Force

Tu donnes un coup de pied dans un ballon sur la pelouse et le ballon part. Le gardien l’attrape et le ballon s’immobilise. Tu serres une balle en caoutchouc dans ta main et elle se déforme. Dans chacun de ces cas, quelque chose exerce une force sur le corps. Une force, c’est ce qui modifie le mouvement d’un corps ou sa forme : elle le met en mouvement, l’arrête, l’accélère, le ralentit, le dévie, ou bien elle le comprime, l’étire ou le plie.

Une force est toujours l’action d’un corps sur un autre. Le pied agit sur le ballon, la main sur la balle et le siège sur ton dos quand la voiture démarre brusquement. Pour cela, les corps n’ont même pas besoin de se toucher. Un aimant attire un clou à distance, et la Terre attire tout ce qui l’entoure, même un ballon qui vole dans les airs. La force avec laquelle la Terre attire les corps s’appelle le poids et se note P. Nous y reviendrons plus tard en détail ; voyons d’abord quelle est la valeur d’une force.

Combien vaut un newton

La force se note F et son unité est le newton N, nommé d’après Isaac Newton. En le décomposant en unités de base, on obtient

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Pourquoi précisément des kilogrammes multipliés par des mètres par seconde carrée, tu le comprendras avec les lois de Newton.

Comment se représenter un newton ? Pose sur ta paume une tablette de chocolat de cent grammes. Elle appuie sur ta main avec une force d’environ 1 N ; plus précisément, la Terre l’attire avec une force de 0,98 N. Un litre de lait, c’est-à-dire un kilogramme, appuie sur ta paume avec une force d’environ 10 N, un sac de cinq kilogrammes de pommes de terre avec 50 N, et un adulte de masse 70 kg appuie sur le sol avec une force d’environ 700 N. Le newton est une petite unité, c’est pourquoi on utilise souvent le kilonewton, 1 kN = 1 000 N.

Le dynamomètre

Nous mesurons une force avec un dynamomètre. À l’intérieur se trouve un ressort terminé par un crochet. Plus on tire fort sur le crochet, plus le ressort s’allonge. Une force double l’allonge deux fois plus, il suffit donc de dessiner l’échelle en newtons à côté du ressort.

Le premier dynamomètre est vide, au deuxième est accrochée une tablette de chocolat, au troisième deux. La flèche rouge est la force avec laquelle le chocolat tire sur le crochet. Deux tablettes tirent avec une force double et le ressort s’allonge deux fois plus, de zéro à deux. Les pèse-bagages suspendus fonctionnent sur le même principe, mais leur échelle est convertie en kilogrammes.

La force comme vecteur

Dire « je pousse avec une force de 50 N » ne suffit pas. La direction compte aussi : un chariot que tu pousses vers l’avant ne va pas au même endroit que celui que tu tires vers l’arrière. Une force est un vecteur, elle a une valeur et une direction, et elle s’écrit avec une flèche, $\overrightarrow{F}$. Le simple F sans flèche est sa valeur.

Pour une force, la valeur et la direction ne suffisent même pas. Pose un livre sur une table et pousse-le du doigt au milieu de son dos, de sorte que la force soit dirigée vers le centre du livre. Le livre avance tout droit. Pousse-le ensuite aussi fort et dans la même direction, mais près d’un coin. Le livre avance et, en plus, il tourne. Ce qui compte aussi, c’est où la force s’exerce sur le corps. Cet endroit s’appelle le point d’application. Une force a donc trois caractéristiques :

• le point d’application, le point où la force s’exerce sur le corps,
• la direction, vers où la force est dirigée,
• la valeur, combien elle vaut de newtons.

C’est pourquoi nous traçons toujours la flèche d’une force à partir de son point d’application. Elle est dirigée comme la force et sa longueur correspond, à l’échelle, à sa valeur.

Nous voyons les deux livres de dessus, leur dos est en bas. Les flèches rouges ont la même longueur et la même direction, seul le point d’application diffère. Nous les dessinons dans la position initiale des livres, indiquée par le contour gris en pointillés, car la force n’agit qu’au moment de la poussée. Ensuite, les livres ne font plus que glisser sur la table jusqu’à ce que les frottements les arrêtent. Le livre de gauche, sur lequel la force est dirigée vers le centre, avance tout droit, celui de droite avance et tourne. La flèche d’un vecteur ordinaire peut être déplacée librement sur le papier, mais en déplaçant la flèche d’une force, nous pouvons changer ce que la force fait au corps. Cependant, si le corps ne tourne pas et qu’il nous suffit de le considérer comme un point matériel, toutes les forces s’exercent en un seul point et nous n’avons pas à nous soucier du point d’application. C’est ce que nous ferons dans les exemples suivants.

Composition des forces

Un petit bateau se balance paresseusement près du quai. Nathan le tire vers le quai avec une corde, vers le nord, avec une force de 40 N, et Marc, depuis la rive, avec une deuxième corde, vers l’est, avec une force de 30 N. Les deux cordes sont attachées à la proue. Dans quelle direction le tirent-ils à eux deux, et avec quelle force ?

Les forces qui s’exercent sur un corps en un même point peuvent être remplacées par une seule force ayant le même effet. Elle s’appelle la résultante et c’est la somme vectorielle de toutes les forces :

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

Nous traçons les flèches à partir de la proue et nous complétons le parallélogramme. Les forces sont perpendiculaires, donc ce parallélogramme est un rectangle. La résultante est sa diagonale verte. Avec la flèche rouge et le côté supérieur du rectangle, qui a la même longueur que la flèche bleue, elle forme un triangle rectangle, et nous calculons donc sa valeur avec le théorème de Pythagore :

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Nous remplaçons :

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

Nous élevons au carré et nous additionnons :

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Et nous prenons la racine carrée :

$$F=50\mathrm{N}$$

Ensemble, ils tirent le bateau avec une force de 50 N, pas de 70 N. On serait tenté d’additionner simplement les valeurs, mais chacun tire dans une direction différente. La résultante est plus grande que chacune des forces prise séparément, mais plus petite que leur somme.

Il nous reste à déterminer la direction. Notons α l’angle entre la résultante et la corde de Nathan. En face de lui se trouve le côté du rectangle de même longueur que la force de Marc, donc

$$\sin \alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

La calculatrice, avec la touche sin⁻¹, donne α ≈ 37°. La résultante est dirigée vers le nord, déviée de 37° vers l’est.

Si Nathan et Marc tiraient dans la même direction, leurs valeurs s’additionneraient pour donner 70 N. S’ils tiraient exactement l’un contre l’autre, elles se soustrairaient et la résultante de 10 N serait dirigée vers Nathan. Pour tout autre angle entre les cordes, la résultante se situe quelque part entre 10 N et 70 N, et elle est d’autant plus grande que l’angle entre les cordes est petit.

Équilibre des forces

Et si la résultante est nulle ? Alors les forces s’annulent mutuellement et le corps se comporte comme si aucune force ne s’exerçait sur lui. Nous disons que les forces sont en équilibre.

Une lampe est suspendue à un cordon accroché au plafond et elle est immobile. La Terre la tire vers le bas avec son poids et le cordon la tire vers le haut avec une force de même valeur, donc la résultante est nulle. L’équilibre ne signifie pas pour autant que rien n’agit sur la lampe. Deux forces s’exercent sur elle, mais leurs effets s’annulent. La façon dont l’équilibre des forces se manifeste dans le mouvement d’un corps est décrite par la première loi de Newton.

Une lampe sur deux câbles

Au-dessus d’une rue, un câble est tendu entre deux maisons et une lampe est suspendue en son milieu. Son poids est de 50 N. Le câble s’affaisse sous la lampe et chacune de ses moitiés forme avec l’horizontale un angle α = 30°. Avec quelle force le câble est-il tendu ?

Trois forces s’exercent sur la lampe : le poids bleu $\overrightarrow{P}$ vers le bas et deux forces rouges des câbles, ${\overrightarrow{F}}_1$ et ${\overrightarrow{F}}_2$, chacune le long de sa moitié de câble. La lampe est immobile, donc les forces sont en équilibre. Les deux moitiés sont inclinées de la même façon, elles tirent donc avec la même force. Nous la notons F. Mais les forces obliques ne sont pas opposées au poids, nous ne pouvons donc pas les comparer directement. C’est pourquoi nous décomposons chacune d’elles en une composante horizontale et une composante verticale.

Les composantes horizontales des deux forces ont la même valeur et sont opposées, elles s’annulent donc. Les composantes verticales sont toutes deux dirigées vers le haut et ensemble elles doivent compenser tout le poids de la lampe, chacune en prend donc la moitié. D’après le triangle rectangle de la figure, la composante verticale est F_y = F · sin α, et donc

$$F\cdot \sin \alpha =\frac{P}{2}.$$

Nous divisons les deux membres par le sinus :

$$F=\frac{P}{2\cdot \sin \alpha }$$

Nous remplaçons, sin 30° = 0,5 :

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Vérifions que les forces maintiennent bien la lampe en équilibre. La composante verticale de chacune est F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, les deux ensemble donnent 50 N, exactement la valeur du poids de la lampe. La composante horizontale est F_x = F · cos α ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N et elle s’annule avec la composante de même valeur de l’autre moitié du câble.

Chaque moitié du câble tire avec une force de 50 N, donc la même que si la lampe était suspendue à un seul câble vertical. Deux moitiés de câble, et elles ne se sont pas partagé la charge. Piège ! En effet, chaque câble tire surtout vers le côté, contre la moitié de câble de l’autre maison, et seule sa composante verticale de 25 N est dirigée vers le haut.

Pourquoi on ne peut pas tendre un câble à l’horizontale

Un câble qui s’affaisse est laid, alors le monteur le tend plus fort. L’angle α diminue. Que devient la force dans le câble ? Dans la formule, le sinus est au dénominateur et le sinus d’un petit angle est un petit nombre. Pour 10°, on a sin 10° ≈ 0,174 :

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

Le câble est maintenant tendu avec une force presque trois fois plus grande, bien que la lampe soit restée aussi lourde.

La figure montre la même lampe avec un grand et un petit affaissement. Le poids bleu a la même longueur dans les deux cas, les forces rouges des câbles sont beaucoup plus longues pour un petit affaissement. La calculatrice nous donne d’autres valeurs :

Pour un affaissement d’un seul degré, chaque moitié tire avec une force de plus de 1 400 N, comme si deux adultes y étaient suspendus. Et tout cela à cause d’une lampe d’environ cinq kilogrammes. De plus, presque toute cette force est dirigée horizontalement et tire les maisons l’une vers l’autre.

Personne ne tendra jamais un câble parfaitement à l’horizontale. Pour un angle α = 0°, les deux forces seraient horizontales, leurs composantes verticales seraient nulles et rien ne retiendrait la lampe vers le haut. Quelle que soit la force avec laquelle le câble tirerait, la lampe l’affaisserait toujours au moins un peu. C’est pourquoi une corde à linge ou un câble à rideaux s’affaissent aussi, et celui qui voudrait les tendre comme une corde de guitare les cassera plutôt.

La lampe est immobile parce que les forces qui s’exercent sur elle s’annulent. Mais un corps soumis à une résultante nulle ne reste pas forcément immobile. Pourquoi un palet continue sa course sur la glace et pourquoi on est projeté vers l’avant dans un bus qui freine, c’est ce qu’explique l’article suivant, Première loi de Newton.