Besaran skalar dan besaran vektor

“Suhu di luar 20 °C.” Tidak perlu tambahan apa pun, semua orang tahu apakah perlu membawa jaket. Suhu dijelaskan oleh bilangan dan satuan. Namun, cobalah menunjukkan jalan kepada seseorang dengan kalimat “berjalanlah 100 m”. Ia akan langsung bertanya: ke mana? Lurus, ke kiri, atau kembali? Seratus meter ke utara membawanya ke stasiun, seratus meter ke selatan langsung ke kolam. Besaran seperti ini tidak cukup dinyatakan dengan bilangan, tetapi juga memerlukan arah.

Skalar atau vektor?

Besaran yang dapat dijelaskan sepenuhnya oleh bilangan dan satuan disebut besaran skalar. Contoh skalar adalah suhu, waktu, massa, dan jarak. Jika kamu mengatakan bahwa massa sebuah tas 5 kg atau bahwa sebuah film berlangsung 2 h, kamu tidak perlu menambahkan apa-apa lagi. Massa tidak mengarah ke kiri ataupun ke atas.

Besaran yang juga bergantung pada arah disebut besaran vektor. Contoh khas vektor adalah gaya. Siapa pun yang pernah memindahkan lemari tahu bahwa mendorongnya ke arah dinding berbeda dengan mendorongnya menjauhi dinding. Kecepatan juga merupakan vektor: mobil yang melaju 90 km/h menuju Surabaya dan mobil yang melaju 90 km/h meninggalkan Surabaya mempunyai kelajuan yang sama, tetapi menuju tempat yang berbeda.

Vektor dikenali dari tanda panah di atas lambangnya. Gaya sebagai vektor ditulis $\overrightarrow{F}$. Namun, kadang-kadang arah tidak penting bagi kita dan kita hanya ingin tahu seberapa besar gayanya. Bagian ini disebut besar vektor. Besar vektor ditulis dengan garis tegak di kedua sisi atau cukup dengan lambang tanpa tanda panah:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Besar gaya adalah skalar, misalnya F = 300 N. Newton N adalah satuan gaya. Untuk sementara, kita belum memerlukan penjelasan lebih lanjut tentang newton. Di sini gaya terutama berfungsi sebagai contoh vektor.

Vektor sebagai anak panah

Vektor digambar sebagai anak panah. Anak panah menunjuk ke arah vektor, dan panjangnya sesuai dengan besar vektor. Agar anak panah dapat digambar, kita memilih skala, misalnya satu sentimeter di kertas menyatakan 100 N. Gaya 300 N kemudian digambar sebagai anak panah sepanjang tiga sentimeter, dan gaya 50 N hanya setengah sentimeter.

Pada gambar terlihat tiga anak panah merah. Ketiganya memiliki panjang dan arah yang sama, sehingga menyatakan satu vektor yang sama $\overrightarrow{u}$, hanya digambar di tiga tempat berbeda. Vektor hanya ditentukan oleh besar dan arahnya. Dari mana anak panah berpangkal tidaklah penting. Karena itu, anak panah boleh kita geser sesuka hati, asalkan tidak diputar, diperpendek, atau diperpanjang. Hal ini akan segera berguna saat menjumlahkan vektor.

Anak panah biru $\overrightarrow{w}$ sama panjang dengan anak panah merah, tetapi arahnya lain, sehingga merupakan vektor yang berbeda. Kedua vektor memiliki besar yang sama, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, tetapi tetap berlaku $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Penjumlahan vektor

Budi berangkat dari pondok dan berjalan 3 km ke timur. Kemudian ia berbelok dan berjalan lagi 4 km ke utara. Seberapa jauh ia dari pondok?

Mari kita gambar. Pada gambar, utara ada di atas, timur di kanan, dan satu petak sama dengan satu kilometer. Titik oranye adalah pondok, anak panah merah adalah bagian pertama perjalanan, dan anak panah biru bagian kedua.

Anak panah biru tidak berpangkal di pondok, tetapi di ujung anak panah merah. Budi berjalan ke utara dari tempat yang sudah ia capai setelah berjalan ke timur. Begitulah cara menjumlahkan vektor: anak panah kedua kita geser sehingga berpangkal di ujung anak panah pertama. Jumlahnya adalah anak panah dari pangkal anak panah pertama ke ujung anak panah kedua. Pada gambar, anak panah ini berwarna hijau dan menunjukkan di mana Budi berakhir. Animasi memperlihatkannya bertahap: mula-mula anak panah biru berpangkal di tempat yang sama dengan anak panah merah, lalu digeser ke ujungnya, dan baru kemudian anak panah hijau muncul.

Jika yang kita jumlahkan bukan vektor, melainkan bilangan biasa, hasilnya 3 km + 4 km = 7 km. Budi memang berjalan tujuh kilometer, tetapi jaraknya dari pondok tidak sejauh itu. Ia berjalan memutar, sedangkan anak panah hijau adalah jalan pintas, sehingga lebih pendek daripada kedua bagian perjalanan jika digabung.

Berapa panjang anak panah hijau? Anak panah merah, biru, dan hijau bersama-sama membentuk segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. Dua sisi yang mengapit sudut siku-siku disebut sisi siku-siku, sedangkan sisi ketiga yang terpanjang, di hadapan sudut siku-siku, adalah sisi miring. Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi siku-siku. Sisi siku-sikunya 3 km dan 4 km, sehingga untuk sisi miring c berlaku

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Kita kuadratkan. Satuannya juga ikut dikuadratkan, kilometer kali kilometer sama dengan kilometer persegi:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Lalu kita tarik akarnya:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Budi berada 5 km dari pondok. Dalam fisika, anak panah dari tempat awal ke tempat akhir disebut perpindahan. Berbeda dengan jarak yang ditempuh, perpindahan adalah vektor: selain lima kilometer, perpindahan juga menyatakan ke arah mana pondok berada. Kita akan kembali membahas arahnya di akhir artikel.

Penjumlahan vektor dapat ditulis seperti penjumlahan bilangan, hanya dengan tanda panah. Jika dua vektor $\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{w}$ dijumlahkan, diperoleh vektor baru $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Perhatikan bahwa besar jumlahnya pada umumnya bukan jumlah besar kedua vektor. Jika bagian pertama perjalanan Budi kita sebut $\overrightarrow{u}$ dan bagian kedua $\overrightarrow{w}$, besar jumlahnya adalah

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

sedangkan jumlah besarnya adalah

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Aturan jajargenjang

Seseorang sedang mengajak dua ekor anjing berjalan-jalan. Setiap anjing menarik ke arah yang berbeda, yang satu dengan gaya ${\overrightarrow{F}}_1$, yang lain dengan gaya ${\overrightarrow{F}}_2$, dan kedua gaya bekerja pada tangan yang memegang tali. Ke mana kedua anjing itu bersama-sama menariknya?

Kedua gaya bekerja pada titik yang sama, sehingga paling wajar jika kedua anak panah digambar dari pangkal yang sama. Resultan gaya ditemukan dengan aturan jajargenjang. Dari ujung setiap anak panah kita tarik garis putus-putus yang sejajar dengan anak panah lainnya. Terbentuklah jajargenjang, dan diagonalnya yang berpangkal di titik bersama adalah jumlah yang dicari, $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Mengapa cara ini berhasil? Sisi putus-putus kanan pada jajargenjang sama panjang dan sejajar dengan anak panah biru. Jadi, sisi itu adalah anak panah biru ${\overrightarrow{F}}_2$ yang digeser ke ujung anak panah merah ${\overrightarrow{F}}_1$. Hal ini sudah kita kenal dari bagian sebelumnya: anak panah kedua digeser ke ujung anak panah pertama. Kedua cara, yaitu jajargenjang dan merangkai anak panah berurutan, selalu memberikan hasil yang sama. Merangkai anak panah cocok untuk peristiwa yang terjadi berurutan (mula-mula ke timur, lalu ke utara), sedangkan jajargenjang cocok untuk gaya-gaya yang bekerja bersamaan pada titik yang sama.

Anak panah hijau menunjukkan ke mana kedua anjing menarik pemiliknya. Gaya hasil penjumlahan ini disebut resultan gaya. Karena setiap anjing menarik ke arah yang sedikit berbeda, resultan gayanya lebih kecil daripada jika keduanya menarik ke arah yang sama. Besarnya dapat kita ukur pada gambar sesuai skala. Untuk sementara, kita hanya dapat menghitungnya dalam dua kasus: jika kedua gaya saling tegak lurus, seperti dua bagian perjalanan Budi, atau jika keduanya terletak pada satu garis lurus (dibahas tepat di bawah).

Vektor pada satu garis lurus

Perhitungan paling mudah jika vektor-vektornya terletak pada satu garis lurus. Dua orang teman mendorong mobil yang mogok. Yang satu mendorong dengan gaya 300 N, yang lain dengan gaya 250 N, keduanya ke depan. Anak panahnya kita rangkai berurutan, dan diperoleh anak panah yang panjangnya merupakan jumlah keduanya:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Anak panah merah dan biru adalah gaya dari kedua teman, sedangkan anak panah hijau adalah resultan gayanya.

Situasi lain: lomba tarik tambang. Satu regu menarik ke kanan dengan gaya 300 N, regu lainnya ke kiri dengan gaya 250 N. Kedua gaya bekerja pada simpul di tengah tali dan arahnya tepat berlawanan. Anak panahnya berpangkal di simpul dan mengarah ke sisi yang berlawanan, sehingga resultan gayanya merupakan selisih:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Pada gambar, gaya regu pertama berwarna merah, gaya regu kedua biru, dan resultan gayanya hijau. Resultan gaya 50 N mengarah ke kanan, ke sisi regu yang lebih kuat. Jika kedua regu menarik sama kuat, resultan gayanya nol dan kedua gaya saling mengimbangi. Hanya jika vektor-vektor searah atau tepat berlawanan arah, besarnya dapat dijumlahkan dan dikurangkan seperti bilangan biasa.

Vektor negatif dan perkalian dengan bilangan

Vektor yang besarnya sama dengan $\overrightarrow{u}$, tetapi arahnya tepat berlawanan, disebut vektor negatif (lawan vektor) dan ditulis $-\overrightarrow{u}$. Pada gambar di bawah, vektor ini berwarna biru. Jika suatu vektor dijumlahkan dengan vektor negatifnya, kita kembali ke tempat semula dan memperoleh vektor nol:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Begitulah akhir lomba tarik tambang antara dua regu yang sama kuat. Berkat vektor negatif, vektor juga dapat dikurangkan: mengurangkan $\overrightarrow{w}$ berarti menjumlahkan $-\overrightarrow{w}$, yaitu $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Vektor juga dapat dikalikan dengan bilangan. Vektor hijau $2\overrightarrow{u}$ searah dengan $\overrightarrow{u}$, tetapi dua kali lebih panjang. Vektor ini sama dengan $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, yaitu dua anak panah yang sama yang dirangkai berurutan. Jika dikalikan dengan bilangan negatif, arah vektor juga berbalik: vektor oranye $-2\overrightarrow{u}$ dua kali lebih panjang dan arahnya berlawanan. Vektor negatif $-\overrightarrow{u}$ sebenarnya adalah vektor $\overrightarrow{u}$ yang dikalikan dengan −1.

Dalam fisika, artinya begini: jika sebuah gaya kita gandakan dan arahnya tetap, diperoleh gaya $2\overrightarrow{F}$. Besarnya menjadi dua kali lipat, sedangkan arahnya tetap.

Sinus dan kosinus

Vektor yang miring sering kali lebih mudah diuraikan menjadi dua vektor yang saling tegak lurus, misalnya mendatar dan tegak. Untuk itu, kita perlu dua pengertian baru, yaitu sinus dan kosinus. Keduanya berasal dari segitiga siku-siku.

Segitiga pada gambar memiliki sudut siku-siku di titik sudut C, dan sisi miringnya adalah sisi hitam c. Kita perhatikan sudut α di titik sudut A. Sisi siku-siku merah a terletak di hadapan sudut itu, sehingga disebut sisi depan. Sisi siku-siku biru b mengapit sudut α bersama sisi miring, sehingga disebut sisi samping.

Sinus sudut α adalah perbandingan sisi depan dengan sisi miring, sedangkan kosinus adalah perbandingan sisi samping dengan sisi miring:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\cos \alpha =\frac{b}{c}$$

Apa gunanya perbandingan seperti ini? Perbesarlah seluruh segitiga dua kali. Semua sisinya menjadi dua kali lebih panjang, tetapi sudut-sudutnya tetap. Perbandingan $\frac{a}{c}$ tidak berubah, karena pembilang dan penyebutnya sama-sama menjadi dua kali lebih besar. Karena itu, sinus dan kosinus tidak bergantung pada ukuran segitiga yang digambar, tetapi hanya pada besar sudut α. Sinus sudut 30° selalu sama, baik segitiganya digambar di buku tulis maupun di lapangan sekolah.

Pada segitiga siku-siku, sisi miring adalah sisi terpanjang, sehingga kedua perbandingan selalu bernilai kurang dari satu. Sinus dan kosinus sudut lancip tidak pernah melebihi satu.

Sinus dan kosinus sudut mana pun dapat dihitung dengan kalkulator, yang memiliki tombol sin dan cos. Namun, pastikan kalkulator menghitung dalam derajat. Jika di layar tidak tertulis DEG, tetapi RAD atau GRAD, kalkulator menghitung dalam satuan sudut lain dan hasilnya tidak masuk akal. Ini salah satu kesalahan yang paling sering terjadi dalam ulangan. Di situs ini kamu dapat memakai kalkulator sinus atau kalkulator kosinus. Sifat-sifat lain kedua fungsi ini ada di artikel Sinus dan kosinus.

Tiga sudut tanpa kalkulator

Untuk sudut 30°, 45°, dan 60°, sinus dan kosinus dapat dihitung tanpa kalkulator. Kita cukup memakai segitiga sama sisi dan persegi.

Di sebelah kiri terlihat segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2. Semua sudutnya 60°. Garis tinggi putus-putus membaginya menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen. Segitiga merah memiliki sisi miring 2, sisi siku-siku bawah 1 karena merupakan setengah sisi, sudut 60° di bawah, dan sudut 30° di atas, karena garis tinggi membagi dua sudut atas. Panjang garis tinggi kita hitung dengan teorema Pythagoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Tinggal disubstitusikan ke definisi. Di hadapan sudut 30° terletak sisi siku-siku 1, sehingga

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866.}$$

Pada sudut 60° keadaannya terbalik, di hadapannya terletak garis tinggi $\sqrt{3}$:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \mathrm{0,866},\cos 60°=\frac{1}{2}.$$

Di sebelah kanan terdapat persegi dengan panjang sisi 1 yang dibagi oleh diagonal. Diagonal membagi dua sudut siku-siku, sehingga segitiga biru memiliki sudut 45°, dua sisi siku-siku sepanjang 1, dan sisi miring $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus dan kosinusnya sama:

$$\sin 45°=\cos 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0,707}$$

Semuanya dalam satu tabel:

Menariknya, sinus 30° sama dengan kosinus 60° dan sebaliknya. Ini bukan kebetulan: sisi depan salah satu sudut lancip adalah sisi samping sudut lancip lainnya.

Menguraikan vektor atas komponen

Andi menarik kereta mainan berisi adik kecilnya. Ia memegang talinya dengan tangan, sehingga tali tidak mendatar, tetapi miring ke atas dan membentuk sudut 30° dengan tanah. Andi menarik tali dengan gaya 100 N. Namun, kereta bergerak di atas tanah, bukan miring ke udara. Berapa bagian gaya itu yang benar-benar menarik ke depan?

Gaya miring $\overrightarrow{F}$ kita ganti dengan sepasang gaya, mendatar dan tegak. Keduanya disebut komponen dan dilambangkan ${\overrightarrow{F}}_x$ dan ${\overrightarrow{F}}_y$ sesuai sumbu x dan y. Komponen dipilih sedemikian rupa sehingga jumlahnya tepat sama dengan gaya semula:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Pada gambar terlihat gaya hijau $\overrightarrow{F}$ beserta komponennya, yaitu komponen mendatar berwarna merah dan komponen tegak berwarna biru. Garis putus-putus melengkapinya menjadi persegi panjang. Sisi putus-putus kanan adalah komponen biru yang digeser ke ujung komponen merah, sehingga anak panah merah dan biru yang dirangkai berurutan memang menghasilkan anak panah hijau. Inilah aturan jajargenjang yang dibalik: di sana dua gaya kita jadikan satu, di sini satu gaya kita jadikan dua. Dalam kasus ini jajargenjangnya berupa persegi panjang, karena kedua komponen saling tegak lurus.

Komponen merah, sisi putus-putus kanan, dan gaya hijau membentuk segitiga siku-siku. Sisi miringnya adalah gaya $\overrightarrow{F}$ dengan besar F. Komponen mendatar adalah sisi samping sudut α, dan komponen tegak sama panjang dengan sisi depannya. Dari definisi sinus dan kosinus berlaku

$$\cos \alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Kedua persamaan kita kalikan dengan besar gaya F, sehingga diperoleh rumus besar komponen:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \cos \alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Kita substitusikan nilai-nilai dari soal Andi. Komponen mendatarnya adalah

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}=86,6\mathrm{N}\end{array}$$

dan komponen tegaknya

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Dari seratus newton, hanya sekitar 86,6 N yang menarik kereta ke depan. Sisanya, komponen tegak 50 N, sedikit mengangkat kereta, sehingga kereta menekan tanah lebih ringan.

Perhatikan bahwa 86,6 N + 50 N menghasilkan lebih dari 100 N. Ini bukan kesalahan. Komponen adalah vektor dan tidak dijumlahkan seperti bilangan. Yang dapat dijumlahkan hanyalah anak panahnya, yang dirangkai berurutan, dan hasilnya kembali 100 N semula.

Bagaimana jika Andi mengangkat tali lebih tinggi, sampai 60°? Maka

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \cos 60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0,5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Ke depan, ia hanya menarik dengan setengah gayanya. Makin curam tali, makin kecil bagian gaya yang menarik ke depan dan makin besar bagian yang mengangkat kereta.

Menyusun kembali vektor dari komponennya

Sejauh ini kita menguraikan gaya. Sering kali yang diperlukan justru kebalikannya: kita mengetahui dua komponen yang saling tegak lurus dan ingin mencari vektor utuhnya. Komponen-komponen itu adalah sisi siku-siku segitiga siku-siku, dan vektornya adalah sisi miring, sehingga besarnya dihitung dengan teorema Pythagoras:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Kita periksa pada soal kereta mainan. Substitusikan komponennya:

$$F=\sqrt{(86,6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Kita kuadratkan:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7.499,56{\mathrm{N}}^2+2.500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9.999,56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Lalu kita tarik akarnya:

$$F\approx 100,0\mathrm{N}$$

Kita memperoleh gaya semula. Selisih kecil di bawah tanda akar terjadi karena kosinus kita bulatkan menjadi 0,866.

Sekarang kita dapat kembali ke Budi dan perjalanannya. Perpindahannya memiliki komponen 3 km ke timur dan 4 km ke utara, dan besarnya sudah kita ketahui, yaitu 5 km. Tinggal arahnya. Misalkan α adalah sudut antara anak panah hijau dan anak panah merah, yaitu arah timur. Komponen utara 4 km terletak di hadapan sudut itu, dan sisi miringnya 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0,8$$

Satuan kilometer saling menghilangkan, dan sinus adalah bilangan biasa tanpa satuan. Sudut yang sinusnya 0,8 dapat dicari dengan tombol sin⁻¹ pada kalkulator (biasanya terletak di atas tombol sin; di situs ini dapat dipakai kalkulator arcsin):

$$\alpha \approx 53°$$

Jadi, perpindahan Budi adalah 5 km ke arah yang menyimpang 53° dari timur ke utara. Besar dan arah, hanya itu yang diperlukan sebuah vektor. Jika Budi ingin kembali melalui jalan terpendek, ia akan berjalan menurut vektor negatifnya: 5 km ke arah berlawanan, yaitu ke barat daya, sedikit lebih ke selatan daripada ke barat.

Perpindahan akan menyertai kita di seluruh kinematika. Dalam artikel berikutnya, Gerak dan diam, perpindahan akan kita bandingkan dengan jarak, dan kita akan melihat mengapa seorang pelari setelah satu putaran penuh mengelilingi lapangan sebenarnya tidak berpindah ke mana pun.