N}\approx 12\mathrm{N},$$

femten gange mindre end ved glidning. Derfor kører man last på hjul, og kufferter har små hjul. Et dæk med for lavt lufttryk trykkes mere sammen, rullemodstanden vokser, og bilen bruger mere brændstof.

Hvorfor en bil på is bremser så længe

Nu kan vi forklare, hvorfor en bil på is bremser så meget dårligere end på tørt føre. En bil med massen m bremser på en vandret vej. Luftmodstanden ser vi bort fra, så der er kun én vandret kraft tilbage: gnidningen mellem dækkene og vejen. Vejen er vandret, så normalkraften er lig med tyngdekraften, F_N = m · g, og gnidningskraften er

$$F_{\mathrm{gnid}}=\mu \cdot m\cdot g.$$

Gnidningen er her den resulterende kraft, og ifølge kraftloven er den derfor lig med massen gange størrelsen af accelerationen, decelerationen $|a|$:

$$m\cdot |a|=\mu \cdot m\cdot g$$

Vi deler med massen:

$$|a|=\mu \cdot g$$

Massen forkortes væk. En tungere bil trykker rigtignok vejen hårdere, og gnidningen er større, men den modstår i samme forhold decelerationen mere. En lille bil og en læsset varevogn med de samme dæk ville altså decelerere lige hurtigt.

Vi indsætter tør asfalt:

$$|a|=0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 6,9{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Afrundet 7 m/s², den sædvanlige deceleration på tørt føre. For våd asfalt får vi 4,9 m/s², for sne 2,9 m/s² og for is

$$|a|=0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Decelerationen står i formlen for bremselængden i nævneren:

$$s_b=\frac{v^2}{2\cdot |a|}=\frac{v^2}{2\cdot \mu \cdot g}$$

En syv gange mindre koefficient betyder derfor en syv gange længere bremselængde. Lad os tage en bil, der kører 80 km/h på en landevej, altså $\frac{80}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 22,2\mathrm{m}/\mathrm{s}$. På tør asfalt:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{{\left(\frac{80}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 36\mathrm{m}\end{array}$$

På is står der 0,1 i nævneren i stedet for 0,7, og bremselængden bliver cirka 252 m, en kvart kilometer. Ingen bremser kan gøre noget ved det, for det er i virkeligheden vejen, der bremser.

Koefficienterne i tabellen er dynamiske, de gælder altså for blokerede hjul, der glider hen over vejen. Biler har ABS, som ikke lader hjulene blokere. Dækket ruller så videre, og det er den statiske gnidning, der forbinder det med vejen, og den er større, så bilen standser et stykke før og kan samtidig styres.

Beregner til gnidningskraft

Indtast massen af et legeme, der ligger på et vandret underlag, og gnidningskoefficienten fra tabellen. Beregneren udregner gnidningskraften F_gnid = μ · m · g. Med den statiske gnidningskoefficient (for træ på træ cirka 0,5) får du den kraft, der skal til for at sætte det i gang.

Alle skabe og biler har hidtil stået på et vandret gulv, hvor normalkraften udligner hele tyngdekraften. På en bakke gælder det ikke længere, og om en kælk glider ned, eller gnidningen holder den, afhænger af, hvor meget skråningen hælder.

Hvordan tyngdekraften fordeles på en skråning, og hvor stor en acceleration kælken får, viser den næste artikel, Skråplan.