Drittes newtonsches Gesetz

Die Eisläuferin Anna steht auf dem Eis mit dem Gesicht zur Bande, stützt sich mit den Handflächen daran ab und stößt sich ab. Sie gleitet rückwärts von der Bande weg. Niemand hat sie dabei angestoßen, sie selbst hat gedrückt, und zwar gegen die Bande, nicht gegen sich. Ein Körper setzt sich aber nicht von selbst in Bewegung, etwas muss mit einer Kraft auf ihn wirken. Wer hat also Anna geschoben? Die Bande.

Die graue Figur ist Anna im Augenblick des Abstoßens. Anna drückt mit den Handflächen mit der roten Kraft ${\overrightarrow{F}}_1$ auf die Bande, und die Bande drückt im selben Moment mit der blauen Kraft ${\overrightarrow{F}}_2$ auf ihre Handflächen. Beide Pfeile sind gleich lang und zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Die orangefarbenen Markierungen auf dem Eis zeigen Annas Lage nach jeweils einer halben Sekunde. Der erste Abstand ist kürzer, weil Anna beim Abstoßen erst beschleunigt. Danach gleitet sie dank der Trägheit mit konstanter Geschwindigkeit weiter, deshalb sind die Abstände gleich. Die Reibung der Schlittschuhe vernachlässigen wir der Einfachheit halber.

Das Wechselwirkungsprinzip

Isaac Newton schrieb es 1687 in den Principia so auf (aus dem Lateinischen übersetzt):

Zu jeder Aktion gibt es stets eine gleich große Reaktion. Oder: Die Wechselwirkungen zweier Körper sind stets gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

In heutigen Worten: Wirkt ein Körper mit einer Kraft auf einen zweiten, wirkt der zweite Körper auf den ersten mit einer gleich großen Kraft entgegengesetzter Richtung:

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

Das Minus vor dem Vektor besagt, dass die Richtung entgegengesetzt ist, die Beträge sind gleich, F₂ = F₁. Die eine Kraft nennt man Aktion, die andere Reaktion, und es ist egal, welche welche ist. Beide entstehen und verschwinden gleichzeitig, keine ist die erste. Eine Kraft ist nämlich immer die Wechselwirkung zweier Körper, und deshalb treten Kräfte immer paarweise auf. Eine einzelne Kraft ohne ihren Partner gibt es nicht.

Ein Paar aus Aktion und Reaktion hat drei Eigenschaften:

• beide Kräfte sind gleich groß,
• sie haben entgegengesetzte Richtung,
• jede wirkt auf einen anderen Körper.

Die dritte Eigenschaft ist die wichtigste, und gerade bei ihr passieren die meisten Fehler. Anna drückt auf die Bande, die Bande drückt auf Anna. Annas Bewegung beeinflusst nur die Kraft der Bande, denn von beiden Kräften wirkt nur diese auf sie.

Rechnen wir es nach. Anna hat eine Masse von 40 kg, und die Bande drückt mit 80 N auf sie. Aus der Grundgleichung der Mechanik erhalten wir die Beschleunigung:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Dauert das Abstoßen eine halbe Sekunde, gleitet Anna mit 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s davon.

Und warum hat sich die Bande nicht in Bewegung gesetzt? Anna drückt mit derselben Kraft von 80 N auf sie. Die Bande ist aber fest mit dem Stadion verbunden und dieses mit der Erde, die Kraft erhält also die ganze Erde mit einer Masse von etwa 6 · 10²⁴ kg:

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Eine solche Beschleunigung wird nie jemand messen. Die Kräfte sind gleich, die Wirkungen aber nicht, weil sie auf Körper mit sehr unterschiedlicher Masse wirken.

Genauso ist es, wenn eine Fliege gegen die Windschutzscheibe eines fahrenden Autos prallt. Man würde sagen, das Auto habe die Fliege mit einer viel größeren Kraft getroffen als die Fliege das Auto. Die Kräfte sind aber gleich groß, die Fliege drückt auf die Scheibe mit derselben Kraft wie die Scheibe auf die Fliege. Nur hat die Fliege eine Masse von einem Bruchteil eines Gramms, und die gleiche Kraft erteilt ihr eine riesige Beschleunigung, die sie nicht überlebt. Ein Auto mit einer Masse von einer Tonne und mehr wird von derselben Kraft so winzig gebremst, dass der Fahrer es nicht bemerkt.

Das Paradoxon von Pferd und Wagen

Ein Pferd zieht einen Wagen. Nach dem dritten Gesetz zieht der Wagen aber das Pferd mit einer gleich großen Kraft zurück. Die Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt, sie müssten sich also aufheben, und nichts dürfte sich bewegen. Wie kommt es, dass sich Pferd und Wagen trotzdem in Bewegung setzen?

Oft heißt es, das Pferd ziehe den Wagen stärker, als der Wagen das Pferd zieht. So ist es aber nicht, beide Kräfte sind in jedem Augenblick gleich groß, beim Anfahren, in der Fahrt und beim Anhalten. Der Fehler steckt im Wort „aufheben“. Sich addieren und aufheben können sich nur Kräfte, die auf denselben Körper wirken. Die Kraft des Pferdes wirkt auf den Wagen, die Kraft des Wagens auf das Pferd. Jede gehört zu einem anderen Körper, und so können sie sich nicht aufheben.

Interessiert uns, ob sich der Wagen in Bewegung setzt, beachten wir nur die Kräfte, die auf den Wagen wirken. Das Pferd zieht ihn mit der roten Kraft ${\overrightarrow{F}}_1$ nach vorn, und der Rollwiderstand bremst ihn mit der orangefarbenen Kraft ${\overrightarrow{F}}_4$. Überwiegt die Zugkraft den Widerstand, beschleunigt der Wagen. Die blaue Kraft ${\overrightarrow{F}}_2$, mit der der Wagen das Pferd zieht, gehört nicht dazu, sie wirkt auf das Pferd.

Auf das Pferd wirken zwei waagerechte Kräfte. Der Wagen zieht es mit der Kraft ${\overrightarrow{F}}_2$ nach hinten, und der Boden drückt es mit der grünen Kraft ${\overrightarrow{F}}_3$ nach vorn. Das Pferd stemmt nämlich die Hufe in den Boden und drückt ihn nach hinten, und der drückt es nach dem dritten Gesetz nach vorn. Das Pferd setzt sich in Bewegung, wenn der Boden es stärker nach vorn drückt, als der Wagen es zurückzieht.

Jetzt mit Zahlen. Der Wagen hat eine Masse von 400 kg, das Pferd 600 kg. Das Pferd zieht den Wagen mit 400 N, der Widerstand beträgt 200 N. Die Resultierende auf den Wagen ist 400 N − 200 N = 200 N und seine Beschleunigung

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Das Pferd muss genauso beschleunigen, sonst würde der Wagen entweder davonfahren oder zurückbleiben. Die Resultierende auf das Pferd muss also 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N betragen. Der Wagen zieht es mit 400 N nach hinten, der Boden muss es also mit 400 N + 300 N = 700 N nach vorn drücken.

Das ganze Gespann setzt also der Boden in Bewegung. Er drückt das Pferd, und das Pferd zieht den Wagen. Auf Glatteis, wo die Hufe keinen Halt finden, würde das Pferd nur scharren, und der Wagen würde sich nicht einmal rühren.

Gehen, Auto und Schwimmen

Genauso gehen wir. Bei einem Schritt drückt der Fuß den Boden nach hinten, und der Boden drückt dich nach vorn. Nach vorn schiebt dich nur die Kraft des Bodens, die Beine allein würden dich nirgendwohin bringen. Auf Eis rutscht der Fuß über den Boden, man kann ihn nicht nach hinten drücken, deshalb geht es sich dort so schlecht. Der Boden bekommt dabei von dir eine gleich große Kraft nach hinten, er ist nur so massereich, dass du ihn nicht bewegst. Ähnlich ist es, wenn du hochspringst. Die Beine drücken den Boden nach unten, und der Boden drückt dich nach oben, und solange er dich stärker nach oben drückt, als die Erde dich nach unten zieht, beschleunigst du nach oben. Sobald du abhebst, verschwindet die Kraft des Bodens, und es bleibt nur die Gewichtskraft, die dich zurückbringt.

Das Auto verhält sich ähnlich. Der Motor dreht die Räder, und die Reifen drücken die Straße nach hinten. Die Straße drückt das Auto nach dem dritten Gesetz nach vorn. Die Kraft, die man Antriebskraft nennt, übt auf das Auto in Wirklichkeit also die Straße aus, der Motor dreht nur die Räder. Deshalb kommt ein Auto mit durchdrehenden Rädern auf Glatteis kaum von der Stelle, auch wenn der Motor auf Hochtouren läuft.

Ein Schwimmer macht dasselbe mit dem Wasser. Mit Armen und Beinen schiebt er es nach hinten, und das Wasser drückt ihn nach vorn. Die Ruder eines Bootes drücken das Wasser ebenfalls nach hinten, der Propeller eines Flugzeugs die Luft.

Die Rakete

Bei einer Rakete sieht es so aus, als hätte sie nichts, wovon sie sich abstoßen kann. Im Weltraum gibt es keinen Boden, kein Wasser und keine Luft. Die Rakete nimmt aber das, wovon sie sich abstößt, mit. Der Motor verbrennt Treibstoff und stößt die entstandenen heißen Gase mit hoher Geschwindigkeit durch die Düse nach hinten aus. Die Rakete drückt die Gase nach hinten, die Gase drücken die Rakete nach vorn.

Ein verbreiteter Irrtum besagt, die Rakete stoße sich von der Luft hinter sich ab. Das tut sie nicht, die umgebende Luft stört sie eher, und so arbeitet ihr Triebwerk im luftleeren Raum sogar etwas besser als am Boden. Nach demselben Prinzip fliegt ein aufgeblasener Luftballon, den du loslässt. Die Luft entweicht nach hinten, und der Ballon fliegt nach vorn. Dasselbe spüren Feuerwehrleute mit dem Strahlrohr in den Händen. Das Strahlrohr spritzt das Wasser nach vorn, das Wasser drückt das Strahlrohr nach hinten, und deshalb müssen sie sich ordentlich dagegenstemmen.

Ein Buch auf dem Tisch

Auf dem Tisch liegt ein Wörterbuch mit einer Masse von 2 kg. Die Erde zieht es mit der Gewichtskraft nach unten

$$F_G=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

Das Wörterbuch fällt aber nicht, es muss also noch eine andere Kraft darauf wirken, und zwar nach oben. Das ist die Kraft, mit der die Tischplatte das Wörterbuch von unten drückt. Sie heißt Normalkraft $\overrightarrow{F_N}$, weil sie senkrecht zur Unterlage steht und eine Senkrechte in der Mathematik Normale heißt. Das Wörterbuch ruht, die Resultierende ist null, und so ist die Normalkraft genauso groß wie die Gewichtskraft, F_N ≈ 19,6 N.

Die blaue Gewichtskraft und die grüne Normalkraft sind gleich groß und entgegengesetzt. Ist das ein Paar aus Aktion und Reaktion? Nein. Beide wirken auf denselben Körper, auf das Wörterbuch, während Aktion und Reaktion immer auf zwei verschiedene Körper wirken. Gewichtskraft und Normalkraft sind zwei verschiedene Kräfte im Gleichgewicht. Dass sie gleich groß sind, folgt aus dem Trägheitsgesetz, nicht aus dem Wechselwirkungsprinzip.

Wo sind also die Reaktionen? Jede der beiden Kräfte hat ihre eigene:

• Der Tisch drückt das Wörterbuch mit der Normalkraft $\overrightarrow{F_N}$ nach oben, und das Wörterbuch drückt den Tisch mit der Kraft ${\overrightarrow{F_N}}^{\prime }$ nach unten,
• die Erde zieht das Wörterbuch mit der Gewichtskraft $\overrightarrow{F_G}$ nach unten, und das Wörterbuch zieht die Erde mit einer gleich großen Kraft nach oben.

Das Wörterbuch ist im Bild ein Stück angehoben, damit man sieht, welche Kraft auf welchen Körper wirkt. Die grüne Normalkraft wirkt auf das Wörterbuch, die rote Kraft ${\overrightarrow{F_N}}^{\prime }$ auf den Tisch.

Der Unterschied ist gut zu sehen, wenn du mit der Handfläche mit einer Kraft von 10 N von oben auf das Wörterbuch drückst. Die Gewichtskraft ändert sich nicht, die Erde zieht das Wörterbuch weiter genauso stark. Der Tisch hält das Wörterbuch aber jetzt gegen die Gewichtskraft und gegen die Handfläche, und die Normalkraft wächst:

$$F_N=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

Genauso wächst die Reaktion, das Wörterbuch drückt den Tisch ebenfalls mit 29,6 N. Gewichtskraft und Normalkraft waren also nur deshalb gleich, weil nichts anderes auf das Wörterbuch drückte, während Aktion und Reaktion immer gleich groß sind.

Ein Paar aus Aktion und Reaktion erkennt man am besten an dem Satz, der es beschreibt. „Der Tisch drückt das Wörterbuch“ und „das Wörterbuch drückt den Tisch“ ist ein Paar, nur sind in dem Satz die Körper vertauscht. „Die Erde zieht das Wörterbuch“ und „der Tisch drückt das Wörterbuch“ ist kein Paar, denn in beiden Sätzen wird auf das Wörterbuch gewirkt.

Die Gewichtskraft hat uns vom Sprung nach oben bis zum Wörterbuch auf dem Tisch begleitet. Wodurch sie sich von der scheinbaren Gewichtskraft unterscheidet, was die Waage im Bad eigentlich anzeigt und warum wir in einem Aufzug, der nach oben anfährt, schwerer sind, erklärt der nächste Artikel, Gewichtskraft und scheinbare Gewichtskraft.