Δύναμη

Κλωτσάς μια μπάλα στο γήπεδο και η μπάλα φεύγει. Ο τερματοφύλακας την πιάνει και η μπάλα σταματά. Πιέζεις στην παλάμη σου ένα λαστιχένιο μπαλάκι και αυτό παραμορφώνεται. Σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις κάτι ασκεί δύναμη στο σώμα. Δύναμη είναι ό,τι αλλάζει την κίνηση ή το σχήμα ενός σώματος: το κινεί, το σταματά, το επιταχύνει, το επιβραδύνει, το στρέφει αλλού, ή το συμπιέζει, το τεντώνει ή το λυγίζει.

Η δύναμη είναι πάντα δράση ενός σώματος πάνω σε άλλο. Το πόδι ασκεί δύναμη στην μπάλα, το χέρι στο μπαλάκι και το κάθισμα στην πλάτη σου, όταν το αυτοκίνητο ξεκινά απότομα. Για να συμβεί αυτό, τα σώματα δεν χρειάζεται καν να αγγίζονται. Ο μαγνήτης έλκει από απόσταση ένα καρφί και η Γη έλκει ό,τι βρίσκεται γύρω της, ακόμη και μια μπάλα που πετά στον αέρα. Τη δύναμη με την οποία η Γη έλκει τα σώματα την ονομάζουμε βάρος και τη συμβολίζουμε B. Θα ασχοληθούμε μαζί της αναλυτικότερα αργότερα, τώρα καλύτερα να δούμε πόσο μεγάλη είναι στην πράξη μια δύναμη.

Πόσο είναι ένα νιούτον

Η δύναμη συμβολίζεται F, από την αγγλική λέξη force, και μονάδα της είναι το νιούτον N, που πήρε το όνομά του από τον Ισαάκ Νεύτωνα. Αν το αναλύσουμε σε βασικές μονάδες, προκύπτει

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Γιατί ακριβώς κιλό επί μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο, θα το μάθεις στους νόμους του Νεύτωνα.

Πώς να το φανταστείς; Βάλε στην παλάμη σου μια πλάκα σοκολάτας των εκατό γραμμαρίων. Πιέζει το χέρι σου με δύναμη περίπου 1 N, ακριβέστερα η Γη την έλκει με δύναμη 0,98 N. Ένα λίτρο γάλα, που είναι ένα κιλό, πιέζει την παλάμη με δύναμη περίπου 10 N, μια σακούλα με πέντε κιλά πατάτες με 50 N, και ένας ενήλικος με μάζα 70 kg πιέζει το πάτωμα με δύναμη γύρω στα 700 N. Το νιούτον είναι μικρή μονάδα και γι' αυτό χρησιμοποιείται συχνά το κιλονιούτον, 1 kN = 1.000 N.

Δυναμόμετρο

Τη δύναμη τη μετράμε με δυναμόμετρο. Μέσα του υπάρχει ένα ελατήριο που καταλήγει σε άγκιστρο. Όσο μεγαλύτερη δύναμη ασκούμε στο άγκιστρο, τόσο περισσότερο επιμηκύνεται το ελατήριο. Διπλάσια δύναμη το επιμηκύνει διπλάσια, και έτσι αρκεί να σχεδιάσουμε δίπλα στο ελατήριο μια κλίμακα σε νιούτον.

Το πρώτο δυναμόμετρο είναι άδειο, στο δεύτερο κρέμεται μία πλάκα σοκολάτας, στο τρίτο δύο. Το κόκκινο βέλος είναι η δύναμη με την οποία η σοκολάτα τραβά το άγκιστρο. Δύο πλάκες τραβούν με διπλάσια δύναμη και το ελατήριο επιμηκύνεται διπλάσια, από το μηδέν ως το δύο. Στην ίδια αρχή λειτουργούν και οι κρεμαστές ζυγαριές για αποσκευές, μόνο που η κλίμακά τους είναι μετατραμμένη σε κιλά.

Η δύναμη ως διάνυσμα

Δεν αρκεί να πούμε «πιέζω με δύναμη 50 N». Σημασία έχει και προς τα πού: ένα καρότσι που το σπρώχνεις προς τα εμπρός πηγαίνει αλλού από ένα που το τραβάς προς τα πίσω. Η δύναμη είναι διάνυσμα, έχει μέτρο και κατεύθυνση, και γράφεται με βέλος, $\overrightarrow{F}$. Το F χωρίς βέλος είναι το μέτρο της.

Στη δύναμη όμως δεν αρκούν ούτε το μέτρο και η κατεύθυνση. Βάλε ένα βιβλίο στο τραπέζι και σπρώξε το με το δάχτυλο στη μέση της ράχης, ώστε η δύναμη να περνά από το κέντρο του βιβλίου. Το βιβλίο θα μετακινηθεί ευθεία. Μετά σπρώξε το εξίσου δυνατά και προς την ίδια κατεύθυνση, αλλά στη γωνία. Το βιβλίο θα μετακινηθεί και επιπλέον θα περιστραφεί. Έχει σημασία δηλαδή και το πού ασκείται η δύναμη στο σώμα. Αυτό το σημείο το λέμε σημείο εφαρμογής. Η δύναμη έχει λοιπόν τρία χαρακτηριστικά:

• σημείο εφαρμογής, το σημείο στο οποίο η δύναμη ασκείται στο σώμα,
• κατεύθυνση, προς τα πού δείχνει η δύναμη,
• μέτρο, πόσα νιούτον έχει.

Το βέλος της δύναμης το σχεδιάζουμε γι' αυτό πάντα από το σημείο εφαρμογής της. Δείχνει προς την κατεύθυνση της δύναμης και το μήκος του αντιστοιχεί, με κάποια κλίμακα, στο μέτρο.

Και τα δύο βιβλία φαίνονται από ψηλά, με τη ράχη προς τα κάτω. Τα κόκκινα βέλη έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση, διαφέρουν μόνο στο σημείο εφαρμογής. Τα σχεδιάζουμε στην αρχική θέση των βιβλίων, που δείχνει το γκρι διακεκομμένο περίγραμμα, επειδή η δύναμη ασκείται μόνο τη στιγμή της ώθησης. Μετά τα βιβλία απλώς γλιστρούν πάνω στο τραπέζι, ώσπου να τα σταματήσει η τριβή. Το αριστερό βιβλίο, στο οποίο η δύναμη στοχεύει στο κέντρο, μετακινείται ευθεία, το δεξί μετακινείται και περιστρέφεται. Το βέλος ενός συνηθισμένου διανύσματος μπορούμε στο χαρτί να το μετακινούμε ελεύθερα, με τη μετακίνηση όμως του βέλους μιας δύναμης μπορούμε να αλλάξουμε το τι κάνει η δύναμη στο σώμα. Αν το σώμα όμως δεν περιστρέφεται και μας αρκεί να το θεωρήσουμε σωμάτιο, όλες οι δυνάμεις ασκούνται στο ίδιο σημείο και το σημείο εφαρμογής δεν χρειάζεται να μας απασχολεί. Έτσι θα κάνουμε και στα επόμενα παραδείγματα.

Σύνθεση δυνάμεων

Μια βάρκα ταλαντεύεται νωχελικά κοντά στην αποβάθρα. Ο Γιάννης την τραβά με σχοινί προς την αποβάθρα, προς τον βορρά, με δύναμη 40 N, ο Μάρκος από την όχθη με δεύτερο σχοινί προς την ανατολή με δύναμη 30 N. Και τα δύο σχοινιά είναι δεμένα στην πλώρη. Προς τα πού την τραβούν και οι δύο μαζί και πόσο δυνατά;

Τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα σε ένα σημείο μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία δύναμη με το ίδιο αποτέλεσμα. Ονομάζεται συνισταμένη και είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

Σχεδιάζουμε τα βέλη από την πλώρη και τα συμπληρώνουμε σε παραλληλόγραμμο. Οι δυνάμεις είναι κάθετες μεταξύ τους, άρα το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο. Η συνισταμένη είναι η πράσινη διαγώνιός του. Μαζί με το κόκκινο βέλος και την πάνω πλευρά του ορθογωνίου, που έχει το ίδιο μήκος με το μπλε βέλος, σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο, και έτσι το μέτρο της το υπολογίζουμε με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Αντικαθιστούμε:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

Υψώνουμε στο τετράγωνο και προσθέτουμε:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1.600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2.500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$$F=50\mathrm{N}$$

Μαζί τραβούν τη βάρκα με δύναμη 50 N, όχι 70 N. Θα ήταν δελεαστικό να προσθέσουμε απλώς τα μέτρα, ο καθένας όμως τραβά προς άλλη κατεύθυνση. Η συνισταμένη βγαίνει μεγαλύτερη από καθεμία από τις δυνάμεις χωριστά, αλλά μικρότερη από το άθροισμά τους.

Πρέπει ακόμη να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση. Ονομάζουμε α τη γωνία ανάμεσα στη συνισταμένη και το σχοινί του Γιάννη. Απέναντί της βρίσκεται η πλευρά του ορθογωνίου που έχει το ίδιο μήκος με τη δύναμη του Μάρκου, άρα

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

Το κομπιουτεράκι με το πλήκτρο sin⁻¹ δίνει α ≈ 37°. Η συνισταμένη δείχνει προς τον βορρά, εκτρεπόμενη κατά 37° προς την ανατολή.

Αν ο Γιάννης και ο Μάρκος τραβούσαν προς την ίδια κατεύθυνση, τα μέτρα τους θα προστίθεντο στα 70 N. Αν τραβούσαν ακριβώς αντίθετα, θα αφαιρούνταν και η συνισταμένη των 10 N θα έδειχνε προς τον Γιάννη. Για οποιαδήποτε άλλη γωνία ανάμεσα στα σχοινιά, η συνισταμένη βρίσκεται κάπου ανάμεσα στα 10 N και στα 70 N και είναι τόσο μεγαλύτερη, όσο μικρότερη είναι η γωνία των σχοινιών.

Ισορροπία δυνάμεων

Τι γίνεται αν η συνισταμένη βγει μηδέν; Τότε οι δυνάμεις αλληλοεξουδετερώνονται και το σώμα συμπεριφέρεται σαν να μην ασκούνταν σε αυτό καμία δύναμη. Λέμε ότι οι δυνάμεις ισορροπούν.

Ένα φωτιστικό κρέμεται από το ταβάνι με ένα καλώδιο και είναι ακίνητο. Η Γη το τραβά προς τα κάτω με το βάρος του και το καλώδιο το τραβά προς τα πάνω με εξίσου μεγάλη δύναμη, άρα η συνισταμένη είναι μηδέν. Η ισορροπία δεν σημαίνει ότι στο φωτιστικό δεν ασκείται τίποτα. Ασκούνται δύο δυνάμεις, μόνο που τα αποτελέσματά τους αλληλοεξουδετερώνονται. Πώς φαίνεται η ισορροπία δυνάμεων στην κίνηση του σώματος, το περιγράφει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα.

Φωτιστικό σε δύο καλώδια

Πάνω από τον δρόμο, ανάμεσα σε δύο σπίτια, είναι τεντωμένο ένα καλώδιο και στη μέση του κρέμεται ένα φωτιστικό. Το βάρος του είναι 50 N. Το καλώδιο κάνει κοιλιά από το βάρος του φωτιστικού και κάθε μισό του σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία α = 30°. Με πόση δύναμη είναι τεντωμένο το καλώδιο;

Στο φωτιστικό ασκούνται τρεις δυνάμεις: το μπλε βάρος $\overrightarrow{B}$ προς τα κάτω και δύο κόκκινες δυνάμεις των καλωδίων ${\overrightarrow{F}}_1$ και ${\overrightarrow{F}}_2$, η καθεμία κατά μήκος του μισού του καλωδίου της. Το φωτιστικό κρέμεται ακίνητο και γι' αυτό οι δυνάμεις ισορροπούν. Τα δύο μισά έχουν την ίδια κλίση και τραβούν επομένως με ίση δύναμη. Αυτήν την ονομάζουμε F. Οι πλάγιες δυνάμεις όμως δεν δείχνουν αντίθετα προς το βάρος, οπότε δεν μπορούμε να τις συγκρίνουμε με αυτό απευθείας. Γι' αυτό αναλύουμε καθεμία σε οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα.

Οι οριζόντιες συνιστώσες των δύο δυνάμεων έχουν το ίδιο μέτρο και δείχνουν αντίθετα, άρα αλληλοεξουδετερώνονται. Οι κατακόρυφες συνιστώσες δείχνουν και οι δύο προς τα πάνω και μαζί πρέπει να εξισορροπούν ολόκληρο το βάρος του φωτιστικού, άρα στην καθεμία αντιστοιχεί το μισό. Από το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος η κατακόρυφη συνιστώσα είναι F_y = F · ημα, και γι' αυτό

$$F\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{B}{2}.$$

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το ημίτονο:

$$F=\frac{B}{2\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }$$

Αντικαθιστούμε, ημ30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Ας ελέγξουμε ότι οι δυνάμεις πράγματι κρατούν το φωτιστικό σε ισορροπία. Η κατακόρυφη συνιστώσα καθεμίας είναι F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, οι δύο μαζί δίνουν 50 N, ακριβώς το μέτρο του βάρους του φωτιστικού. Η οριζόντια συνιστώσα είναι F_x = F · συνα ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N και αλληλοεξουδετερώνεται με την εξίσου μεγάλη συνιστώσα του άλλου μισού του καλωδίου.

Κάθε μισό του καλωδίου τραβά με δύναμη 50 N, δηλαδή με την ίδια όπως αν το φωτιστικό κρεμόταν από ένα μόνο κατακόρυφο καλώδιο. Δύο μισά καλώδια, και δεν μοιράστηκαν το φορτίο. Παγίδα. Κάθε καλώδιο τραβά κυρίως προς το πλάι, αντίθετα προς το μισό καλώδιο του άλλου σπιτιού, και προς τα πάνω δείχνει μόνο η κατακόρυφη συνιστώσα του, 25 N.

Γιατί το καλώδιο δεν τεντώνεται ευθύ

Ένα καλώδιο που κάνει κοιλιά φαίνεται άσχημο και γι' αυτό ο τεχνίτης το τεντώνει πιο σφιχτά. Η γωνία α μικραίνει. Τι γίνεται με τη δύναμη στο καλώδιο; Στον τύπο το ημίτονο βρίσκεται στον παρονομαστή και το ημίτονο μιας μικρής γωνίας είναι μικρός αριθμός. Για 10° είναι ημ10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

Το καλώδιο είναι τώρα τεντωμένο με σχεδόν τριπλάσια δύναμη, παρόλο που το φωτιστικό έμεινε εξίσου βαρύ.

Το σχήμα δείχνει το ίδιο φωτιστικό με μεγάλη και με μικρή κοιλιά. Το μπλε βάρος έχει και στις δύο περιπτώσεις το ίδιο μήκος, οι κόκκινες δυνάμεις των καλωδίων είναι στη μικρή κοιλιά πολύ μακρύτερες. Τις υπόλοιπες τιμές τις υπολογίζει το κομπιουτεράκι:

Όταν η γωνία είναι μόνο μία μοίρα, κάθε μισό τραβά με δύναμη πάνω από 1.400 N, σαν να κρέμονταν από αυτό δύο ενήλικες. Και όλα αυτά εξαιτίας ενός φωτιστικού με μάζα περίπου πέντε κιλά. Σχεδόν ολόκληρη αυτή η επιπλέον δύναμη δείχνει οριζόντια και τραβά τα σπίτια το ένα προς το άλλο.

Τελείως ευθύ το καλώδιο δεν το τεντώνει κανείς. Για γωνία α = 0° και οι δύο δυνάμεις θα έδειχναν οριζόντια, οι κατακόρυφες συνιστώσες τους θα ήταν μηδέν και το φωτιστικό δεν θα συγκρατούνταν προς τα πάνω από τίποτα. Όσο δυνατά κι αν τραβούσε το καλώδιο, το φωτιστικό θα του έκανε πάντα έστω και μικρή κοιλιά. Γι' αυτό κάνει κοιλιά και το σχοινί με τα ρούχα ή το σύρμα με την κουρτίνα, και όποιος θα ήθελε να τα τεντώσει σαν χορδή, μάλλον θα τα κόψει.

Το φωτιστικό κρέμεται ακίνητο, επειδή οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτό αλληλοεξουδετερώνονται. Ένα σώμα με μηδενική συνισταμένη όμως δεν είναι απαραίτητα ακίνητο. Γιατί ένας δίσκος του χόκεϊ στον πάγο συνεχίζει να κινείται και γιατί σε ένα φρενάρισμα λεωφορείου σε πετάει προς τα μπροστά, θα το εξηγήσει το επόμενο άρθρο, Πρώτος νόμος του Νεύτωνα.