Newtonin kolmas laki

Luistelija Helmi seisoo jäällä kasvot kaukalon laitaa kohti, nojaa kämmenillään laitaan ja työntää itsensä irti. Hän lähtee liikkeelle selkä edellä pois laidasta. Kukaan ei työntänyt häntä, hän työnsi itse, ja laitaa, ei itseään. Kappale ei kuitenkaan lähde itsestään liikkeelle, siihen täytyy vaikuttaa jokin voima. Kuka siis työnsi Helmiä? Laita.

Harmaa hahmo on Helmi työntöhetkellä. Helmi työntää kämmenillään laitaa punaisella voimalla ${\overline{F}}_1$ ja laita työntää samalla hetkellä hänen kämmeniään sinisellä voimalla ${\overline{F}}_2$. Molemmat nuolet ovat yhtä pitkät ja osoittavat vastakkaisiin suuntiin. Jään oranssit merkit näyttävät Helmin paikan puolen sekunnin välein. Ensimmäinen väli on lyhyempi, koska työnnön aikana Helmi vasta kiihtyy. Sen jälkeen hän liikkuu hitautensa varassa vakionopeudella, ja siksi välit ovat yhtä suuret. Luistinten kitka jätetään yksinkertaisuuden vuoksi huomiotta.

Voiman ja vastavoiman laki

Isaac Newton kirjoitti lain vuonna 1687 teoksessaan Principia näin (latinasta käännettynä):

Jokaista toimintaa vastaan vaikuttaa aina yhtä suuri vastatoiminta. Eli kahden kappaleen keskinäiset vaikutukset ovat aina yhtä suuret ja suunnaltaan vastakkaiset.

Nykykielellä: jos yksi kappale vaikuttaa toiseen voimalla, toinen kappale vaikuttaa ensimmäiseen yhtä suurella, vastakkaissuuntaisella voimalla:

$${\overline{F}}_2=-{\overline{F}}_1$$

Vektorin edessä oleva miinus kertoo, että suunta on vastakkainen, suuruudet ovat samat, F₂ = F₁. Toista voimaa sanotaan voimaksi ja toista vastavoimaksi, ja sillä, kumpi on kumpi, ei ole väliä. Molemmat syntyvät ja katoavat yhtä aikaa, kumpikaan ei ole ensin. Voima on nimittäin aina kahden kappaleen keskinäistä vaikutusta, ja siksi voimat esiintyvät aina pareittain. Yksinäistä voimaa, jolla ei ole paria, ei ole.

Voiman ja vastavoiman parilla on kolme ominaisuutta:

• molemmat voimat ovat yhtä suuret,
• niillä on vastakkainen suunta,
• kumpikin vaikuttaa eri kappaleeseen.

Kolmas ominaisuus on tärkein, ja juuri siinä tehdään useimmin virheitä. Helmi työntää laitaa, laita työntää Helmiä. Helmin liikkeeseen vaikuttaa vain laidan voima, koska vain se kahdesta voimasta vaikuttaa häneen.

Lasketaan. Helmin massa on 40 kg ja laita työntää häntä voimalla 80 N. Dynamiikan peruslaista saadaan kiihtyvyys:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Jos työntö kestää puoli sekuntia, Helmi lähtee nopeudella 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Ja miksi laita ei lähtenyt liikkeelle? Helmi työntää sitä yhtä suurella voimalla 80 N. Laita on kuitenkin kiinni jäähallissa ja jäähalli Maassa, joten voiman saa koko Maa, jonka massa on noin 6 · 10²⁴ kg:

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Tällaista kiihtyvyyttä ei kukaan voi koskaan mitata. Voimat ovat samat, mutta vaikutukset eivät, koska ne vaikuttavat kappaleisiin, joiden massat ovat hyvin erilaiset.

Samoin käy, kun kärpänen osuu liikkuvan auton tuulilasiin. Voisi luulla, että auto iski kärpästä paljon suuremmalla voimalla kuin kärpänen autoa. Voimat ovat kuitenkin yhtä suuret, kärpänen työntää lasia samalla voimalla kuin lasi kärpästä. Kärpäsen massa on kuitenkin murto-osa grammasta, ja siksi sama voima antaa sille valtavan kiihtyvyyden, josta se ei selviä hengissä. Autoa, jonka massa on tonni tai enemmänkin, sama voima hidastaa niin vähän, ettei kuljettaja huomaa mitään.

Hevosen ja kärryjen paradoksi

Hevonen vetää kärryjä. Kolmannen lain mukaan kärryt kuitenkin vetävät hevosta takaisin yhtä suurella voimalla. Voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset, joten ne kumoavat toisensa eikä mikään pitäisi liikkua. Miten hevonen ja kärryt silti lähtevät liikkeelle?

Usein vastataan, että hevonen vetää kärryjä voimakkaammin kuin kärryt hevosta. Näin ei kuitenkaan ole, molemmat voimat ovat yhtä suuret joka hetki, liikkeelle lähdettäessä, ajettaessa ja pysähtyessä. Virhe on sanassa ”kumoavat”. Yhteen voi laskea ja kumota toisensa voivat vain voimat, jotka vaikuttavat samaan kappaleeseen. Hevosen voima vaikuttaa kärryihin, kärryjen voima vaikuttaa hevoseen. Kumpikin kuuluu eri kappaleelle, joten ne eivät voi kumota toisiaan.

Kun halutaan tietää, lähtevätkö kärryt liikkeelle, katsotaan vain voimia, jotka vaikuttavat kärryihin. Hevonen vetää niitä eteenpäin punaisella voimalla ${\overline{F}}_1$ ja vierimisvastus jarruttaa niitä oranssilla voimalla ${\overline{F}}_4$. Jos veto on vastusta suurempi, kärryt kiihtyvät. Sininen voima ${\overline{F}}_2$, jolla kärryt vetävät hevosta, ei kuulu tähän, sillä se vaikuttaa hevoseen.

Hevoseen vaikuttaa kaksi vaakasuoraa voimaa. Kärryt vetävät sitä taaksepäin voimalla ${\overline{F}}_2$ ja maapinta työntää sitä eteenpäin vihreällä voimalla ${\overline{F}}_3$. Hevonen nimittäin painaa kavioillaan maata ja työntää sitä taaksepäin, ja kolmannen lain mukaan maa työntää sitä eteenpäin. Hevonen lähtee liikkeelle, kun maa työntää sitä enemmän kuin kärryt vetävät sitä takaisin.

Nyt luvuilla. Kärryjen massa on 400 kg ja hevosen 600 kg. Hevonen vetää kärryjä voimalla 400 N, vastus on 200 N. Kärryihin vaikuttava resultantti on 400 N − 200 N = 200 N ja kärryjen kiihtyvyys

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Hevosen täytyy kiihtyä yhtä paljon, muuten kärryt joko karkaisivat sen ohi tai jäisivät jälkeen. Hevoseen vaikuttavan resultantin täytyy siis olla 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N. Taaksepäin sitä vetävät kärryt voimalla 400 N, joten maan täytyy työntää sitä eteenpäin voimalla 400 N + 300 N = 700 N.

Koko hevosvaljakon saa siis liikkeelle maa. Se työntää hevosta ja hevonen vetää kärryjä. Jäätyneellä tiellä, jossa kaviot eivät saa otetta, hevonen vain rapsuttaisi jäätä eivätkä kärryt liikahtaisi lainkaan.

Kävely, auto ja uiminen

Täsmälleen samalla tavalla kävellään. Askeleella jalkaterä työntää maata taaksepäin ja maa työntää sinua eteenpäin. Eteenpäin sinut siirtää vain maan voima, pelkät jalat eivät veisi sinua mihinkään. Jäällä jalka liukuu maan pinnalla eikä sitä voi työntää taaksepäin, siksi siellä on niin vaikea kävellä. Maa saa samalla sinulta yhtä suuren voiman taaksepäin, mutta sen massa on niin suuri, ettet saa sitä liikkeelle. Samoin on hypätessä. Jalat työntävät maata alaspäin ja maa työntää sinua ylöspäin, ja niin kauan kuin maa työntää sinua enemmän kuin Maa vetää sinua alaspäin, kiihdyt ylöspäin. Heti kun irtoat maasta, maan voima katoaa ja jäljelle jää vain paino, joka palauttaa sinut takaisin.

Auto käyttäytyy samoin. Moottori panee pyörät pyörimään ja renkaat työntävät tietä taaksepäin. Tie työntää kolmannen lain mukaan autoa eteenpäin. Voiman, jota sanotaan moottorin vedoksi, kohdistaa autoon siis todellisuudessa tie, moottori vain pyörittää pyöriä. Siksi auto, jonka pyörät sutivat jäässä, tuskin lähtee liikkeelle, vaikka moottori ulvoisi täysillä.

Uimari tekee saman veden kanssa. Käsillä ja jaloilla hän työntää vettä taaksepäin ja vesi työntää häntä eteenpäin. Myös veneen airot työntävät vettä taaksepäin, lentokoneen potkuri ilmaa.

Raketti

Raketin kohdalla näyttää siltä, ettei sillä ole mistä ponnistaa. Avaruudessa ei ole maata, vettä eikä ilmaa. Raketti kuitenkin kuljettaa mukanaan sen, mistä se ponnistaa. Moottori polttaa polttoainetta ja syntyneet kuumat kaasut se syöksee suuttimesta taaksepäin suurella nopeudella. Raketti työntää kaasuja taaksepäin, kaasut työntävät rakettia eteenpäin.

Yleinen harhaluulo väittää, että raketti ponnistaa sen takana olevasta ilmasta. Ei ponnista, ympäröivä ilma pikemminkin haittaa sitä, ja siksi sen moottori vetää tyhjiössä jopa hieman paremmin kuin maanpinnalla. Samalla periaatteella lentää kädestä päästetty täytetty ilmapallo. Ilma purkautuu siitä taaksepäin ja ilmapallo lentää eteenpäin. Saman tuntevat palomiehet suihkuputki käsissään. Suihkuputki ruiskuttaa vettä eteenpäin, vesi työntää suihkuputkea taaksepäin, ja siksi siihen täytyy nojata kunnolla.

Kirja pöydällä

Pöydällä on sanakirja, jonka massa on 2 kg. Maa vetää sitä alaspäin painolla

$$G=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

Sanakirja ei kuitenkaan putoa, joten siihen täytyy vaikuttaa vielä jokin muu voima, ylöspäin. Se on voima, jolla pöytälevy työntää sanakirjaa alapuolelta. Sitä sanotaan tukivoimaksi $\overline{N}$ eli normaalivoimaksi, koska se on kohtisuorassa alustaa vastaan ja kohtisuoraa sanotaan matematiikassa normaaliksi. Sanakirja on paikallaan, resultantti on nolla, ja siksi tukivoima on yhtä suuri kuin paino, N ≈ 19,6 N.

Sininen paino ja vihreä tukivoima ovat yhtä suuret ja vastakkaiset. Ovatko ne voiman ja vastavoiman pari? Eivät ole. Molemmat vaikuttavat samaan kappaleeseen, sanakirjaan, kun taas voima ja vastavoima vaikuttavat aina kahteen eri kappaleeseen. Paino ja tukivoima ovat kaksi eri voimaa tasapainossa. Se, että ne ovat yhtä suuret, seuraa jatkavuuden laista, ei voiman ja vastavoiman laista.

Missä vastavoimat sitten ovat? Kummallakin voimalla on omansa:

• pöytä työntää sanakirjaa ylöspäin tukivoimalla $\overline{N}$ ja sanakirja työntää pöytää alaspäin voimalla ${\overline{N}}^{\prime }$,
• Maa vetää sanakirjaa alaspäin painolla $\overline{G}$ ja sanakirja vetää Maata ylöspäin yhtä suurella voimalla.

Sanakirja on kuvassa hieman nostettuna, jotta nähdään, mikä voima vaikuttaa mihinkin kappaleeseen. Vihreä tukivoima vaikuttaa sanakirjaan, punainen voima ${\overline{N}}^{\prime }$ pöytään.

Ero näkyy hyvin, jos painat sanakirjaa ylhäältä kämmenellä voimalla 10 N. Paino ei muutu, Maa vetää sanakirjaa edelleen yhtä paljon. Pöytä kuitenkin pitää nyt sanakirjaa ylhäällä sekä painoa että kättä vastaan, ja tukivoima kasvaa:

$$N=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

Samoin kasvaa vastavoima, sanakirja työntää pöytää myös voimalla 29,6 N. Paino ja tukivoima olivat siis yhtä suuret vain siksi, ettei sanakirjaa painanut mikään muu, kun taas voima ja vastavoima ovat aina yhtä suuret.

Voiman ja vastavoiman parin tunnistaa parhaiten sitä kuvaavasta lauseesta. ”Pöytä työntää sanakirjaa” ja ”sanakirja työntää pöytää” on pari, lauseessa vain kappaleet vaihtavat paikkaa. ”Maa vetää sanakirjaa” ja ”pöytä työntää sanakirjaa” ei ole pari, koska kummassakin lauseessa vaikutetaan sanakirjaan.

Paino on ollut mukana hypystä sanakirjaan pöydällä. Miten se eroaa näennäisestä painosta, mitä kylpyhuoneen vaaka oikeastaan näyttää ja miksi ihminen on ylöspäin lähtevässä hississä raskaampi, selittää seuraava artikkeli, Paino ja näennäinen paino.