Terzo principio della dinamica

La pattinatrice Adele sta sul ghiaccio di fronte alla balaustra, vi appoggia i palmi e si dà una spinta. Parte all’indietro, allontanandosi dalla balaustra. Nessuno l’ha spinta: ha spinto lei, e contro la balaustra, non contro se stessa. Ma un corpo non si mette in moto da solo, qualcosa deve agire su di esso con una forza. Chi ha spinto allora Adele? La balaustra.

La figura grigia è Adele nell’istante della spinta. Adele spinge con i palmi sulla balaustra con la forza rossa ${\overrightarrow{F}}_1$ e la balaustra nello stesso momento spinge sui suoi palmi con la forza blu ${\overrightarrow{F}}_2$. Le due frecce hanno la stessa lunghezza e verso opposto. I segni arancioni sul ghiaccio registrano la posizione di Adele dopo ogni mezzo secondo. La prima distanza è più corta, perché durante la spinta Adele sta ancora accelerando. Poi procede per inerzia a velocità costante, e per questo le distanze sono uguali. L’attrito dei pattini per semplicità lo trascuriamo.

Il principio di azione e reazione

Isaac Newton lo scrisse nel 1687 nei Principia così (nella traduzione dal latino):

A ogni azione si oppone sempre una reazione uguale. Ovvero le mutue azioni di due corpi sono sempre uguali e dirette in versi opposti.

Con parole di oggi: se un corpo esercita una forza su un altro, il secondo corpo esercita sul primo una forza di pari modulo e verso opposto:

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

Il segno meno davanti al vettore dice che il verso è opposto, i moduli sono uguali, F₂ = F₁. Una forza si chiama azione, l’altra reazione, e non importa quale sia quale. Nascono e scompaiono entrambe nello stesso istante, nessuna viene prima. La forza è infatti sempre un’interazione tra due corpi, perciò le forze compaiono sempre a coppie. Una forza isolata, senza la sua compagna, non esiste.

Una coppia azione-reazione ha tre caratteristiche:

• le due forze hanno lo stesso modulo,
• hanno verso opposto,
• ciascuna agisce su un corpo diverso.

La terza caratteristica è la più importante ed è proprio qui che si sbaglia più spesso. Adele spinge sulla balaustra, la balaustra spinge su Adele. Il moto di Adele lo influenza solo la forza della balaustra, perché delle due forze solo quella agisce su di lei.

Calcoliamo. Adele ha una massa di 40 kg e la balaustra la spinge con una forza di 80 N. Dal secondo principio otteniamo l’accelerazione:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Se la spinta dura mezzo secondo, Adele si allontana con una velocità di 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

E perché la balaustra non è partita? Adele spinge su di essa con la stessa forza di 80 N. Ma la balaustra è fissata saldamente allo stadio e questo alla Terra, quindi la forza la riceve tutta la Terra, che ha una massa di circa 6 · 10²⁴ kg:

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Un’accelerazione così non la misurerà mai nessuno. Le forze sono uguali, gli effetti no, perché agiscono su corpi di massa molto diversa.

Lo stesso succede quando una mosca sbatte contro il parabrezza di un’auto in corsa. Verrebbe da dire che l’auto abbia colpito la mosca con una forza molto maggiore di quella della mosca sull’auto. Ma le forze sono uguali, la mosca spinge sul vetro con la stessa forza con cui il vetro spinge sulla mosca. Solo che la mosca ha una massa di una frazione di grammo, perciò la stessa forza le imprime un’accelerazione enorme, a cui non sopravvive. L’auto, di una tonnellata e più, è rallentata dalla stessa forza così poco che il conducente non se ne accorge.

Il paradosso del cavallo e del carro

Un cavallo tira un carro. Secondo il terzo principio, però, il carro tira indietro il cavallo con una forza uguale. Le forze sono uguali e opposte, quindi si annullano e non dovrebbe muoversi niente. Come mai il cavallo e il carro si mettono comunque in moto?

Spesso si risponde che il cavallo tira il carro più forte di quanto il carro tiri il cavallo. Ma non è così: le due forze sono uguali in ogni istante, alla partenza, durante la marcia e durante l’arresto. L’errore sta nella parola «si annullano». Possono sommarsi e annullarsi solo forze che agiscono sullo stesso corpo. La forza del cavallo agisce sul carro, la forza del carro agisce sul cavallo. Ciascuna appartiene a un corpo diverso, quindi non hanno modo di annullarsi.

Se ci chiediamo se il carro si metterà in moto, guardiamo solo le forze che agiscono sul carro. Il cavallo lo tira in avanti con la forza rossa ${\overrightarrow{F}}_1$ e l’attrito volvente lo frena con la forza arancione ${\overrightarrow{F}}_4$. Se la trazione prevale sulla resistenza, il carro accelera. La forza blu ${\overrightarrow{F}}_2$, con cui il carro tira il cavallo, non c’entra: agisce sul cavallo.

Sul cavallo agiscono due forze orizzontali. Il carro lo tira indietro con la forza ${\overrightarrow{F}}_2$ e il suolo lo spinge in avanti con la forza verde ${\overrightarrow{F}}_3$. Il cavallo infatti punta gli zoccoli a terra e spinge il suolo all’indietro, e il suolo, per il terzo principio, lo spinge in avanti. Il cavallo parte quando il suolo lo spinge più di quanto il carro lo tiri indietro.

Ora con i numeri. Il carro ha una massa di 400 kg, il cavallo di 600 kg. Il cavallo tira il carro con una forza di 400 N, la resistenza è di 200 N. La risultante sul carro è 400 N − 200 N = 200 N e l’accelerazione del carro

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Il cavallo deve accelerare nello stesso modo, altrimenti il carro o gli scapperebbe via o resterebbe indietro. La risultante sul cavallo deve quindi essere 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N. All’indietro lo tira il carro con una forza di 400 N, perciò il suolo deve spingerlo in avanti con una forza di 400 N + 300 N = 700 N.

L’intero tiro viene dunque messo in moto dal suolo. Il suolo spinge il cavallo e il cavallo tira il carro. Sul ghiaccio vivo, dove gli zoccoli non hanno appigli, il cavallo scalpiterebbe soltanto e il carro non si muoverebbe affatto.

Camminare, auto e nuoto

Esattamente allo stesso modo camminiamo. Nel passo il piede spinge il suolo all’indietro e il suolo spinge te in avanti. In avanti ti sposta solo la forza del suolo, le gambe da sole non ti porterebbero da nessuna parte. Sul ghiaccio il piede scivola e non riesce a spingere il suolo all’indietro, ed è per questo che lì si cammina così male. Il suolo riceve da te una forza di pari modulo all’indietro, solo che ha una massa tale che non lo sposti. Lo stesso vale per un salto. Le gambe spingono il suolo verso il basso e il suolo spinge te verso l’alto, e finché il suolo ti spinge più di quanto la Terra ti tiri in basso, acceleri verso l’alto. Appena ti stacchi, la forza del suolo scompare e resta solo la forza peso, che ti riporta giù.

L’auto si comporta in modo simile. Il motore fa girare le ruote e i pneumatici spingono la strada all’indietro. La strada, per il terzo principio, spinge l’auto in avanti. La forza chiamata trazione del motore la esercita quindi in realtà la strada sull’auto, il motore fa solo girare le ruote. Per questo un’auto con le ruote che slittano sul ghiaccio vivo quasi non parte, anche se il motore ruggisce a pieno regime.

Il nuotatore fa lo stesso con l’acqua. Con braccia e gambe la respinge all’indietro e l’acqua lo spinge in avanti. Anche i remi di una barca spingono l’acqua all’indietro, l’elica dell’aereo l’aria.

Il razzo

Nel caso del razzo sembra che non ci sia nulla su cui far leva. Nello spazio non c’è né suolo, né acqua, né aria. Ma il razzo si porta dietro ciò su cui fa leva. Il motore brucia il propellente ed espelle all’indietro dall’ugello, a grande velocità, i gas caldi che si formano. Il razzo spinge i gas all’indietro, i gas spingono il razzo in avanti.

Un errore diffuso dice che il razzo si spinge contro l’aria dietro di sé. Non è così: l’aria circostante gli è piuttosto d’intralcio, e il suo motore nel vuoto tira addirittura un po’ meglio che vicino al suolo. Sullo stesso principio vola un palloncino gonfio che lasci andare dalla mano. L’aria esce all’indietro e il palloncino vola in avanti. Lo stesso effetto lo avvertono i vigili del fuoco con la lancia in mano. La lancia spruzza l’acqua in avanti, l’acqua spinge la lancia all’indietro, quindi devono puntarsi bene contro di essa.

Il libro sul tavolo

Sul tavolo c’è un dizionario di massa 2 kg. La Terra lo tira verso il basso con la forza peso

$$F_P=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

Il dizionario però non cade, quindi su di esso deve agire anche un’altra forza, verso l’alto. È la forza con cui il piano del tavolo spinge il dizionario da sotto. Si chiama forza normale $\overrightarrow{F_N}$, perché è perpendicolare all’appoggio, e la perpendicolare in matematica si chiama normale. Il dizionario sta fermo, la risultante è nulla, quindi la forza normale ha lo stesso modulo della forza peso, F_N ≈ 19,6 N.

La forza peso blu e la forza normale verde hanno lo stesso modulo e verso opposto. È una coppia azione-reazione? No. Agiscono entrambe sullo stesso corpo, il dizionario, mentre azione e reazione agiscono sempre su due corpi diversi. La forza peso e la forza normale sono due forze diverse in equilibrio. Il fatto che abbiano lo stesso modulo deriva dal principio d’inerzia, non dal principio di azione e reazione.

Dove sono allora le reazioni? Ciascuna delle due forze ha la sua:

• il tavolo spinge il dizionario verso l’alto con la forza normale $\overrightarrow{F_N}$ e il dizionario spinge il tavolo verso il basso con la forza ${\overrightarrow{F_N}}^{\prime }$,
• la Terra tira il dizionario verso il basso con la forza peso $\overrightarrow{F_P}$ e il dizionario tira la Terra verso l’alto con una forza di pari modulo.

Nella figura il dizionario è sollevato un poco, per far vedere quale forza agisce su quale corpo. La forza normale verde agisce sul dizionario, la forza rossa ${\overrightarrow{F_N}}^{\prime }$ sul tavolo.

La differenza si vede bene se premi sul dizionario dall’alto con il palmo, con una forza di 10 N. La forza peso non cambia, la Terra tira il dizionario sempre allo stesso modo. Ma ora il tavolo regge il dizionario contro la forza peso e contro il palmo, e la forza normale aumenta:

$$F_N=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

Aumenta allo stesso modo anche la reazione, anche il dizionario spinge sul tavolo con una forza di 29,6 N. La forza peso e la forza normale erano dunque uguali solo perché nient’altro premeva sul dizionario, mentre azione e reazione sono uguali sempre.

Una coppia azione-reazione si riconosce meglio dalla frase che la descrive. «Il tavolo spinge il dizionario» e «il dizionario spinge il tavolo» è una coppia, nella frase si scambiano soltanto i corpi. «La Terra tira il dizionario» e «il tavolo spinge il dizionario» non è una coppia, perché in tutte e due le frasi si agisce sul dizionario.

La forza peso ci ha accompagnato dal salto fino al dizionario sul tavolo. In che cosa si distingue dal peso apparente, che cosa mostra davvero la bilancia del bagno e perché in un ascensore che parte verso l’alto siamo più pesanti lo spiega il prossimo articolo, Forza peso e peso apparente.