Forza

Dai un calcio a un pallone sul prato e il pallone parte. Il portiere lo blocca e il pallone si ferma. Stringi nel palmo una pallina di gomma e quella si schiaccia. In ognuno di questi casi qualcosa esercita una forza sul corpo. La forza è ciò che cambia il moto di un corpo o la sua forma: lo mette in movimento, lo ferma, lo accelera, lo rallenta, lo devia, oppure lo comprime, lo allunga o lo piega.

La forza è sempre l’azione di un corpo su un altro. Il piede agisce sul pallone, la mano sulla pallina e il sedile sulla tua schiena quando l’auto parte di scatto. I corpi non hanno nemmeno bisogno di toccarsi. Una calamita attira un chiodo a distanza e la Terra attira tutto ciò che la circonda, anche il pallone che vola in aria. La forza con cui la Terra attira i corpi si chiama forza peso e si indica con F_P. Ce ne occuperemo in dettaglio più avanti; per ora vediamo piuttosto quanto è grande una forza.

Quanto vale un newton

La forza si indica con F, dall’inglese force, e la sua unità di misura è il newton N, che prende il nome da Isaac Newton. Scritto con le unità fondamentali diventa

$$\mathrm{N}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Perché proprio chilogrammo per metro al secondo quadrato lo scoprirai con i principi della dinamica.

Come farsene un’idea? Appoggia sul palmo una tavoletta di cioccolato da cento grammi. Preme sulla mano con una forza di circa 1 N; più precisamente la Terra la attira con una forza di 0,98 N. Un litro di latte, che è un chilogrammo, preme sul palmo con circa 10 N, una busta con cinque chilogrammi di patate con 50 N e un adulto di massa 70 kg preme sul pavimento con una forza di circa 700 N. Il newton è un’unità piccola, perciò si usa spesso il kilonewton, 1 kN = 1000 N.

Il dinamometro

La forza si misura con il dinamometro. Dentro c’è una molla che termina con un gancio. Più forte tiri il gancio, più la molla si allunga. Una forza doppia la allunga il doppio, perciò basta disegnare accanto alla molla una scala in newton.

Il primo dinamometro è scarico, al secondo è appesa una tavoletta di cioccolato, al terzo due. La freccia rossa è la forza con cui il cioccolato tira il gancio. Due tavolette tirano con una forza doppia e la molla si allunga del doppio, da zero fino a due. Sullo stesso principio funzionano anche le bilance a molla per i bagagli, solo che la loro scala è già convertita in chilogrammi.

La forza come vettore

Dire «spingo con una forza di 50 N» non basta. Conta anche la direzione: un carrello che spingi in avanti va da una parte diversa rispetto a uno che tiri indietro. La forza è un vettore, ha un modulo e una direzione, e si scrive con la freccia, $\overrightarrow{F}$. La lettera F da sola, senza freccia, indica il suo modulo.

Per una forza, però, non bastano nemmeno il modulo e la direzione. Appoggia un libro sul tavolo e spingilo con un dito a metà del dorso, in modo che la forza sia diretta verso il centro del libro. Il libro scivola in avanti in linea retta. Poi spingilo con la stessa forza e nella stessa direzione, ma vicino a un angolo. Il libro scivola e in più ruota. Conta infatti anche dove la forza agisce sul corpo. Questo punto si chiama punto di applicazione. Dunque una forza ha tre caratteristiche:

• il punto di applicazione, il punto in cui la forza agisce sul corpo,
• la direzione, verso dove punta la forza,
• il modulo, quanti newton vale.

La freccia della forza si traccia perciò sempre a partire dal suo punto di applicazione. È diretta come la forza e la sua lunghezza corrisponde in scala al modulo.

Vediamo i due libri dall’alto, con il dorso in basso. Le frecce rosse hanno la stessa lunghezza e la stessa direzione, cambia solo il punto di applicazione. Le disegniamo nella posizione iniziale dei libri, indicata dal contorno grigio tratteggiato, perché la forza agisce solo nell’istante della spinta. Poi i libri scivolano sul tavolo finché l’attrito non li ferma. Il libro a sinistra, spinto con una forza diretta verso il centro, scivola in linea retta, quello a destra scivola e ruota. La freccia di un vettore qualsiasi si può spostare a piacere sul foglio, ma spostando la freccia di una forza possiamo cambiare quello che la forza fa al corpo. Se però il corpo non ruota e ci basta considerarlo un punto materiale, tutte le forze agiscono in un solo punto e del punto di applicazione non dobbiamo preoccuparci. Così faremo negli esempi che seguono.

Somma delle forze

Una barchetta dondola pigramente vicino al molo. Davide, con una fune, la tira verso il molo, a nord, con una forza di 40 N; Matteo, dalla riva, la tira verso est con un’altra fune e una forza di 30 N. Entrambe le funi sono legate a prua. Dove la tirano tutti e due insieme, e con quale forza?

Le forze che agiscono su un corpo in un unico punto si possono sostituire con una sola forza che ha lo stesso effetto. Si chiama risultante ed è la somma vettoriale di tutte le forze:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$$

Riportiamo le frecce a partire dalla prua e completiamo il parallelogramma. Le forze sono perpendicolari, quindi il parallelogramma è un rettangolo. La risultante è la sua diagonale verde. Insieme alla freccia rossa e al lato superiore del rettangolo, lungo quanto la freccia blu, forma un triangolo rettangolo, perciò il suo modulo si calcola con il teorema di Pitagora:

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

Sostituiamo:

$$F=\sqrt{(40\mathrm{N}{)}^2+(30\mathrm{N}{)}^2}$$

Eleviamo al quadrato e sommiamo:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{1600{\mathrm{N}}^2+900{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{2500{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

E infine estraiamo la radice:

$$F=50\mathrm{N}$$

In tutto tirano la barchetta con una forza di 50 N, non di 70 N. Verrebbe naturale sommare semplicemente i moduli, ma ognuno tira da una parte diversa. La risultante è più lunga di ciascuna delle due forze, ma più corta della loro somma.

Dobbiamo ancora determinare la direzione. Indichiamo con α l’angolo tra la risultante e la fune di Davide. Di fronte a esso c’è il lato del rettangolo lungo quanto la forza di Matteo, quindi

$$\mathrm{sen}\alpha =\frac{F_2}{F}=\frac{30\mathrm{N}}{50\mathrm{N}}=0,6.$$

La calcolatrice con il tasto sen⁻¹ dà α ≈ 37°. La risultante punta a nord, deviata di 37° verso est.

Se Davide e Matteo tirassero nella stessa direzione, i moduli si sommerebbero fino a 70 N. Se tirassero esattamente in versi opposti, si sottrarrebbero e la risultante di 10 N punterebbe verso Davide. Per qualunque altro angolo tra le funi la risultante sta tra 10 N e 70 N, ed è tanto maggiore quanto più piccolo è l’angolo tra le funi.

Equilibrio delle forze

E se la risultante è nulla? Allora le forze si annullano a vicenda e il corpo si comporta come se su di esso non agisse alcuna forza. Diciamo che le forze sono in equilibrio.

Una lampada è appesa al soffitto con un filo ed è ferma. La Terra la tira verso il basso con la forza peso e il filo la tira verso l’alto con una forza di pari modulo, quindi la risultante è nulla. L’equilibrio non significa che sulla lampada non agisca nulla. Su di essa agiscono due forze, ma i loro effetti si annullano. Come l’equilibrio delle forze si manifesta nel moto di un corpo lo descrive il primo principio della dinamica.

Lampada su due cavi

Sopra una strada, tra due case, è teso un cavo e al centro è appesa una lampada. La sua forza peso è 50 N. Sotto la lampada il cavo si incurva e ciascuna delle sue metà forma con la direzione orizzontale un angolo α = 30°. Con quale forza è teso il cavo?

Sulla lampada agiscono tre forze: la forza peso $\overrightarrow{F_P}$ blu verso il basso e le due forze rosse dei cavi ${\overrightarrow{F}}_1$ e ${\overrightarrow{F}}_2$, ciascuna lungo la propria metà del cavo. La lampada è ferma, perciò le forze sono in equilibrio. Le due metà hanno la stessa inclinazione, quindi tirano con forze dello stesso modulo. La indichiamo con F. Le forze oblique però non sono dirette in verso opposto alla forza peso, quindi non possiamo confrontarle direttamente con essa. Per questo scomponiamo ciascuna in una componente orizzontale e una verticale.

Le componenti orizzontali delle due forze hanno lo stesso modulo e versi opposti, perciò si annullano. Le componenti verticali sono entrambe rivolte verso l’alto e insieme devono equilibrare tutta la forza peso della lampada, quindi a ciascuna ne tocca metà. Dal triangolo rettangolo della figura, la componente verticale è F_y = F · senα, e quindi

$$F\cdot \mathrm{sen}\alpha =\frac{F_P}{2}.$$

Dividiamo entrambi i membri per il seno:

$$F=\frac{F_P}{2\cdot \mathrm{sen}\alpha }$$

Sostituiamo, sen30° = 0,5:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot 0,5}=50\mathrm{N}$$

Verifichiamo che le forze tengano davvero la lampada in equilibrio. La componente verticale di ciascuna è F_y = 50 N · 0,5 = 25 N, le due insieme danno 50 N, esattamente il modulo della forza peso della lampada. La componente orizzontale è F_x = F · cos α ≈ 50 N · 0,866 ≈ 43 N e si annulla con la componente di pari modulo dell’altra metà del cavo.

Ogni metà del cavo tira con una forza di 50 N, cioè la stessa che servirebbe se la lampada fosse appesa a un solo cavo verticale. Due metà di cavo, eppure non si sono divise il carico. Ecco il tranello. Ogni cavo infatti tira soprattutto di lato, contro la metà di cavo che parte dall’altra casa, e verso l’alto è diretta solo la sua componente verticale di 25 N.

Perché un cavo non si può tendere dritto

Un cavo incurvato fa un brutto effetto, perciò il montatore lo tende di più. L’angolo α diminuisce. Che cosa succede alla forza nel cavo? Nella formula il seno sta al denominatore e il seno di un angolo piccolo è un numero piccolo. Per 10° è sen10° ≈ 0,174:

$$F=\frac{50\mathrm{N}}{2\cdot \mathrm{0,174}}\approx 144\mathrm{N}$$

Ora il cavo è teso con una forza quasi tre volte maggiore, anche se la lampada pesa come prima.

La figura mostra la stessa lampada con una curvatura grande e con una piccola. La forza peso blu è lunga uguale nei due casi, le forze rosse dei cavi sono molto più lunghe quando la curvatura è piccola. Gli altri valori li calcola la calcolatrice:

Con una curvatura di un solo grado, ogni metà tira con più di 1400 N, come se ci fossero appesi due adulti. E tutto questo per una lampada di circa cinque chilogrammi. Quasi tutta questa forza in più è diretta in orizzontale e tira le case una verso l’altra.

Nessuno riesce a tendere un cavo perfettamente dritto. Per un angolo α = 0° entrambe le forze sarebbero orizzontali, le loro componenti verticali sarebbero nulle e niente reggerebbe la lampada verso l’alto. Per quanto forte tirasse il cavo, la lampada lo farebbe sempre incurvare almeno un po’. Per questo si incurva anche la corda con il bucato o il filo della tenda, e chi volesse tenderli come una corda di chitarra rischierebbe piuttosto di spezzarli.

La lampada è ferma perché le forze che agiscono su di essa si annullano. Ma un corpo con risultante nulla non deve per forza stare fermo. Perché un disco di hockey scivola sul ghiaccio senza fermarsi e perché su un autobus che frena vieni sbalzato in avanti lo spiega il prossimo articolo, il primo principio della dinamica.