Contoh soal kinematika

Fisika tidak dipelajari dengan membaca, tetapi dengan berhitung. Berikut tiga belas soal tentang gerak, diurutkan dari jarak dan perpindahan, melalui percepatan dan gerak jatuh bebas, sampai percepatan sentripetal. Dalam dua soal terakhir, jenis-jenis gerak bergantian. Semuanya kita selesaikan dengan langkah-langkah yang sama: menuliskan yang diketahui, konversi satuan, penyelesaian umum, substitusi beserta satuan, perkiraan, dan jawaban dengan kalimat lengkap. Cobalah kerjakan setiap soal sendiri terlebih dahulu, baru kemudian baca penyelesaiannya.

Contoh 1: Siti mengajak anjing berjalan-jalan

Siti berjalan bersama anjingnya mengelilingi taman berbentuk persegi dengan panjang sisi 120 m. Ia berangkat dari satu sudut dan berjalan menyusuri tiga sisi taman. Berapa jarak yang ia tempuh dan berapa besar perpindahannya?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Jarak adalah panjang lintasan, yaitu tiga sisi taman:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Perpindahan adalah anak panah dari tempat start ke tempat ia berakhir. Setelah tiga sisi persegi, ia berada di sudut yang bersebelahan dengan sudut awal, sehingga perpindahannya menyusuri sisi keempat:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Siti berjalan 360 m, tetapi jaraknya dari tempat ia berangkat hanya 120 m. Jika ia mengelilingi seluruh taman, ia akan berjalan 480 m dan perpindahannya nol.

Contoh 2: Naik bukit dan turun bukit

Andi bersepeda menaiki bukit melalui jalan sepanjang 3 km dengan kelajuan 12 km/h, lalu turun melalui jalan yang sama dengan kelajuan 36 km/h. Berapa kelajuan rata-ratanya?

Penyelesaian: Rasanya ingin menjumlahkan kedua kelajuan dan membaginya dengan dua, hasilnya 24 km/h. Namun, kelajuan rata-rata adalah jarak total dibagi waktu total, dan Andi memerlukan waktu jauh lebih lama untuk naik daripada untuk turun.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ \bar{v} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Semuanya dalam kilometer dan jam, sehingga tidak perlu dikonversi. Waktu perjalanannya $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ dan $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , sehingga

$\bar{v} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Kita substitusikan:

$\begin{aligned} \bar{v} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0, 25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Saat naik, Andi bersepeda seperempat jam, saat turun lima menit. Seluruh rute ia tempuh dalam dua puluh menit, dan siapa yang menempuh 6 km dalam sepertiga jam akan menempuh 18 km dalam satu jam. Kelajuan rata-rata Andi 18 km/h, bukan 24 km/h.

Contoh 3: Dewi berjalan dari pondok

Sebuah pondok pendaki berada di pinggir jalan, 4 km dari desa. Dari pondok itu, Dewi berjalan terus menjauhi desa dengan kelajuan tetap 5 km/h. Berapa jaraknya dari desa setelah 1 jam 12 menit?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1, 2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Hati-hati dengan konversinya. Dua belas menit bukan 0,12 h, melainkan $\frac{12}{60} = 0, 2 h$ . Dewi tidak berangkat dari desa, tetapi dari 4 km darinya, sehingga pada jarak yang ditempuh kita tambahkan posisi awal s₀ seperti pada gerak lurus beraturan:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1, 2 h = 10 km$

Kilometer per jam kali jam menghasilkan kilometer, cocok. Dalam satu jam, Dewi menempuh 5 km, dalam 1,2 h seperlima lebih jauh, yaitu 6 km, dan bersama jarak ke pondok menjadi sepuluh. Dewi akan berada 10 km dari desa. Siapa yang menyubstitusikan 1,12 h akan memperoleh 9,6 km.

Contoh 4: Rizky menyusul ibunya

Seorang ibu keluar rumah sambil mendorong kereta bayi dengan kelajuan 4 km/h. Seperempat jam kemudian, Rizky menyadari bahwa ibunya lupa membawa kunci, lalu berlari menyusulnya melalui jalan yang sama dengan kelajuan 10 km/h. Berapa lama sampai ia menyusul ibunya, dan berapa jauh dari rumah?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0, 25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Setelah seperempat jam, ibunya unggul s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0,25 h = 1 km. Saat menyusul, jarak di antara keduanya berkurang sebesar selisih kelajuan:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Selama waktu itu, Rizky berlari sejauh

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1, 67 km .$

Pemeriksaan: ibunya berjalan 15 + 10 = 25 menit, yaitu $\frac{25}{60}$ jam, dan menempuh $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1, 67 km$ . Cocok. Rizky menyusul ibunya sepuluh menit setelah mulai berlari, sekitar 1,7 km dari rumah.

Contoh 5: Cheetah

Seekor cheetah bertambah cepat dari keadaan diam menjadi 72 km/h dalam 2,5 s. Berapa percepatan rata-ratanya? Berapa pula percepatannya kemudian, jika dari kelajuan itu ia berhenti dalam 4 s?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2, 5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Menurut rumus percepatan:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2, 5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Cheetah itu memiliki percepatan 8 m/s², setiap sekon 8 m/s lebih cepat. Mobil keluarga yang memerlukan sepuluh sekon untuk mencapai seratus kilometer per jam memiliki percepatan kurang dari 3 m/s², sehingga cheetah dengan mudah mengalahkannya saat start.

Saat berhenti, kelajuannya turun dari 20 m/s menjadi nol dalam 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Arah positif kita ambil searah lari, sehingga percepatan negatif berarti mengerem. Saat berhenti, cheetah memiliki percepatan −5 m/s², atau perlambatan 5 m/s².

Contoh 6: Berapa panjang landasan yang diperlukan pesawat

Sebuah pesawat penumpang saat lepas landas mulai bergerak dari keadaan diam dengan percepatan tetap 2 m/s² dan terangkat dari tanah pada kelajuan 252 km/h. Berapa panjang landasan yang diperlukannya dan berapa lama ia melaju di landasan?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Waktunya tidak diketahui, sehingga yang cocok adalah hubungan tanpa waktu $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ . Untuk gerak dari keadaan diam, kita nyatakan jaraknya:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4.900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1.225 m$

Lamanya melaju di landasan kita hitung dari v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Pemeriksaan dengan kelajuan rata-rata: untuk gerak dari keadaan diam, kelajuan rata-rata adalah setengah kelajuan akhir, 35 m/s, dan dalam 35 s menghasilkan 35 m/s · 35 s = 1.225 m. Pesawat melaju di landasan selama 35 s dan memerlukan lebih dari 1,2 km landasan. Karena itulah bandara besar memiliki landasan pacu sepanjang beberapa kilometer, dengan cadangan untuk lepas landas yang dibatalkan.

Contoh 7: Kambing di jalan yang basah

Seorang pengemudi melaju di jalan basah dengan kelajuan 60 km/h dan melihat seekor kambing 40 m di depannya. Waktu reaksinya 1 s, dan di aspal basah mobil mengerem dengan perlambatan 5 m/s². Apakah mobil sempat berhenti?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3, 6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Kelajuannya kita biarkan sebagai pecahan agar hasil antara tidak dibulatkan. Jarak totalnya adalah jarak reaksi ditambah jarak pengereman:

$s = s_{r} + s_{b} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Kita substitusikan setiap bagian secara terpisah:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16, 7 m \\ s_{b} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27, 8 m \end{aligned}$

Seluruhnya $\frac{400}{9} m \approx 44, 4 m$ . Mobil tidak sempat berhenti, mobil baru akan berhenti sekitar 4 m setelah tempat kambing itu berdiri. Di jalan kering dengan perlambatan 7 m/s², cukup 36,5 m, sehingga di jalan basah sebaiknya melaju lebih pelan.

Contoh 8: Batu dari jembatan

Dari sebuah jembatan, kita melepaskan batu yang jatuh ke sungai setelah 1,5 s. Berapa tinggi jembatan di atas permukaan air, dan dengan kelajuan berapa batu menyentuh air? Hambatan udara kita abaikan. Berapa lama batu akan jatuh dari jembatan yang dua kali lebih tinggi?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} t & = 1, 5 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Ini adalah gerak jatuh bebas, arah positif kita pilih ke bawah:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (1, 5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 5 s \approx 14, 7 m / s$

Itu sekitar 53 km/h. Perkiraan dengan g ≈ 10 m/s² memberikan $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2, 25 \approx 11 m$ , cocok. Jembatan itu kira-kira 11 m di atas permukaan air, dan batu menyentuh air dengan kelajuan sekitar 15 m/s.

Ketinggian dua kali lipat tidak berarti waktu dua kali lipat. Dari $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ terlihat bahwa ketinggian dua kali lipat hanya memperpanjang waktu jatuh $\sqrt{2}$ kali:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1, 5 s \approx 2, 1 s$

Contoh 9: Drone dalam angin samping

Sebuah drone terbang terhadap udara dengan kelajuan 12 m/s, dan haluannya mengarah tepat ke utara. Angin bertiup dari timur, artinya udara bergerak ke barat, dengan kelajuan 5 m/s. Seberapa cepat drone bergerak terhadap tanah dan berapa sudut penyimpangannya dari arah utara?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Drone bergerak dengan dua cara: terbang terhadap udara dan dihanyutkan oleh udara. Kecepatan resultannya adalah jumlah vektor keduanya, dan karena kedua kecepatan saling tegak lurus, kita gunakan teorema Pythagoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Sudut dari arah utara kita cari dari segitiga siku-siku kecepatan, dengan kecepatan angin sebagai sisi depan dan kecepatan resultan sebagai sisi miring:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0,385, α \approx 22, 6 °$

Penjumlahan biasa akan menghasilkan 17 m/s, tetapi kedua kecepatan tidak searah. Hasilnya harus lebih besar daripada 12 m/s dan lebih kecil daripada 17 m/s, dan 13 m/s memenuhinya. Drone terbang terhadap tanah dengan kelajuan 13 m/s, dan angin membelokkannya sekitar 23° dari utara ke barat. Dalam satu menit, drone terbawa 300 m ke samping.

Contoh 10: Bianglala

Bianglala di pasar malam memiliki jari-jari 20 m, dan satu putaran memerlukan waktu 4 min. Berapa frekuensi dan kecepatan sudutnya, dan dengan kelajuan berapa kabin di tepinya bergerak?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekuensi adalah kebalikan dari periode:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0,004 2 Hz$

Kecepatan sudut menyatakan sudut penuh 2π dalam satu periode:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0,026 rad / s$

Kelajuan kabin:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0, 52 m / s$

Dalam satu putaran, kabin menempuh keliling roda, sekitar 126 m, dalam empat menit. Itu sekitar 1,9 km/h, seperti berjalan santai. Karena itu, penumpang dapat naik ke kabin bahkan saat roda berputar, seperti pada bianglala raksasa.

Contoh 11: Sentrifus untuk pilot

Sebuah sentrifus untuk latihan pilot memiliki kabin di ujung lengan sepanjang 8 m. Berapa kali per menit sentrifus itu harus berputar agar kabin memiliki percepatan sentripetal 6g, yaitu enam kali percepatan gravitasi?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{s} & = 6 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 58, 86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Dari rumus percepatan sentripetal a_s = ω² · r, kita nyatakan lebih dulu kecepatan sudutnya, lalu frekuensinya:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{s} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{s}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{s}}{r}} \end{array}$

Satuan: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , cocok. Kita substitusikan:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58, 86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0, 43 Hz$

Dalam satu menit, itu 0,432 · 60 ≈ 26 putaran. Satu putaran memerlukan sekitar 2,3 s, dan kabin melesat dengan kelajuan v = ω · r ≈ 21,7 m/s, hampir 80 km/h. Sentrifus harus berputar sekitar 26 kali per menit.

Contoh 12: MRT di antara dua stasiun

Sebuah rangkaian kereta MRT mulai bergerak dari stasiun dengan percepatan 1,2 m/s² selama 15 s, lalu melaju dengan kelajuan tetap selama 30 s, dan akhirnya mengerem dengan perlambatan 1,5 m/s² sampai berhenti di stasiun berikutnya. Berapa jarak antara kedua stasiun, dan berapa kelajuan rata-rata kereta?

Penyelesaian: Perjalanan kita bagi menjadi tiga bagian, dan pada setiap bagian kita gunakan rumus untuk satu jenis gerak.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1, 2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), \bar{v} = ? (m / s) \end{aligned}$

Mulai bergerak dari keadaan diam. Di akhir bagian ini, kereta memiliki kelajuan

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1, 2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

dan telah menempuh

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Melaju dengan kelajuan tetap 18 m/s, yaitu sekitar 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Mengerem dari 18 m/s sampai berhenti:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1, 5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1, 5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Seluruhnya:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ \bar{v} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13, 7 m / s \end{aligned}$

Jarak antara kedua stasiun sekitar 780 m, dan kereta menempuhnya dalam waktu kurang dari satu menit dengan kelajuan rata-rata sekitar 49 km/h. Kelajuan tertinggi 65 km/h hanya ditempuh kira-kira separuh waktu, sehingga rata-ratanya jauh lebih rendah. Jarak sekitar satu kilometer antarstasiun lazim untuk MRT di dalam kota.

Contoh 13: Membaca grafik

Grafik menunjukkan kelajuan skuter listrik Agus selama dua belas sekon. Berapa percepatan skuter pada setiap bagian, berapa jarak yang ditempuhnya selama seluruh waktu itu, dan berapa kelajuan rata-ratanya?

Grafik kelajuan v terhadap waktu t: dari 0 sampai 4 s naik dari 4 menjadi 8 m/s, dari 4 sampai 10 s tetap, dari 10 sampai 12 s turun menjadi nol

Penyelesaian: Dari grafik, kita baca kelajuan pada titik-titik tempat jenis gerak berubah: di awal 4 m/s, pada waktu 4 s sudah 8 m/s, pada waktu 10 s tetap 8 m/s, dan pada waktu 12 s nol. Percepatan adalah perubahan kelajuan dibagi waktu:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Hal ini juga terlihat pada grafik tanpa menghitung: makin curam bagiannya, makin besar nilai percepatannya (tanpa memperhatikan tanda). Bagian yang naik berarti percepatan positif, yang mendatar nol, dan yang menurun negatif: pada bagian ketiga, skuter memiliki percepatan −4 m/s², atau perlambatan 4 m/s².

Jarak adalah luas di bawah grafik kelajuan. Bagian pertama berupa trapesium, bagian kedua persegi panjang, dan bagian ketiga segitiga:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Seluruhnya s = 80 m dalam 12 s, sehingga kelajuan rata-ratanya

$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6, 7 m / s .$

Pemeriksaan: kelajuan rata-rata harus terletak di antara nol dan kelajuan tertinggi 8 m/s, dan karena sebagian besar waktu skuter melaju dengan 8 m/s, rata-ratanya akan lebih dekat ke nilai itu. Berturut-turut, skuter memiliki percepatan 1 m/s², nol, dan −4 m/s², menempuh 80 m, dan kelajuan rata-ratanya sekitar 6,7 m/s, yaitu 24 km/h.

Dengan langkah-langkah yang sama, kita juga dapat menyelesaikan soal-soal yang melibatkan gaya. Soal-soal itu ada dalam artikel Contoh soal dinamika.

« Artikel sebelumnya: Gaya inersia

Artikel berikutnya: Contoh soal dinamika »