Сила

Ти б'єш по м'ячу на газоні, і м'яч летить. Воротар ловить його, і м'яч зупиняється. Ти стискаєш у долоні гумову кульку, і вона вминається. У кожному з цих випадків на тіло щось діє силою. Сила — це те, що змінює рух тіла або його форму: розганяє його, зупиняє, прискорює, сповільнює, повертає в інший бік, а також стискає, розтягує чи згинає.

Сила завжди є дією одного тіла на інше. Нога діє на м'яч, рука на кульку, а сидіння на твою спину, коли автомобіль різко рушає. Тіла для цього зовсім не мусять торкатися одне одного. Магніт притягує цвях на відстані, а Земля притягує все довкола себе, навіть м'яч, що летить повітрям. Силу, з якою Земля притягує тіла, називають силою тяжіння і позначають F_тяж. Докладніше нею ми займемося пізніше, а зараз краще покажемо, наскільки велика сила взагалі буває.

Скільки дорівнює один ньютон

Силу позначають F, від англійського force, а її одиницею є ньютон Н, названий на честь Ісаака Ньютона. Якщо розписати його через основні одиниці, виходить

$$\mathrm{Н}={\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2.$$

Чому саме кілограм помножити на метр за секунду в квадраті, ти дізнаєшся під час вивчення законів Ньютона.

Як його уявити? Поклади на долоню стограмову плитку шоколаду. Вона тисне на руку із силою приблизно 1 Н, точніше, Земля притягує її із силою 0,98 Н. Літр молока, тобто кілограм, тисне на долоню із силою близько 10 Н, торба з п'ятьма кілограмами картоплі — 50 Н, а доросла людина масою 70 кг тисне на підлогу із силою близько 700 Н. Ньютон — мала одиниця, тому часто користуються кілоньютоном, 1 кН = 1 000 Н.

Динамометр

Силу вимірюють динамометром. Усередині нього пружина із гачком на кінці. Чим більшою силою ми тягнемо за гачок, тим більше пружина розтягується. Удвічі більша сила розтягує її вдвічі більше, тож шкалу в ньютонах досить накреслити поруч із пружиною.

Перший динамометр порожній, на другому висить одна плитка шоколаду, на третьому дві. Червона стрілка — це сила, з якою шоколад тягне за гачок. Дві плитки тягнуть удвічі більшою силою, і пружина розтягується вдвічі більше, від нуля до двійки. На тому самому принципі працюють і підвісні ваги для багажу, тільки їхню шкалу перераховано на кілограми.

Сила як вектор

Сказати «тисну із силою 50 Н» замало. Важливо й куди: візок, який ти штовхаєш уперед, їде не туди, куди той, що ти тягнеш назад. Сила — це вектор, вона має модуль і напрям, і її записують зі стрілкою, $\overrightarrow{F}$. Саме F без стрілки — це її модуль.

Однак для сили не вистачає навіть модуля й напряму. Поклади книжку на стіл і штовхни її пальцем посередині корінця так, щоб сила була спрямована через центр книжки. Книжка посунеться рівно. Потім штовхни її так само сильно й в той самий бік, але біля кута. Книжка посунеться і ще й повернеться. Адже важливо й те, де сила діє на тіло. Це місце називають точкою прикладання. Отже, сила має три властивості:

• точка прикладання, точка, в якій сила діє на тіло,
• напрям, куди сила спрямована,
• модуль, скільки в неї ньютонів.

Тому стрілку сили завжди проводимо з її точки прикладання. Вона спрямована в напрямі сили, а її довжина в масштабі відповідає модулю.

Обидві книжки видно згори, корінець у них унизу. Червоні стрілки однакової довжини й однаково напрямлені, відрізняються тільки точкою прикладання. Малюємо їх у початковому положенні книжок, яке показує сірий штриховий контур, бо сила діє лише в мить поштовху. Далі книжки тільки ковзають столом, доки їх не зупинить тертя. Ліва книжка, на яку сила спрямована через центр, посувається рівно, а права посувається й повертається. Стрілку звичайного вектора на папері можна довільно пересувати, але пересуваючи стрілку сили, ми можемо змінити те, що сила робить з тілом. Якщо ж тіло не обертається і його досить розглядати як матеріальну точку, то всі сили діють в одній точці, і про точку прикладання дбати не треба. Так ми робитимемо й у наступних прикладах.

Додавання сил

Човен ліниво погойдується неподалік від причалу. Іван тягне його линвою до причалу на північ із силою 40 Н, Назар з берега другою линвою на схід із силою 30 Н. Обидві линви прив'язані до носа. Куди й з якою силою вони тягнуть його разом?

Сили, що діють на тіло в одній точці, можна замінити єдиною силою з таким самим ефектом. Вона називається рівнодійною і є векторною сумою всіх сил:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

Стрілки відкладаємо від носа й добудовуємо їх до паралелограма. Сили перпендикулярні одна до одної, тому цей паралелограм — прямокутник. Рівнодійна — його зелена діагональ. Разом із червоною стрілкою та верхньою стороною прямокутника, що має таку саму довжину, як синя стрілка, вона утворює прямокутний трикутник, тому її модуль обчислимо за теоремою Піфагора:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Підставимо:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{Н}{)}^2+(30\mathrm{Н}{)}^2}$$

Піднесемо до квадрата й додамо:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1600{\mathrm{Н}}^2+900{\mathrm{Н}}^2}\\ & =\sqrt{2500{\mathrm{Н}}^2}\end{array}$$

І добудемо корінь:

$$F=50\mathrm{Н}$$

Разом човен тягнуть із силою 50 Н, а не 70 Н. Модулі так і кортить просто додати, але ж кожен тягне в свій бік. Рівнодійна виходить більшою за кожну із сил окремо, але меншою за їхню суму.

Лишилося визначити напрям. Позначимо α кут між рівнодійною та Івановою линвою. Навпроти нього лежить сторона прямокутника, що має таку саму довжину, як сила Назара, тому

$$\sin \alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{Н}}{50\mathrm{Н}}=0,6.$$

Калькулятор за кнопкою sin⁻¹ дає α ≈ 37°. Рівнодійна спрямована на північ, відхилена на 37° до сходу.

Якби Іван із Назаром тягнули в один бік, їхні модулі додалися б до 70 Н. Якби тягнули точно назустріч одне одному, то відніманням вийшла б рівнодійна 10 Н, спрямована до Івана. За будь-якого іншого кута між линвами рівнодійна лежить десь між 10 Н та 70 Н, і чим менший кут між линвами, тим вона більша.

Рівновага сил

А що, коли рівнодійна виходить нульовою? Тоді сили компенсують одна одну, і тіло поводиться так, ніби на нього не діє жодна сила. Кажуть, що сили перебувають у рівновазі.

Лампа висить на шнурі зі стелі й перебуває у спокої. Земля тягне її вниз силою тяжіння, а шнур тягне вгору так само великою силою, тому рівнодійна нульова. Рівновага при цьому не означає, що на лампу нічого не діє. На неї діють дві сили, тільки їхні дії компенсуються. Як рівновага сил позначається на русі тіла, описує перший закон Ньютона.

Лампа на двох тросах

Над вулицею між двома будинками натягнуто трос, а посередині нього висить лампа. Її сила тяжіння — 50 Н. Трос під лампою провисає, і кожна його половина утворює з горизонтальним напрямом кут α = 30°. З якою силою натягнуто трос?

На лампу діють три сили: синя сила тяжіння $\overrightarrow{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}$ вниз і дві червоні сили натягу троса ${\overrightarrow{F}}_1$ та ${\overrightarrow{F}}_2$, кожна вздовж своєї половини троса. Лампа висить у спокої, тому сили перебувають у рівновазі. Обидві половини нахилені однаково, тому тягнуть однаково великою силою. Її позначимо F. Похилі сили, однак, не спрямовані проти сили тяжіння, тож безпосередньо порівняти їх із нею не можна. Тому кожну з них розкладемо на горизонтальну та вертикальну складові.

Горизонтальні складові обох сил однакові за модулем і спрямовані назустріч одна одній, тому компенсують одна одну. Вертикальні складові спрямовані обидві вгору й разом мусять зрівноважити всю силу тяжіння лампи, тож на кожну припадає половина. З прямокутного трикутника на рисунку вертикальна складова дорівнює F_y = F · sin α, а отже,

$$F\cdot \sin \alpha =\frac{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}{2}.$$

Обидві частини поділимо на синус:

$$F=\frac{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}{2\cdot \sin \alpha }$$

Підставимо, sin 30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{Н}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{Н}$$

Перевіримо, що сили справді тримають лампу в рівновазі. Вертикальна складова кожної з них дорівнює F_y = 50 Н · 0,5 = 25 Н, дві разом дають 50 Н, точно модуль сили тяжіння лампи. Горизонтальна складова дорівнює F_x = F · cos α ≈ 50 Н · 0,866 ≈ 43 Н і компенсується такою самою складовою другої половини троса.

Кожна половина троса тягне із силою 50 Н, тобто з такою самою, ніби лампа висіла б на єдиному вертикальному тросі. Дві половини троса, а навантаження вони не поділили. Ось тобі й маєш. Річ у тім, що кожна половина тягне здебільшого вбік, проти половини троса від другого будинку, а вгору спрямована лише її вертикальна складова 25 Н.

Чому трос не можна натягнути рівно

Провислий трос виглядає негарно, тому монтер натягує його міцніше. Кут α зменшується. Що станеться із силою в тросі? У формулі синус стоїть у знаменнику, а синус малого кута — мале число. Для 10° маємо sin 10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{Н}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{Н}$$

Трос тепер натягнутий майже втричі більшою силою, хоча лампа важить стільки ж.

Рисунок показує ту саму лампу з великим і з малим провисанням. Синя сила тяжіння в обох випадках однакової довжини, червоні сили натягу троса за малого провисання значно довші. Інші значення обчислить калькулятор:

За провисання лише на один градус кожна половина тягне із силою понад 1 400 Н, ніби на ній висіли б двоє дорослих людей. І все це заради лампи масою приблизно п'ять кілограмів. Майже вся ця додаткова сила спрямована горизонтально й стягує будинки одне до одного.

Зовсім рівно трос не натягне ніхто. За кута α = 0° обидві сили були б горизонтальними, їхні вертикальні складові були б нульовими, і лампу вгору не тримало б узагалі нічого. Хоч як сильно ми тягли б трос, під лампою він усе одно трохи провисав би. Тому провисає і мотузка з білизною, і тросик із фіранкою, а хто захоче натягнути їх як струну, радше їх порве.

Лампа висить у спокої, бо сили, що на неї діють, компенсують одна одну. Але тіло з нульовою рівнодійною не мусить лише стояти. Чому шайба по льоду їде й далі та чому тебе в автобусі, що гальмує, кидає вперед, пояснить наступна стаття — Перший закон Ньютона.