Τρίτος νόμος του Νεύτωνα

Η Δήμητρα, μια παγοδρόμος, στέκεται στον πάγο με το πρόσωπο προς την μπάντα της πίστας, ακουμπά με τις παλάμες πάνω της και σπρώχνεται. Αρχίζει να κινείται προς τα πίσω, μακριά από την μπάντα. Κανείς δεν την έσπρωξε, έσπρωξε η ίδια, και μάλιστα την μπάντα, όχι τον εαυτό της. Ένα σώμα όμως δεν ξεκινά από μόνο του, κάτι πρέπει να ασκεί σε αυτό δύναμη. Ποιος λοιπόν έσπρωξε τη Δήμητρα; Η μπάντα.

Η γκρίζα φιγούρα είναι η Δήμητρα τη στιγμή που σπρώχνεται. Η Δήμητρα σπρώχνει με τις παλάμες την μπάντα με την κόκκινη δύναμη ${\overrightarrow{F}}_1$ και ταυτόχρονα η μπάντα σπρώχνει τις παλάμες της με τη μπλε δύναμη ${\overrightarrow{F}}_2$. Και τα δύο βέλη έχουν το ίδιο μήκος και αντίθετη φορά. Τα πορτοκαλί σημάδια στον πάγο δείχνουν τη θέση της Δήμητρας ύστερα από κάθε μισό δευτερόλεπτο. Η πρώτη απόσταση είναι μικρότερη, επειδή κατά το σπρώξιμο η Δήμητρα ακόμη επιταχύνεται. Ύστερα όμως γλιστρά λόγω αδράνειας με σταθερή ταχύτητα και γι' αυτό οι αποστάσεις είναι ίσες. Την τριβή των παγοπέδιλων για απλότητα την αγνοούμε.

Ο νόμος δράσης – αντίδρασης

Ο Ισαάκ Νεύτωνας τον έγραψε το 1687 στα Principia ως εξής (σε μετάφραση από τα λατινικά):

Σε κάθε δράση αντιτίθεται πάντα ίση αντίδραση. Ή αλλιώς: οι αμοιβαίες δράσεις δύο σωμάτων είναι πάντα ίσες και αντίθετης κατεύθυνσης.

Με σημερινά λόγια: όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν και το πρώτο ασκεί δύναμη στο δεύτερο, τότε και το δεύτερο ασκεί στο πρώτο αντίθετη δύναμη, ίση κατά μέτρο:

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

Το μείον μπροστά από το διάνυσμα λέει ότι η κατεύθυνση είναι αντίθετη, τα μέτρα είναι ίσα, F₂ = F₁. Τη μία δύναμη τη λέμε δράση, την άλλη αντίδραση, και δεν έχει σημασία ποια είναι ποια. Και οι δύο εμφανίζονται και εξαφανίζονται ταυτόχρονα, καμία δεν είναι πρώτη. Η δύναμη είναι πάντα αμοιβαία επίδραση δύο σωμάτων, και γι' αυτό οι δυνάμεις εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη. Μοναχική δύναμη χωρίς δεύτερη στο ζεύγος δεν υπάρχει.

Το ζεύγος δράσης και αντίδρασης έχει τρεις ιδιότητες:

• οι δύο δυνάμεις είναι ίσες κατά μέτρο,
• έχουν αντίθετη κατεύθυνση,
• η καθεμία ασκείται σε διαφορετικό σώμα.

Η τρίτη ιδιότητα είναι η σημαντικότερη και σε αυτήν γίνονται τα περισσότερα λάθη. Η Δήμητρα σπρώχνει την μπάντα, η μπάντα σπρώχνει τη Δήμητρα. Την κίνηση της Δήμητρας την επηρεάζει μόνο η δύναμη της μπάντας, επειδή από τις δύο δυνάμεις μόνο αυτή ασκείται σε εκείνη.

Ας το υπολογίσουμε. Η Δήμητρα έχει μάζα 40 kg και η μπάντα τη σπρώχνει με δύναμη 80 N. Από τον θεμελιώδη νόμο βρίσκουμε την επιτάχυνση:

$$\alpha =\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Αν το σπρώξιμο διαρκέσει μισό δευτερόλεπτο, η Δήμητρα θα απομακρυνθεί με ταχύτητα 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Και γιατί δεν ξεκίνησε η μπάντα; Η Δήμητρα τη σπρώχνει με την ίδια δύναμη 80 N. Η μπάντα όμως είναι στερεωμένη στο παγοδρόμιο και αυτό στη Γη, οπότε τη δύναμη τη δέχεται ολόκληρη η Γη με μάζα περίπου 6 · 10²⁴ kg:

$$\alpha =\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Τέτοια επιτάχυνση δεν θα τη μετρήσει ποτέ κανείς. Οι δυνάμεις είναι ίσες, τα αποτελέσματα όμως όχι, επειδή ασκούνται σε σώματα με πολύ διαφορετική μάζα.

Το ίδιο συμβαίνει όταν μια μύγα χτυπά στο παρμπρίζ ενός αυτοκινήτου που κινείται. Θα έλεγε κανείς ότι το αυτοκίνητο χτύπησε τη μύγα με πολύ μεγαλύτερη δύναμη απ' ό,τι η μύγα το αυτοκίνητο. Οι δυνάμεις όμως είναι ίσες, η μύγα σπρώχνει το τζάμι με την ίδια δύναμη που το τζάμι σπρώχνει τη μύγα. Η μύγα έχει όμως μάζα ένα κλάσμα του γραμμαρίου και έτσι η ίδια δύναμη της δίνει τεράστια επιτάχυνση, που δεν την αντέχει. Το αυτοκίνητο με μάζα έναν τόνο και πάνω επιβραδύνεται από την ίδια δύναμη τόσο ελάχιστα, που ο οδηγός δεν το αντιλαμβάνεται.

Το παράδοξο του αλόγου και του κάρου

Ένα άλογο τραβά ένα κάρο. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο όμως το κάρο τραβά το άλογο προς τα πίσω με εξίσου μεγάλη δύναμη. Οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες, άρα αλληλοαναιρούνται και τίποτα δεν θα έπρεπε να κινηθεί. Πώς γίνεται λοιπόν το άλογο και το κάρο να ξεκινούν παρ' όλα αυτά;

Συχνά απαντούν ότι το άλογο τραβά το κάρο δυνατότερα απ' ό,τι το κάρο το άλογο. Δεν είναι έτσι, οι δύο δυνάμεις είναι ίσες σε κάθε στιγμή, στην εκκίνηση, στην κίνηση και στο σταμάτημα. Το λάθος βρίσκεται στη λέξη «αλληλοαναιρούνται». Να προστεθούν και να αναιρεθούν μπορούν μόνο δυνάμεις που ασκούνται στο ίδιο σώμα. Η δύναμη του αλόγου ασκείται στο κάρο, η δύναμη του κάρου ασκείται στο άλογο. Η καθεμία ανήκει σε άλλο σώμα, και έτσι δεν έχουν πώς να αναιρεθούν.

Αν μας ενδιαφέρει αν θα ξεκινήσει το κάρο, προσέχουμε μόνο τις δυνάμεις που ασκούνται στο κάρο. Το άλογο το τραβά προς τα μπροστά με την κόκκινη δύναμη ${\overrightarrow{F}}_1$ και η τριβή κύλισης το φρενάρει με την πορτοκαλί δύναμη ${\overrightarrow{F}}_4$. Αν η έλξη υπερισχύει της αντίστασης, το κάρο επιταχύνεται. Η μπλε δύναμη ${\overrightarrow{F}}_2$, με την οποία το κάρο τραβά το άλογο, δεν ανήκει εδώ, αυτή ασκείται στο άλογο.

Στο άλογο ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις. Το κάρο το τραβά προς τα πίσω με δύναμη ${\overrightarrow{F}}_2$ και το έδαφος το σπρώχνει προς τα μπροστά με την πράσινη δύναμη ${\overrightarrow{F}}_3$. Το άλογο στηρίζει τις οπλές του στο έδαφος και το σπρώχνει προς τα πίσω, και αυτό σύμφωνα με τον τρίτο νόμο το σπρώχνει προς τα μπροστά. Το άλογο ξεκινά, όταν το έδαφος το σπρώχνει περισσότερο απ' ό,τι το κάρο το τραβά προς τα πίσω.

Τώρα με αριθμούς. Το κάρο έχει μάζα 400 kg, το άλογο 600 kg. Το άλογο τραβά το κάρο με δύναμη 400 N, η αντίσταση είναι 200 N. Η συνισταμένη στο κάρο είναι 400 N − 200 N = 200 N και η επιτάχυνση του κάρου

$$\alpha =\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Το άλογο πρέπει να επιταχύνεται το ίδιο, αλλιώς το κάρο θα το προσπερνούσε ή θα έμενε πίσω. Η συνισταμένη στο άλογο πρέπει λοιπόν να είναι 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N. Προς τα πίσω το τραβά το κάρο με δύναμη 400 N, άρα το έδαφος πρέπει να το σπρώχνει προς τα μπροστά με δύναμη 400 N + 300 N = 700 N.

Άλογο και κάρο τα βάζει λοιπόν σε κίνηση το έδαφος. Αυτό σπρώχνει το άλογο και το άλογο τραβά το κάρο. Σε πάγο, όπου οι οπλές δεν έχουν πού να στηριχτούν, το άλογο θα έσκαβε μόνο και το κάρο δεν θα κουνιόταν καθόλου.

Περπάτημα, αυτοκίνητο και κολύμπι

Ακριβώς έτσι περπατάμε. Σε κάθε βήμα το πέλμα σπρώχνει το έδαφος προς τα πίσω και το έδαφος σε σπρώχνει προς τα μπροστά. Προς τα μπροστά σε μετακινεί μόνο η δύναμη του εδάφους, τα πόδια από μόνα τους δεν θα σε πήγαιναν πουθενά. Στον πάγο το πέλμα γλιστρά πάνω στο έδαφος, δεν μπορεί να το σπρώξει προς τα πίσω, γι' αυτό εκεί περπατάμε τόσο δύσκολα. Το έδαφος δέχεται από σένα εξίσου μεγάλη δύναμη προς τα πίσω, απλώς έχει τόση μάζα, που δεν μπορείς να το κουνήσεις. Παρόμοια στο πήδημα. Τα πόδια σπρώχνουν το έδαφος προς τα κάτω και το έδαφος σε σπρώχνει προς τα πάνω, και όσο το έδαφος σε σπρώχνει περισσότερο απ' ό,τι η Γη σε τραβά προς τα κάτω, επιταχύνεσαι προς τα πάνω. Μόλις αποκολληθείς, η δύναμη του εδάφους εξαφανίζεται και μένει μόνο το βάρος, που σε φέρνει πάλι πίσω.

Το αυτοκίνητο συμπεριφέρεται παρόμοια. Ο κινητήρας γυρίζει τους τροχούς και τα ελαστικά σπρώχνουν τον δρόμο προς τα πίσω. Ο δρόμος σύμφωνα με τον τρίτο νόμο σπρώχνει το αυτοκίνητο προς τα μπροστά. Τη δύναμη που τη λέμε δύναμη του κινητήρα την ασκεί λοιπόν στην πραγματικότητα στο αυτοκίνητο ο δρόμος, ο κινητήρας απλώς γυρίζει τους τροχούς. Γι' αυτό ένα αυτοκίνητο με τροχούς που γλιστρούν στον πάγο σχεδόν δεν ξεκινά, ακόμη κι αν ο κινητήρας ουρλιάζει στο φουλ.

Ο κολυμβητής κάνει το ίδιο με το νερό. Με τα χέρια και τα πόδια το σπρώχνει προς τα πίσω και το νερό τον σπρώχνει προς τα μπροστά. Και τα κουπιά μιας βάρκας σπρώχνουν το νερό προς τα πίσω, η έλικα του αεροπλάνου τον αέρα.

Ο πύραυλος

Στον πύραυλο φαίνεται ότι δεν έχει από πού να στηριχτεί. Στο διάστημα δεν υπάρχει ούτε έδαφος ούτε νερό ούτε αέρας. Ο πύραυλος όμως κουβαλά μαζί του αυτό από το οποίο στηρίζεται. Ο κινητήρας καίει καύσιμο και τα θερμά αέρια που προκύπτουν τα εκτοξεύει από το ακροφύσιο προς τα πίσω με μεγάλη ταχύτητα. Ο πύραυλος σπρώχνει τα αέρια προς τα πίσω, τα αέρια σπρώχνουν τον πύραυλο προς τα μπροστά.

Ένα διαδεδομένο λάθος λέει ότι ο πύραυλος στηρίζεται στον αέρα πίσω του. Δεν στηρίζεται, ο αέρας γύρω του μάλλον τον εμποδίζει, και έτσι ο κινητήρας του στο κενό αποδίδει μάλιστα λίγο καλύτερα απ' ό,τι κοντά στο έδαφος. Με την ίδια αρχή πετά ένα φουσκωμένο μπαλόνι που το αφήνεις από το χέρι. Ο αέρας διαφεύγει από αυτό προς τα πίσω και το μπαλόνι πετά προς τα μπροστά. Το ίδιο νιώθουν και οι πυροσβέστες με τον αυλό στα χέρια. Ο αυλός εκτοξεύει το νερό προς τα μπροστά, το νερό σπρώχνει τον αυλό προς τα πίσω, και έτσι πρέπει να στηρίζονται γερά σε αυτόν.

Το βιβλίο στο τραπέζι

Στο τραπέζι βρίσκεται ένα λεξικό μάζας 2 kg. Η Γη το τραβά προς τα κάτω με δύναμη, το βάρος του

$$B=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

Το λεξικό όμως δεν πέφτει, άρα πρέπει να ασκείται σε αυτό και άλλη δύναμη, προς τα πάνω. Είναι η δύναμη με την οποία η επιφάνεια του τραπεζιού σπρώχνει το λεξικό από κάτω. Τη λέμε κάθετη δύναμη $\overrightarrow{N}$, επειδή είναι κάθετη στην επιφάνεια στήριξης. Το λεξικό ηρεμεί, η συνισταμένη είναι μηδέν, και έτσι η κάθετη δύναμη είναι εξίσου μεγάλη με το βάρος, N ≈ 19,6 N.

Το μπλε βάρος και η πράσινη κάθετη δύναμη είναι ίσες και αντίθετες. Είναι ζεύγος δράσης και αντίδρασης; Όχι. Και οι δύο ασκούνται στο ίδιο σώμα, στο λεξικό, ενώ η δράση και η αντίδραση ασκούνται πάντα σε δύο διαφορετικά σώματα. Το βάρος και η κάθετη δύναμη είναι δύο διαφορετικές δυνάμεις σε ισορροπία. Ότι είναι ίσες προκύπτει από τον νόμο της αδράνειας, όχι από τον νόμο δράσης – αντίδρασης.

Πού είναι λοιπόν οι αντιδράσεις; Καθεμία από τις δύο δυνάμεις έχει τη δική της:

• το τραπέζι σπρώχνει το λεξικό προς τα πάνω με κάθετη δύναμη $\overrightarrow{N}$ και το λεξικό σπρώχνει το τραπέζι προς τα κάτω με δύναμη ${\overrightarrow{N}}^{\prime }$,
• η Γη τραβά το λεξικό προς τα κάτω με βάρος $\overrightarrow{B}$ και το λεξικό τραβά τη Γη προς τα πάνω με εξίσου μεγάλη δύναμη.

Το λεξικό στο σχήμα είναι λίγο ανασηκωμένο, για να φαίνεται ποια δύναμη ασκείται σε ποιο σώμα. Η πράσινη κάθετη δύναμη ασκείται στο λεξικό, η κόκκινη δύναμη ${\overrightarrow{N}}^{\prime }$ στο τραπέζι.

Η διαφορά φαίνεται καλά, αν πιέσεις το λεξικό από πάνω με την παλάμη σου με δύναμη 10 N. Το βάρος δεν αλλάζει, η Γη τραβά το λεξικό το ίδιο. Το τραπέζι όμως τώρα κρατά το λεξικό ενάντια στο βάρος και ενάντια στην παλάμη και η κάθετη δύναμη αυξάνεται:

$$N=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

Το ίδιο αυξάνεται και η αντίδραση, το λεξικό σπρώχνει το τραπέζι επίσης με δύναμη 29,6 N. Το βάρος και η κάθετη δύναμη ήταν λοιπόν ίσα μόνο επειδή δεν πίεζε το λεξικό τίποτε άλλο, ενώ η δράση και η αντίδραση είναι ίσες πάντα.

Το ζεύγος δράσης και αντίδρασης αναγνωρίζεται καλύτερα από την πρόταση που το περιγράφει. «Το τραπέζι σπρώχνει το λεξικό» και «το λεξικό σπρώχνει το τραπέζι» είναι ζεύγος, στην πρόταση απλώς αντιστρέφονται τα σώματα. «Η Γη τραβά το λεξικό» και «το τραπέζι σπρώχνει το λεξικό» δεν είναι ζεύγος, επειδή και στις δύο προτάσεις η δύναμη ασκείται στο λεξικό.

Το βάρος μας συνόδευε από το πήδημα ως το λεξικό στο τραπέζι. Πώς διαφέρει από το φαινόμενο βάρος, τι δείχνει στην πραγματικότητα η ζυγαριά του μπάνιου και γιατί σε έναν ανελκυστήρα που ξεκινά προς τα πάνω νιώθουμε βαρύτεροι, θα το εξηγήσει το επόμενο άρθρο, Βάρος και φαινόμενο βάρος.