Troisième loi de Newton

La patineuse Adèle est debout sur la glace face à la bande, elle y appuie les paumes et pousse. Elle s’éloigne de la bande à reculons. Personne ne l’a poussée, c’est elle qui a poussé, et sur la bande, pas sur elle-même. Or un corps ne se met pas en mouvement tout seul, quelque chose doit agir sur lui avec une force. Qui a donc poussé Adèle ? La bande.

La silhouette grise est Adèle à l’instant de la poussée. Adèle pousse la bande de ses paumes avec la force rouge ${\overrightarrow{F}}_1$ et, au même moment, la bande pousse ses paumes avec la force bleue ${\overrightarrow{F}}_2$. Les deux flèches ont la même longueur et sont de sens opposés. Les repères orange sur la glace enregistrent la position d’Adèle après chaque demi-seconde. Le premier écart est plus court, parce que pendant la poussée Adèle ne fait qu’accélérer. Ensuite, elle avance par inertie à vitesse constante, et les écarts sont donc égaux. Pour simplifier, nous négligeons les frottements des patins.

Le principe des actions réciproques

Isaac Newton l’a écrit en 1687 dans les Principia ainsi (traduit du latin) :

À toute action s’oppose toujours une réaction égale. Autrement dit, les actions mutuelles de deux corps sont toujours égales et dirigées en sens contraires.

En termes d’aujourd’hui : si un corps exerce une force sur un autre, le second exerce sur le premier une force de même valeur et de sens opposé :

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

Le signe moins devant le vecteur indique que le sens est opposé, les valeurs sont égales, F₂ = F₁. On appelle l’une des forces l’action, l’autre la réaction, et peu importe laquelle. Les deux apparaissent et disparaissent en même temps, aucune n’est la première. Une force est en effet toujours une action mutuelle de deux corps, et c’est pourquoi les forces vont toujours par paires. Une force solitaire, sans sa partenaire, n’existe pas.

Une paire action-réaction a trois caractéristiques :

• les deux forces ont la même valeur,
• elles ont des sens opposés,
• chacune s’exerce sur un corps différent.

La troisième caractéristique est la plus importante, et c’est sur elle qu’on se trompe le plus souvent. Adèle pousse la bande, la bande pousse Adèle. Seule la force de la bande influence le mouvement d’Adèle, car des deux forces, seule celle-là s’exerce sur elle.

Calculons. Adèle a une masse de 40 kg et la bande la pousse avec une force de 80 N. D’après le principe fondamental de la dynamique, nous obtenons l’accélération :

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Si la poussée dure une demi-seconde, Adèle part à 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Et pourquoi la bande n’est-elle pas partie ? Adèle la pousse avec la même force de 80 N. Mais la bande est solidement liée à la patinoire et celle-ci à la Terre, c’est donc la Terre entière, de masse d’environ 6 · 10²⁴ kg, qui reçoit la force :

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Personne ne mesurera jamais une telle accélération. Les forces sont les mêmes, mais pas les effets, parce qu’elles s’exercent sur des corps de masses très différentes.

C’est la même chose quand une mouche heurte le pare-brise d’une voiture en marche. On dirait que la voiture a frappé la mouche avec une force bien plus grande que la mouche la voiture. Mais les forces ont la même valeur, la mouche pousse le pare-brise avec la même force que le pare-brise la mouche. Seulement, la mouche a une masse d’une fraction de gramme, et la même force lui donne donc une accélération énorme, à laquelle elle ne survit pas. La voiture, d’une tonne et plus, est ralentie par la même force si peu que le conducteur ne le remarque pas.

Le paradoxe du cheval et de la charrette

Un cheval tire une charrette. Mais d’après la troisième loi, la charrette tire le cheval en arrière avec une force de même valeur. Les forces ont la même valeur et sont opposées, elles s’annulent donc et rien ne devrait bouger. Comment se fait-il que le cheval et la charrette démarrent quand même ?

On répond souvent que le cheval tire la charrette plus fort que la charrette ne tire le cheval. Mais ce n’est pas le cas : les deux forces ont la même valeur à chaque instant, au démarrage, en route et à l’arrêt. L’erreur est dans le mot « s’annulent ». Seules des forces qui s’exercent sur le même corps peuvent s’additionner et s’annuler. La force du cheval s’exerce sur la charrette, la force de la charrette s’exerce sur le cheval. Chacune appartient à un corps différent, et elles n’ont donc aucun moyen de s’annuler.

Si nous voulons savoir si la charrette démarre, nous ne regardons que les forces qui s’exercent sur la charrette. Le cheval la tire vers l’avant avec la force rouge ${\overrightarrow{F}}_1$ et la résistance au roulement la freine avec la force orange ${\overrightarrow{F}}_4$. Si la traction l’emporte sur la résistance, la charrette accélère. La force bleue ${\overrightarrow{F}}_2$, avec laquelle la charrette tire le cheval, n’y entre pas, elle s’exerce sur le cheval.

Deux forces horizontales s’exercent sur le cheval. La charrette le tire vers l’arrière avec la force ${\overrightarrow{F}}_2$ et le sol le pousse vers l’avant avec la force verte ${\overrightarrow{F}}_3$. Le cheval, en effet, s’arc-boute sur le sol avec ses sabots et le pousse vers l’arrière, et le sol le pousse vers l’avant, d’après la troisième loi. Le cheval démarre quand le sol le pousse plus fort que la charrette ne le tire en arrière.

Maintenant avec des nombres. La charrette a une masse de 400 kg, le cheval de 600 kg. Le cheval tire la charrette avec une force de 400 N, la résistance est de 200 N. La résultante sur la charrette est 400 N − 200 N = 200 N et l’accélération de la charrette

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Le cheval doit accélérer de la même façon, sinon la charrette le dépasserait ou resterait en arrière. La résultante sur le cheval doit donc être 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N. La charrette le tire vers l’arrière avec 400 N, le sol doit donc le pousser vers l’avant avec une force de 400 N + 300 N = 700 N.

C’est donc le sol qui fait démarrer tout l’attelage. Il pousse le cheval et le cheval tire la charrette. Sur le verglas, où les sabots n’ont rien sur quoi s’appuyer, le cheval ne ferait que gratter et la charrette ne bougerait même pas.

La marche, la voiture et la nage

Nous marchons exactement de la même façon. À chaque pas, le pied pousse le sol vers l’arrière et le sol te pousse vers l’avant. Seule la force du sol te fait avancer, les jambes seules ne te mèneraient nulle part. Sur la glace, le pied glisse sur le sol, on ne peut pas le pousser vers l’arrière, et c’est pourquoi on y marche si mal. Le sol reçoit de toi une force de même valeur vers l’arrière, il est seulement si massif que tu ne peux pas le déplacer. De même pour un saut. Les jambes poussent le sol vers le bas et le sol te pousse vers le haut, et tant que le sol te pousse plus fort que la Terre ne te tire vers le bas, tu accélères vers le haut. Dès que tu décolles, la force du sol disparaît et il ne reste que le poids, qui te ramène vers le bas.

La voiture se comporte de façon semblable. Le moteur fait tourner les roues et les pneus poussent la route vers l’arrière. La route, d’après la troisième loi, pousse la voiture vers l’avant. La force qu’on appelle la traction du moteur est donc en réalité exercée sur la voiture par la route, le moteur ne fait que faire tourner les roues. C’est pourquoi une voiture aux roues qui patinent sur le verglas ne démarre presque pas, même si le moteur rugit à fond.

Le nageur fait la même chose avec l’eau. Avec les bras et les jambes, il la repousse vers l’arrière et l’eau le pousse vers l’avant. Les rames d’une barque poussent aussi l’eau vers l’arrière, l’hélice d’un avion l’air.

La fusée

Une fusée, elle, semble n’avoir rien sur quoi s’appuyer. Dans l’espace, il n’y a ni sol, ni eau, ni air. Mais la fusée emporte avec elle ce sur quoi elle s’appuie. Le moteur brûle le carburant et expulse les gaz chauds ainsi formés par la tuyère vers l’arrière à grande vitesse. La fusée pousse les gaz vers l’arrière, les gaz poussent la fusée vers l’avant.

Selon une erreur répandue, la fusée s’appuierait sur l’air derrière elle. Ce n’est pas le cas, l’air environnant la gêne plutôt, et son moteur pousse donc même un peu mieux dans le vide qu’au sol. Un ballon de baudruche gonflé que tu lâches vole sur le même principe. L’air s’en échappe vers l’arrière et le ballon vole vers l’avant. Les pompiers qui tiennent une lance à incendie en font l’expérience. La lance projette l’eau vers l’avant, l’eau pousse la lance vers l’arrière, et ils doivent donc bien s’arc-bouter.

Le livre sur la table

Sur la table se trouve un dictionnaire de masse 2 kg. La Terre le tire vers le bas avec le poids

$$P=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

Mais le dictionnaire ne tombe pas, une autre force doit donc s’exercer sur lui, et vers le haut. C’est la force avec laquelle le plateau de la table pousse le dictionnaire par en dessous. On l’appelle la réaction normale du support $\overrightarrow{R_N}$, parce qu’elle est perpendiculaire au support et qu’une perpendiculaire s’appelle en mathématiques une normale. Le dictionnaire est immobile, la résultante est nulle, et la réaction normale a donc la même valeur que le poids, R_N ≈ 19,6 N.

Le poids bleu et la réaction normale verte ont la même valeur et sont opposés. Est-ce une paire action-réaction ? Non. Les deux s’exercent sur le même corps, le dictionnaire, alors qu’une action et sa réaction s’exercent toujours sur deux corps différents. Le poids et la réaction normale sont deux forces différentes en équilibre. Qu’elles aient la même valeur découle du principe d’inertie, pas du principe des actions réciproques.

Où sont donc les réactions ? Chacune des deux forces a la sienne :

• la table pousse le dictionnaire vers le haut avec la réaction normale $\overrightarrow{R_N}$ et le dictionnaire pousse la table vers le bas avec la force ${\overrightarrow{R_N}}^{\prime }$,
• la Terre tire le dictionnaire vers le bas avec le poids $\overrightarrow{P}$ et le dictionnaire tire la Terre vers le haut avec une force de même valeur.

Sur la figure, le dictionnaire est un peu soulevé, pour qu’on voie quelle force s’exerce sur quel corps. La réaction normale verte s’exerce sur le dictionnaire, la force rouge ${\overrightarrow{R_N}}^{\prime }$ sur la table.

La différence se voit bien si tu appuies sur le dictionnaire d’en haut avec la paume, avec une force de 10 N. Le poids ne change pas, la Terre tire le dictionnaire toujours de la même façon. Mais la table retient maintenant le dictionnaire contre le poids et contre la paume, et la réaction normale augmente :

$$R_N=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

La réaction à cette force augmente de la même façon : le dictionnaire pousse aussi la table avec une force de 29,6 N. Le poids et la réaction normale n’étaient donc égaux que parce que rien d’autre ne poussait sur le dictionnaire, alors que l’action et la réaction ont toujours la même valeur.

Une paire action-réaction se reconnaît le mieux à la phrase qui le décrit. « La table pousse le dictionnaire » et « le dictionnaire pousse la table » forment une paire, on a seulement échangé les corps dans la phrase. « La Terre tire le dictionnaire » et « la table pousse le dictionnaire » ne forment pas une paire, car dans les deux phrases, on agit sur le dictionnaire.

Le poids nous a accompagnés du saut jusqu’au dictionnaire sur la table. En quoi il diffère du poids apparent, ce qu’affiche en fait la balance de la salle de bains et pourquoi nous sommes plus lourds dans un ascenseur qui démarre vers le haut, c’est ce qu’expliquera l’article suivant, Poids et poids apparent.