Kraft

Du sparkar till en boll på gräsmattan och bollen flyger iväg. Målvakten fångar den och bollen stannar. Du klämmer på en gummiboll i handen och den trycks ihop. I vart och ett av fallen verkar en kraft på ett föremål. En kraft är det som ändrar ett föremåls rörelse eller form: den sätter det i rörelse, stoppar det, ökar eller minskar farten, ändrar riktningen eller trycker ihop, sträcker eller böjer det.

En kraft är alltid en påverkan från ett föremål på ett annat. Foten verkar på bollen, handen på gummibollen och sätet på din rygg när bilen rivstartar. Föremålen behöver inte ens vidröra varandra. En magnet drar till sig en spik på avstånd och Jorden drar till sig allt omkring sig, också en boll som flyger genom luften. Kraften som Jorden drar till sig föremål med kallas tyngdkraft och betecknas F_g. Den ska vi ägna oss åt mer ingående senare, nu visar vi hellre hur stor en kraft egentligen är.

Hur stor är en newton

Kraft betecknas F, av engelskans force, och dess enhet är newton N, uppkallad efter Isaac Newton. Skriven med grundenheter blir det

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Varför just kilogram gånger meter per sekund i kvadrat får du veta när vi kommer till Newtons lagar.

Hur ska man föreställa sig den? Lägg en chokladkaka på 100 gram i handflatan. Den trycker mot handen med ungefär 1 N, mer exakt drar Jorden i den med kraften 0,98 N. En liter mjölk, alltså ett kilogram, trycker mot handflatan med ungefär 10 N, en kasse med fem kilo potatis med 50 N och en vuxen människa med massan 70 kg trycker mot golvet med omkring 700 N. Newton är en liten enhet, och därför används ofta kilonewton, 1 kN = 1000 N.

Dynamometer

Kraft mäter vi med en dynamometer. Inuti finns en fjäder med en krok i änden. Ju större kraft vi drar i kroken med, desto mer sträcks fjädern. Dubbel kraft sträcker den dubbelt så mycket, så det räcker att rita en skala i newton bredvid fjädern.

Den första dynamometern är tom, på den andra hänger en chokladkaka, på den tredje två. Den röda pilen är kraften som chokladen drar i kroken med. Två kakor drar med dubbel kraft och fjädern sträcks dubbelt så mycket, från noll till två. På samma princip fungerar hängande bagagevågar, bara med skalan omräknad till kilogram.

Kraft som vektor

Att säga ”jag trycker med kraften 50 N” räcker inte. Det viktiga är också åt vilket håll: en vagn som du trycker framåt åker åt ett annat håll än en som du drar bakåt. Kraft är en vektor, den har både storlek och riktning, och skrivs med en pil, $\overrightarrow{F}$. Bara F utan pil är dess storlek.

För en kraft räcker det dock inte med storlek och riktning. Lägg en bok på ett bord och knuffa till den med ett finger mitt på bokryggen, så att kraften pekar mot bokens mitt. Boken glider rakt fram. Knuffa sedan lika hårt och i samma riktning, men vid ett hörn. Boken glider fram och vrids dessutom. Det spelar nämligen också roll var kraften verkar på föremålet. Den punkten kallar vi angreppspunkt. En kraft har alltså tre egenskaper:

• angreppspunkt, den punkt där kraften verkar på föremålet,
• riktning, åt vilket håll kraften pekar,
• storlek, hur många newton den är.

Kraftpilen ritar vi därför alltid från dess angreppspunkt. Den pekar i kraftens riktning och dess längd motsvarar storleken i skala.

Vi ser båda böckerna uppifrån, med bokryggen nedåt. De röda pilarna är lika långa och pekar åt samma håll, de skiljer sig bara i angreppspunkt. Vi ritar dem i böckernas startläge, som visas av den grå streckade konturen, eftersom kraften bara verkar under själva knuffen. Sedan glider böckerna över bordet tills friktionen stoppar dem. Den vänstra boken, där kraften pekar mot mitten, glider rakt fram, den högra glider fram och vrids. En vanlig vektorpil kan vi flytta fritt på papperet, men om vi flyttar en kraftpil kan vi ändra vad kraften gör med föremålet. Om föremålet däremot inte roterar och vi kan betrakta det som en punktformig kropp, verkar alla krafter i en och samma punkt och vi behöver inte bry oss om angreppspunkten. Så gör vi i de följande exemplen.

Addition av krafter

En båt guppar lätt en bit från bryggan. Isak drar den med en lina mot bryggan åt norr med kraften 40 N, Elias drar från land med en andra lina åt öster med kraften 30 N. Båda linorna är knutna i fören. Åt vilket håll drar de två tillsammans och hur hårt?

Krafter som verkar på ett föremål i en punkt kan vi ersätta med en enda kraft med samma verkan. Den kallas resultant och är vektorsumman av alla krafter:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

Vi ritar pilarna från fören och kompletterar dem till ett parallellogram. Krafterna är vinkelräta mot varandra, så parallellogrammet är en rektangel. Resultanten är dess gröna diagonal. Tillsammans med den röda pilen och rektangelns övre sida, som är lika lång som den blå pilen, bildar den en rätvinklig triangel, och därför beräknar vi dess storlek med Pythagoras sats:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Vi sätter in:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

Vi kvadrerar och adderar:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Och drar roten ur:

$$F=50\mathrm{N}$$

Tillsammans drar de båten med kraften 50 N, inte 70 N. Det ligger nära till hands att bara addera storlekarna, men var och en drar åt ett eget håll. Resultanten blir längre än var och en av krafterna för sig, men kortare än deras summa.

Vi måste också bestämma riktningen. Låt α vara vinkeln mellan resultanten och Isaks lina. Mitt emot den ligger rektangelns sida som är lika lång som Elias kraft, så

$$\sin \alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

Med knappen sin⁻¹ på räknaren får vi α ≈ 37°. Resultanten pekar mot norr, vriden 37° mot öster.

Om Isak och Elias drog åt samma håll skulle deras storlekar adderas till 70 N. Om de drog precis mot varandra skulle de subtraheras och resultanten 10 N skulle peka mot Isak. Vid varje annan vinkel mellan linorna ligger resultanten någonstans mellan 10 N och 70 N, och ju mindre vinkel linorna bildar, desto större är den.

Kraftjämvikt

Vad händer om resultanten blir noll? Då tar krafterna ut varandra och föremålet beter sig som om ingen kraft verkade på det. Vi säger att krafterna är i jämvikt.

En lampa hänger i en sladd från taket och är i vila. Jorden drar den nedåt med tyngdkraften och sladden drar den uppåt med lika stor kraft, så resultanten är noll. Jämvikt betyder inte att ingenting verkar på lampan. Två krafter verkar på den, men deras verkan tar ut varandra. Hur kraftjämvikt visar sig i ett föremåls rörelse beskriver Newtons första lag.

Lampa mitt på en lina

Över en gata är en lina spänd mellan två hus, och mitt på den hänger en lampa. Lampans tyngdkraft är 50 N. Linan hänger ner under lampan och varje halva bildar vinkeln α = 30° med horisontalen. Med hur stor kraft är linan spänd?

På lampan verkar tre krafter: den blå tyngdkraften $\overrightarrow{F_g}$ nedåt och två röda linkrafter ${\overrightarrow{F}}_1$ och ${\overrightarrow{F}}_2$, vardera längs sin linhalva. Lampan hänger i vila, och därför är krafterna i jämvikt. De båda halvorna lutar lika mycket och drar därför med lika stor kraft. Den kallar vi F. De sneda krafterna är dock inte motriktade tyngdkraften, så vi kan inte jämföra dem direkt med den. Därför delar vi upp var och en i en vågrät och en lodrät komposant.

De vågräta komposanterna är lika stora och pekar mot varandra, så de tar ut varandra. De lodräta pekar båda uppåt och måste tillsammans balansera hela lampans tyngdkraft, så var och en står för hälften. Ur den rätvinkliga triangeln i figuren är den lodräta komposanten F_y = F · sin α, och därför

$$F\cdot \sin \alpha =\frac{F_g}{2}.$$

Vi dividerar båda leden med sinus:

$$F=\frac{F_g}{2\cdot \sin \alpha }$$

Vi sätter in, sin 30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Låt oss kontrollera att krafterna verkligen håller lampan i jämvikt. Den lodräta komposanten av vardera är F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, två tillsammans ger 50 N, precis lika mycket som lampans tyngdkraft. Den vågräta komposanten är F_x = F · cos α ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N och tas ut av den lika stora komposanten från den andra linhalvan.

Varje linhalva drar med kraften 50 N, alltså lika mycket som om lampan hängde i en enda lodrät lina. Två linhalvor, och ändå delade de inte på lasten. Lurigt. Varje linhalva drar nämligen mest åt sidan, mot linhalvan från det andra huset, och uppåt pekar bara dess lodräta komposant 25 N.

Varför linan inte går att spänna helt rak

En slak lina ser ful ut, så montören spänner den hårdare. Vinkeln α blir mindre. Vad händer med kraften i linan? I formeln står sinus i nämnaren, och sinus för en liten vinkel är ett litet tal. För 10° är sin 10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

Linan är nu spänd med nästan tre gånger så stor kraft, fast lampan väger lika mycket.

Figuren visar samma lampa med stort och med litet nedhäng. Den blå tyngdkraften är lika lång i båda fallen, de röda linkrafterna är mycket längre vid litet nedhäng. Fler värden får du med en räknare:

Vid ett nedhäng på bara en grad drar varje halva med över 1400 N, som om två vuxna människor hängde i den. Och allt det på grund av en lampa på ungefär fem kilogram. Nästan hela den kraften pekar dessutom vågrätt och drar husen mot varandra.

Ingen kan spänna linan helt rak. Vid vinkeln α = 0° skulle båda krafterna peka vågrätt, deras lodräta komposanter skulle vara noll och ingenting alls skulle hålla lampan uppåt. Hur hårt linan än spändes skulle lampan alltid få den att hänga ner åtminstone lite. Därför hänger också en tvättlina eller en lina med en gardin ner något, och den som vill spänna dem som en sträng får dem snarare att gå av.

Lampan hänger i vila eftersom krafterna som verkar på den tar ut varandra. Men ett föremål med resultanten noll behöver inte bara stå still. Varför en puck på isen glider vidare och vidare och varför du kastas framåt i en bromsande buss förklarar nästa artikel, Newtons första lag.