Kraft

Du trittst gegen einen Ball auf dem Rasen, und der Ball fliegt los. Der Torwart fängt ihn, und der Ball steht still. Du drückst einen Gummiball in der Hand, und er wird eingedrückt. In jedem dieser Fälle wirkt etwas mit einer Kraft auf den Körper. Eine Kraft ist das, was die Bewegung oder die Form eines Körpers ändert: Sie setzt ihn in Bewegung, bremst ihn, beschleunigt ihn, lenkt ihn ab, oder sie staucht, dehnt oder biegt ihn.

Eine Kraft ist immer die Wirkung eines Körpers auf einen anderen. Der Fuß wirkt auf den Ball, die Hand auf den Gummiball und der Sitz auf deinen Rücken, wenn das Auto kräftig anfährt. Die Körper müssen sich dafür nicht einmal berühren. Ein Magnet zieht einen Nagel aus der Ferne an, und die Erde zieht alles um sich herum an, auch einen Ball, der durch die Luft fliegt. Die Kraft, mit der die Erde Körper anzieht, heißt Gewichtskraft und wird mit F_G bezeichnet. Mit ihr beschäftigen wir uns später genauer, jetzt zeigen wir lieber, wie groß eine Kraft überhaupt ist.

Wie groß ist ein Newton?

Die Kraft wird mit F bezeichnet, vom englischen force, und ihre Einheit ist das Newton N, benannt nach Isaac Newton. Auf Basiseinheiten zurückgeführt ergibt sich

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Warum es gerade Kilogramm mal Meter pro Sekunde zum Quadrat ist, erfährst du bei den newtonschen Gesetzen.

Wie stellt man sich das vor? Leg dir eine 100-Gramm-Tafel Schokolade auf die Hand. Sie drückt mit einer Kraft von etwa 1 N auf die Hand, genauer gesagt zieht die Erde sie mit 0,98 N an. Ein Liter Milch, also ein Kilogramm, drückt mit etwa 10 N auf die Handfläche, eine Tasche mit fünf Kilogramm Kartoffeln mit 50 N, und ein Erwachsener mit einer Masse von 70 kg drückt mit einer Kraft von rund 700 N auf den Boden. Das Newton ist eine kleine Einheit, deshalb verwendet man oft das Kilonewton, 1 kN = 1.000 N.

Kraftmesser

Kräfte messen wir mit einem Kraftmesser. Darin steckt eine Feder, die in einem Haken endet. Je stärker wir am Haken ziehen, desto mehr dehnt sich die Feder. Die doppelte Kraft dehnt sie doppelt so weit, deshalb genügt es, neben der Feder eine Skala in Newton zu zeichnen.

Der erste Kraftmesser ist leer, am zweiten hängt eine Tafel Schokolade, am dritten hängen zwei. Der rote Pfeil ist die Kraft, mit der die Schokolade am Haken zieht. Zwei Tafeln ziehen doppelt so stark, und die Feder dehnt sich doppelt so weit, von null bis zur Zwei. Nach demselben Prinzip arbeiten auch Kofferwaagen zum Aufhängen, nur ist ihre Skala auf Kilogramm umgerechnet.

Die Kraft als Vektor

Zu sagen „ich drücke mit einer Kraft von 50 N“ genügt nicht. Wichtig ist auch, wohin: Ein Wagen, den du nach vorn schiebst, fährt woandershin als einer, den du zurückziehst. Die Kraft ist ein Vektor, sie hat einen Betrag und eine Richtung und wird mit Pfeil geschrieben, $\overrightarrow{F}$. Das bloße F ohne Pfeil ist ihr Betrag.

Bei einer Kraft reichen aber auch Betrag und Richtung nicht aus. Leg ein Buch auf den Tisch und stoße es mit dem Finger in der Mitte des Buchrückens an, sodass die Kraft durch die Mitte des Buches zeigt. Das Buch rutscht geradeaus ein Stück weiter. Dann stoße es genauso stark und in dieselbe Richtung an, aber an der Ecke. Das Buch rutscht weiter und dreht sich außerdem. Es kommt nämlich auch darauf an, wo die Kraft auf den Körper wirkt. Diese Stelle nennen wir Angriffspunkt. Eine Kraft hat also drei Eigenschaften:

• den Angriffspunkt, den Punkt, in dem die Kraft auf den Körper wirkt,
• die Richtung, in die die Kraft zeigt,
• den Betrag, also wie viele Newton sie hat.

Den Kraftpfeil zeichnen wir deshalb immer vom Angriffspunkt aus. Er zeigt in die Richtung der Kraft, und seine Länge entspricht im Maßstab ihrem Betrag.

Beide Bücher sehen wir von oben, der Buchrücken ist unten. Die roten Pfeile sind gleich lang und zeigen in dieselbe Richtung, sie unterscheiden sich nur im Angriffspunkt. Wir zeichnen sie in der Ausgangslage der Bücher, die die graue gestrichelte Kontur zeigt, denn die Kraft wirkt nur im Moment des Anstoßens. Danach gleiten die Bücher nur noch über den Tisch, bis die Reibung sie anhält. Das linke Buch, auf das die Kraft durch die Mitte wirkt, rutscht geradeaus weiter, das rechte rutscht weiter und dreht sich. Einen gewöhnlichen Vektorpfeil dürfen wir auf dem Papier beliebig verschieben, aber wenn wir einen Kraftpfeil verschieben, kann sich ändern, was die Kraft mit dem Körper macht. Dreht sich der Körper jedoch nicht und genügt es, ihn als Massenpunkt zu betrachten, wirken alle Kräfte in einem Punkt, und um den Angriffspunkt müssen wir uns nicht kümmern. So machen wir es auch in den weiteren Beispielen.

Kräfteaddition

Ein Boot schaukelt träge in der Nähe des Stegs. Felix zieht es mit einem Seil nach Norden zum Steg, mit einer Kraft von 40 N, Max zieht vom Ufer aus an einem zweiten Seil nach Osten, mit einer Kraft von 30 N. Beide Seile sind am Bug festgebunden. Wohin ziehen beide zusammen das Boot, und wie stark?

Kräfte, die in einem Punkt auf einen Körper wirken, können wir durch eine einzige Kraft mit derselben Wirkung ersetzen. Sie heißt Resultierende und ist die Vektorsumme aller Kräfte:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

Die Pfeile tragen wir vom Bug aus ab und ergänzen sie zu einem Parallelogramm. Die Kräfte stehen senkrecht aufeinander, das Parallelogramm ist also ein Rechteck. Die Resultierende ist seine grüne Diagonale. Mit dem roten Pfeil und der oberen Seite des Rechtecks, die genauso lang ist wie der blaue Pfeil, bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck, ihren Betrag berechnen wir also mit dem Satz des Pythagoras:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Wir setzen ein:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

Wir quadrieren und addieren:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1.600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2.500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Und ziehen die Wurzel:

$$F=50\mathrm{N}$$

Zusammen ziehen sie das Boot mit 50 N, nicht mit 70 N. Man wäre versucht, die Beträge einfach zu addieren, aber jeder zieht in eine andere Richtung. Die Resultierende ist länger als jede der beiden Kräfte einzeln, aber kürzer als ihre Summe.

Noch müssen wir die Richtung bestimmen. Mit α bezeichnen wir den Winkel zwischen der Resultierenden und Felix' Seil. Ihm gegenüber liegt die Rechteckseite, die so lang ist wie Max' Kraft, also

$$\sin \alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

Der Taschenrechner liefert mit der Taste sin⁻¹ den Wert α ≈ 37°. Die Resultierende zeigt nach Norden, um 37° nach Osten abgelenkt.

Würden Felix und Max in dieselbe Richtung ziehen, addierten sich ihre Beträge zu 70 N. Würden sie genau gegeneinander ziehen, subtrahierten sie sich, und die Resultierende von 10 N zeigte zu Felix. Bei jedem anderen Winkel zwischen den Seilen liegt die Resultierende irgendwo zwischen 10 N und 70 N, und sie ist umso größer, je kleiner der Winkel zwischen den Seilen ist.

Kräftegleichgewicht

Was ist, wenn die Resultierende null ist? Dann heben sich die Kräfte gegenseitig auf, und der Körper verhält sich, als würde gar keine Kraft auf ihn wirken. Wir sagen, die Kräfte sind im Gleichgewicht.

Eine Lampe hängt an einer Schnur von der Decke und ruht. Die Erde zieht sie mit der Gewichtskraft nach unten, und die Schnur zieht sie mit einer gleich großen Kraft nach oben, die Resultierende ist also null. Gleichgewicht bedeutet dabei nicht, dass auf die Lampe nichts wirkt. Es wirken zwei Kräfte auf sie, nur heben sich ihre Wirkungen auf. Wie sich das Kräftegleichgewicht auf die Bewegung eines Körpers auswirkt, beschreibt das erste newtonsche Gesetz.

Lampe an zwei Seilstücken

Über einer Straße ist zwischen zwei Häusern ein Seil gespannt, und in der Mitte hängt eine Lampe. Ihre Gewichtskraft beträgt 50 N. Das Seil hängt unter der Lampe durch, und jede Hälfte bildet mit der Waagerechten den Winkel α = 30°. Mit welcher Kraft ist das Seil gespannt?

Auf die Lampe wirken drei Kräfte: die blaue Gewichtskraft $\overrightarrow{F_G}$ nach unten und zwei rote Seilkräfte ${\overrightarrow{F}}_1$ und ${\overrightarrow{F}}_2$, jede entlang ihrer Seilhälfte. Die Lampe hängt in Ruhe, deshalb sind die Kräfte im Gleichgewicht. Beide Hälften sind gleich geneigt und ziehen daher gleich stark. Diese Kraft bezeichnen wir mit F. Die schrägen Kräfte zeigen aber nicht entgegen der Gewichtskraft, wir können sie also nicht direkt mit ihr vergleichen. Deshalb zerlegen wir jede von ihnen in eine waagerechte und eine senkrechte Komponente.

Die waagerechten Komponenten beider Kräfte sind gleich groß und zeigen gegeneinander, sie heben sich also gegenseitig auf. Die senkrechten Komponenten zeigen beide nach oben und müssen zusammen die ganze Gewichtskraft der Lampe ausgleichen, auf jede entfällt also die Hälfte. Aus dem rechtwinkligen Dreieck im Bild ergibt sich die senkrechte Komponente F_y = F · sin α, und deshalb

$$F\cdot \sin \alpha =\frac{F_G}{2}.$$

Wir teilen beide Seiten durch den Sinus:

$$F=\frac{F_G}{2\cdot \sin \alpha }$$

Wir setzen ein, sin 30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Prüfen wir nach, ob die Kräfte die Lampe wirklich im Gleichgewicht halten. Die senkrechte Komponente jeder Kraft ist F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, zwei zusammen ergeben 50 N, genau den Betrag der Gewichtskraft der Lampe. Die waagerechte Komponente ist F_x = F · cos α ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N und hebt sich mit der gleich großen Komponente der anderen Seilhälfte auf.

Jede Seilhälfte zieht mit 50 N, also genauso stark, als würde die Lampe an einem einzigen senkrechten Seil hängen. Zwei Seilhälften, und trotzdem teilen sie sich die Last nicht. Tückisch! Jede Seilhälfte zieht nämlich hauptsächlich zur Seite, gegen die Seilhälfte vom anderen Haus, und nach oben zeigt nur seine senkrechte Komponente von 25 N.

Warum sich ein Seil nicht gerade spannen lässt

Ein durchhängendes Seil sieht hässlich aus, deshalb spannt es der Monteur fester. Der Winkel α wird kleiner. Was passiert mit der Kraft im Seil? In der Formel steht der Sinus im Nenner, und der Sinus eines kleinen Winkels ist eine kleine Zahl. Für 10° ist sin 10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

Das Seil ist jetzt mit fast der dreifachen Kraft gespannt, obwohl die Lampe gleich schwer geblieben ist.

Das Bild zeigt dieselbe Lampe mit großem und mit kleinem Durchhang. Die blaue Gewichtskraft ist in beiden Fällen gleich lang, die roten Seilkräfte sind bei kleinem Durchhang viel länger. Weitere Werte rechnet der Taschenrechner aus:

Bei einem Durchhang von nur einem Grad zieht jede Hälfte mit über 1.400 N, als würden zwei Erwachsene daran hängen. Und das alles wegen einer Lampe mit einer Masse von etwa fünf Kilogramm. Fast diese ganze zusätzliche Kraft zeigt waagerecht und zieht die Häuser aufeinander zu.

Ganz gerade spannt niemand ein Seil. Bei einem Winkel α = 0° würden beide Kräfte waagerecht zeigen, ihre senkrechten Komponenten wären null, und nichts würde die Lampe nach oben halten. Egal wie stark das Seil zöge, die Lampe würde es immer zumindest ein wenig durchhängen lassen. Deshalb hängen auch eine Wäscheleine oder ein Gardinenseil durch, und wer sie wie eine Saite spannen wollte, würde sie eher zerreißen.

Die Lampe hängt in Ruhe, weil sich die Kräfte, die auf sie wirken, aufheben. Ein Körper, auf den die resultierende Kraft null wirkt, muss aber nicht unbedingt stillstehen. Warum ein Puck auf dem Eis immer weiter gleitet und warum es dich im bremsenden Bus nach vorn wirft, erklärt der nächste Artikel, Erstes newtonsches Gesetz.