Terceira lei de Newton

A patinadora Adriana está no gelo de frente para a borda da pista, apoia as palmas das mãos nela e se empurra. Ela sai deslizando de costas, para longe da borda. Ninguém a empurrou; quem empurrou foi ela, e empurrou a borda, não a si mesma. Só que um corpo não se põe em movimento por si só, algo precisa agir sobre ele com uma força. Quem, então, empurrou Adriana? A borda.

A figura cinza é Adriana no instante do empurrão. Adriana empurra a borda com as palmas das mãos com a força vermelha ${\overrightarrow{F}}_1$ e a borda, no mesmo instante, empurra as palmas dela com a força azul ${\overrightarrow{F}}_2$. As duas setas têm o mesmo comprimento e apontam em sentidos opostos. As marcas laranja no gelo registram a posição de Adriana a cada meio segundo. O primeiro espaçamento é mais curto, porque durante o empurrão Adriana ainda está acelerando. Depois ela se desloca por inércia com velocidade constante e, por isso, os espaçamentos são iguais. Para simplificar, desprezamos o atrito dos patins.

A lei da ação e reação

Isaac Newton a escreveu em 1687 nos Principia assim (em tradução do latim):

A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade. Ou seja, as ações mútuas de dois corpos são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.

Em palavras de hoje: se um corpo age com uma força sobre outro, o segundo corpo age sobre o primeiro com uma força de mesmo módulo e sentido oposto:

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

O sinal de menos antes do vetor diz que o sentido é oposto, os módulos são iguais, F₂ = F₁. Uma das forças se chama ação, a outra, reação, e tanto faz qual é qual. As duas surgem e desaparecem ao mesmo tempo, nenhuma vem primeiro. A força é, afinal, sempre a interação de dois corpos e, por isso, as forças vêm sempre em pares. Uma força solitária, sem a outra do par, não existe.

O par ação-reação tem três propriedades:

• as duas forças têm o mesmo módulo,
• têm sentido oposto,
• cada uma age sobre um corpo diferente.

A terceira propriedade é a mais importante e é nela que mais se erra. Adriana empurra a borda, a borda empurra Adriana. O movimento de Adriana é influenciado só pela força da borda, porque, das duas forças, só essa age sobre ela.

Vamos calcular. Adriana tem massa de 40 kg e a borda a empurra com a força de 80 N. Da lei da força obtemos a aceleração:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{80\mathrm{N}}{40\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Se o empurrão dura meio segundo, Adriana sai com velocidade de 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

E por que a borda não saiu em movimento? Adriana a empurra com a mesma força de 80 N. Mas a borda está firmemente ligada ao ginásio e este, à Terra, então quem recebe a força é a Terra inteira, de massa de cerca de 6 · 10²⁴ kg:

$$a=\frac{80\mathrm{N}}{6\cdot {10}^{24}\mathrm{kg}}\approx 1,3\cdot {10}^{-23}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ninguém jamais conseguiria medir uma aceleração dessas. As forças são iguais, mas os efeitos não, porque agem sobre corpos de massas muito diferentes.

O mesmo acontece quando uma mosca bate no para-brisa de um carro em movimento. Alguém diria que o carro bateu na mosca com uma força muito maior do que a mosca no carro. As forças, porém, têm o mesmo módulo, a mosca empurra o vidro com a mesma força com que o vidro empurra a mosca. Só que a mosca tem massa de uma fração de grama e, por isso, a mesma força dá a ela uma aceleração enorme, à qual ela não sobrevive. A mesma força desacelera tão pouco o carro, de massa de uma tonelada ou mais, que o motorista nem percebe.

O paradoxo do cavalo e da carroça

Um cavalo puxa uma carroça. Pela terceira lei, porém, a carroça puxa o cavalo para trás com uma força de mesmo módulo. As forças têm o mesmo módulo e são opostas, então se anulam e nada deveria se mexer. Como é que o cavalo e a carroça mesmo assim arrancam?

Muitas vezes se responde que o cavalo puxa a carroça com mais força do que a carroça puxa o cavalo. Mas não é assim, as duas forças têm o mesmo módulo a cada instante, na arrancada, na marcha e ao parar. O erro está na palavra “anulam”. Só podem se somar e se anular forças que agem sobre o mesmo corpo. A força do cavalo age sobre a carroça, a força da carroça age sobre o cavalo. Cada uma pertence a um corpo diferente e, assim, não têm como se anular.

Se queremos saber se a carroça arranca, olhamos só as forças que agem sobre a carroça. O cavalo a puxa para a frente com a força vermelha ${\overrightarrow{F}}_1$ e a resistência ao rolamento a freia com a força laranja ${\overrightarrow{F}}_4$. Se a tração prevalece sobre a resistência, a carroça acelera. A força azul ${\overrightarrow{F}}_2$, com a qual a carroça puxa o cavalo, não entra nisso, ela age sobre o cavalo.

Sobre o cavalo agem duas forças horizontais. A carroça o puxa para trás com a força ${\overrightarrow{F}}_2$ e o chão o empurra para a frente com a força verde ${\overrightarrow{F}}_3$. O cavalo, afinal, firma os cascos no chão e o empurra para trás, e o chão, pela terceira lei, o empurra para a frente. O cavalo arranca quando o chão o empurra mais do que a carroça o puxa de volta.

Agora com números. A carroça tem massa de 400 kg, o cavalo 600 kg. O cavalo puxa a carroça com a força de 400 N, a resistência é 200 N. A resultante sobre a carroça é 400 N − 200 N = 200 N e a aceleração da carroça

$$a=\frac{200\mathrm{N}}{400\mathrm{kg}}=0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

O cavalo precisa acelerar igual, senão a carroça ou fugiria dele ou ficaria para trás. A resultante sobre o cavalo, portanto, precisa ser 600 kg · 0,5 m/s² = 300 N. A carroça o puxa para trás com a força de 400 N, então o chão precisa empurrá-lo para a frente com a força de 400 N + 300 N = 700 N.

O conjunto inteiro, portanto, é posto em movimento pelo chão. Ele empurra o cavalo e o cavalo puxa a carroça. Numa pista escorregadia, em que os cascos não têm onde se apoiar, o cavalo só ficaria patinando e a carroça nem se mexeria.

Caminhar, o carro e nadar

Caminhamos exatamente do mesmo modo. No passo, o pé empurra o chão para trás e o chão empurra você para a frente. Só a força do chão desloca você para a frente, as pernas sozinhas não levariam você a lugar nenhum. No gelo, o pé escorrega pelo chão, não dá para empurrá-lo para trás, e por isso é tão difícil andar ali. O chão, aliás, recebe de você uma força de mesmo módulo para trás, só que tem tanta massa que você não o move. O mesmo acontece num salto. As pernas empurram o chão para baixo e o chão empurra você para cima e, enquanto o chão empurra você mais do que a Terra puxa para baixo, você acelera para cima. Assim que você se descola, a força do chão desaparece e sobra só a força peso, que o traz de volta.

O carro se comporta de modo parecido. O motor faz as rodas girar e os pneus empurram a estrada para trás. A estrada, pela terceira lei, empurra o carro para a frente. A força que se chama tração do motor, portanto, é na verdade exercida sobre o carro pela estrada, o motor só faz as rodas girarem. Por isso um carro com as rodas patinando numa pista escorregadia quase não arranca, mesmo com o motor roncando no máximo.

O nadador faz o mesmo com a água. Com os braços e as pernas ele a empurra para trás e a água o empurra para a frente. Os remos do barquinho também empurram a água para trás, a hélice do avião, o ar.

O foguete

Num foguete parece que não há em que se apoiar. No espaço não há chão, água nem ar. Mas o foguete leva consigo aquilo em que se apoia. O motor queima o combustível e os gases quentes formados são expelidos para trás pela tubeira com grande velocidade. O foguete empurra os gases para trás, os gases empurram o foguete para a frente.

Um equívoco difundido diz que o foguete se apoia no ar atrás dele. Não se apoia, o ar ao redor, antes, o atrapalha, e por isso o motor dele no vácuo puxa até um pouco melhor do que perto do chão. Uma bexiga cheia que você solta da mão voa com base no mesmo princípio. O ar escapa dela para trás e a bexiga voa para a frente. Os bombeiros sentem o mesmo com a mangueira nas mãos. A mangueira lança água para a frente, a água empurra a mangueira para trás, e por isso eles precisam se firmar bem nela.

O livro sobre a mesa

Sobre a mesa está um dicionário de massa 2 kg. A Terra o puxa para baixo com a força peso

$$P=m\cdot g=2\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{N}.$$

O dicionário, porém, não cai, então deve agir sobre ele ainda outra força, e para cima. É a força com que o tampo da mesa empurra o dicionário por baixo. Ela se chama força normal $\overrightarrow{N}$, porque é perpendicular ao apoio, e, em matemática, a perpendicular também se chama normal. O dicionário está parado, a resultante é nula e, por isso, a força normal tem o mesmo módulo que a força peso, N ≈ 19,6 N.

A força peso azul e a força normal verde têm o mesmo módulo e são opostas. É um par ação-reação? Não é. As duas agem sobre o mesmo corpo, o dicionário, enquanto a ação e a reação agem sempre sobre dois corpos diferentes. A força peso e a força normal são duas forças diferentes em equilíbrio. Que elas tenham o mesmo módulo decorre da lei da inércia, não da lei da ação e reação.

Onde estão, então, as reações? Cada uma das duas forças tem a sua:

• a mesa empurra o dicionário para cima com a força normal $\overrightarrow{N}$ e o dicionário empurra a mesa para baixo com a força ${\overrightarrow{N}}^{\prime }$,
• a Terra puxa o dicionário para baixo com a força peso $\overrightarrow{P}$ e o dicionário puxa a Terra para cima com uma força de mesmo módulo.

O dicionário está na figura um pouco levantado, para que se veja que força age sobre que corpo. A força normal verde age sobre o dicionário, a vermelha ${\overrightarrow{N}}^{\prime }$ sobre a mesa.

A diferença se vê bem quando você pressiona o dicionário por cima com a palma da mão com a força de 10 N. A força peso não muda, a Terra continua puxando o dicionário do mesmo jeito. A mesa, porém, agora sustenta o dicionário contra a força peso e contra a palma da mão e a força normal aumenta:

$$N=19,6\mathrm{N}+10\mathrm{N}=29,6\mathrm{N}$$

Do mesmo modo aumenta também a reação, o dicionário empurra a mesa também com a força de 29,6 N. A força peso e a força normal eram iguais, portanto, só porque nada mais empurrava o dicionário, enquanto a ação e a reação são iguais sempre.

O par ação-reação se reconhece melhor pela frase que o descreve. “A mesa empurra o dicionário” e “o dicionário empurra a mesa” é um par, só se trocam nessa frase os corpos. “A Terra puxa o dicionário” e “a mesa empurra o dicionário” não é um par, porque nas duas frases se age sobre o dicionário.

A força peso nos acompanhou desde o salto até o dicionário sobre a mesa. O próximo artigo, Peso e peso aparente, explica em que ela difere do peso aparente, o que de fato a balança do banheiro mostra e por que ficamos mais pesados num elevador que arranca para cima.