Hukum kekekalan momentum

Momentum tidak muncul dari ketiadaan dan tidak hilang tanpa jejak. Momentum hanya dapat dipindahkan dari satu benda ke benda lain. Baik dua troli bertabrakan maupun dua orang saling mendorong, yang satu memperoleh momentum dan yang lain kehilangan momentum yang persis sama besar. Jumlah kedua momentum tetap seperti semula. Inilah yang disebut hukum kekekalan momentum, salah satu hukum yang paling berguna dalam seluruh fisika. Berkat hukum ini, kita dapat menghitung apa yang terjadi setelah tumbukan tanpa mengetahui gaya yang bekerja selama tumbukan maupun lamanya gaya itu bekerja.

Sistem terisolasi

Agar hukum ini berlaku, kita harus lebih dulu menentukan benda-benda yang kita bicarakan. Kita pilih beberapa benda yang menarik bagi kita, misalnya dua gerbong, dan benda-benda itu kita sebut sistem. Gaya-gaya yang diberikan benda-benda dalam sistem satu sama lain adalah gaya dalam. Gaya-gaya yang diberikan sesuatu dari luar, misalnya Bumi atau rel, adalah gaya luar.

Sistem disebut terisolasi jika tidak ada gaya luar yang bekerja padanya, atau jika gaya-gaya luar saling meniadakan dan resultannya nol. Sistem yang benar-benar terisolasi tidak ada di Bumi, tetapi sering kali kita dapat sangat mendekatinya. Pemain seluncur di atas es ditarik Bumi ke bawah, dan es menahannya dari bawah dengan gaya yang sama besar, sehingga kedua gaya ini saling meniadakan. Gesekan sepatu luncur kecil dan kita abaikan.

Sebaliknya, batu yang jatuh dari tebing bukan sistem terisolasi. Batu itu ditarik Bumi, yang merupakan gaya luar, sehingga momentumnya bertambah. Namun, jika Bumi kita masukkan ke dalam sistem, gaya antara batu dan Bumi menjadi gaya dalam. Batu menarik Bumi dengan gaya yang sama besar dengan gaya Bumi menarik batu, dan Bumi memperoleh momentum yang sama besar dan berlawanan arah, hanya dengan kelajuan yang sangat kecil karena massanya yang sangat besar. Hal yang sama terjadi pada bola tenis yang memantul dari tembok. Momentum 2,4 kg·m/s yang hilang darinya diambil alih oleh tembok, dan bersama tembok oleh seluruh Bumi, yang karena massanya mulai bergerak dengan sangat lambat sehingga tidak teramati.

Momentum total sistem adalah jumlah vektor momentum semua bendanya. Untuk dua benda:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Jika benda-benda bergerak pada satu garis lurus, kita pilih arah positif dan momentum kita jumlahkan sebagai bilangan bertanda. Benda yang bergerak berlawanan dengan arah positif memiliki momentum negatif.

Mengapa momentum total tidak berubah

Ambil dua benda dalam sistem terisolasi yang saling memberikan gaya selama beberapa saat, baik bertumbukan maupun saling mendorong. Tidak ada gaya lain yang bekerja padanya, atau gaya-gaya lain saling meniadakan, sehingga momentum masing-masing benda hanya diubah oleh gaya dari benda lainnya. Benda 2 memberikan gaya ${\vec{F}}_{1}$ pada benda 1. Menurut hukum III Newton, benda 1 memberikan gaya yang sama besar dan berlawanan arah pada benda 2:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Kedua gaya muncul pada saat yang sama dan hilang pada saat yang sama, sehingga bekerja sama lama, selama waktu Δt. Impuls sama dengan perubahan momentum, sehingga momentum kedua benda berubah sebesar

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Perubahan momentumnya sama besar dan berlawanan arah. Kita jumlahkan:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Momentum total tidak berubah. Apa yang diperoleh satu benda hilang dari benda lainnya. Gaya saat tumbukan memang tidak tetap, tetapi hal itu tidak masalah. Seluruh tumbukan kita bagi menjadi saat-saat yang sangat singkat; pada setiap saat itu kedua gaya sama besar dan berlawanan arah, sehingga momentum total tidak berubah pada satu saat pun.

Di dalam sistem, benda-benda boleh bertumbukan, saling mendorong, atau saling menolak sesuka hati. Gaya dalam selalu muncul berpasangan aksi-reaksi, sehingga tidak dapat mengubah momentum total. Yang dapat mengubahnya hanyalah gaya luar. Hal yang sama berlaku untuk lebih banyak benda, setiap pasangan hanya saling bertukar momentum. Baron Münchhausen, yang konon menarik dirinya sendiri keluar dari rawa dengan menjambak rambutnya, jadi hanya mengarang cerita. Tangan menarik rambut, rambut menarik tangan, dan kedua gaya tetap berada di dalam diri sang baron, sehingga tidak mengubah momentum totalnya. Dengan ini kita telah menurunkan hukumnya:

Momentum total sistem terisolasi tidak berubah. Momentum sebelum peristiwa (tanpa aksen) dan sesudahnya (dengan aksen) memiliki jumlah yang sama:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Perhatikan bahwa yang tetap hanyalah jumlahnya. Momentum masing-masing benda dapat berubah, dan biasanya memang berubah.

Gaya dorong balik senapan

Seorang pemburu menembak dengan senapan bermassa 4 kg. Peluru bermassa 10 g melesat dengan kelajuan 800 m/s. Seberapa cepat senapan bergerak ke belakang? Tangan dan bahu pemburu untuk sementara kita abaikan, senapan seolah-olah tergantung bebas di udara.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Arah positif kita pilih searah gerak peluru. Sebelum menembak, senapan dan peluru diam, sehingga momentum totalnya nol. Setelah menembak, momentum totalnya juga harus nol:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Kita kurangkan momentum peluru, lalu kita bagi dengan massa senapan:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Kita substitusikan:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Senapan bergerak dengan kelajuan 2 m/s, dan tanda minus menyatakan bahwa arahnya ke belakang, berlawanan dengan gerak peluru. Peluru dan senapan memiliki momentum yang sama besar, 8 kg·m/s, hanya berlawanan arah. Namun, massa senapan empat ratus kali lebih besar, sehingga senapan empat ratus kali lebih lambat. Momentum gas pembakaran yang keluar dari laras bersama peluru kita abaikan.

Dua meter per sekon sama dengan lebih dari tujuh kilometer per jam. Siapa yang hanya memegang senapan dengan longgar akan mendapat pukulan keras dari popor di bahunya. Karena itu, popor ditempelkan erat ke bahu. Senapan kemudian bergerak bersama penembak, dan momentum 8 kg·m/s terbagi pada massa yang jauh lebih besar. Dengan penembak bermassa 80 kg, kelajuannya

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Penembak hanya terdorong sedikit, dan jika ia menjejak tanah dengan kuat, bahkan tidak sama sekali.

Dua pemain seluncur

Di atas es, dua pemain seluncur, Dewi dan Rina, berdiri berhadapan. Keduanya menempelkan telapak tangan satu sama lain dan saling mendorong. Massa Dewi 50 kg, massa Rina 60 kg. Rina meluncur dengan kelajuan 1 m/s. Seberapa cepat Dewi meluncur?

Arah positif kita pilih ke arah Rina meluncur, dan Dewi kita beri indeks 1. Sebelum saling mendorong, keduanya diam, sehingga momentum totalnya juga nol sesudahnya:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Kita nyatakan kecepatan Dewi, lalu kita substitusikan:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Dewi meluncur dengan kelajuan 1,2 m/s ke arah yang berlawanan. Kita periksa bahwa jumlah momentumnya memang nol:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Masing-masing memperoleh momentum 60 kg·m/s, masing-masing ke arah yang berbeda.

Dewi (merah) dan Rina (biru) sebelum saling mendorong (abu-abu) dan sesudahnya, kecepatan v⃗_1' dan v⃗_2'

Kelajuan kedua pemain seluncur berbanding 1,2:1, yaitu 6:5, dan itu kebalikan dari perbandingan massanya, 50:60. Pemain yang lebih ringan meluncur lebih cepat. Seberapa kuat keduanya saling mendorong tidak berpengaruh. Jika keduanya saling mendorong sama lama dengan gaya dua kali lebih besar, keduanya akan meluncur dua kali lebih cepat, tetapi perbandingannya tetap 6:5.

Siapa yang mendorong juga tidak berpengaruh. Rasanya ingin berpikir bahwa jika hanya Dewi yang mendorong dan Rina menahan tangannya dengan kaku, terutama Rina yang akan meluncur. Namun, gaya dalam pasangan aksi-reaksi selalu sama besar, siapa pun yang mendorong, dan Dewi yang lebih ringan kembali meluncur lebih cepat.

Prinsip yang sama berlaku saat melompat dari perahu kecil ke darat. Pelompat menolak perahu dan perahu menolaknya, sehingga sementara ia melayang ke depan, perahu bergerak mundur. Jika perahunya ringan, perahu itu menjauh darinya, dan pelompat jatuh ke air alih-alih mendarat di tepi.

Tumbukan gerbong

Di stasiun langsir, sebuah gerbong bermassa 20 t bergerak dengan kelajuan 2 m/s dan menabrak gerbong diam yang massanya sama. Alat perangkai otomatis langsung terkunci saat tumbukan, dan kedua gerbong melanjutkan gerak dalam keadaan tersambung. Seberapa cepat?

Tumbukan yang membuat benda-benda tetap menyatu dan bergerak bersama setelahnya disebut tumbukan tidak lenting sama sekali. Arah positif kita pilih searah gerak gerbong pertama.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Setelah tumbukan, kedua gerbong memiliki kecepatan yang sama, v', sehingga momentumnya adalah momentum satu benda bermassa m₁ + m₂. Hukum kekekalan momentum:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Sebelum tumbukan, hanya gerbong pertama yang memiliki momentum:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Momentum yang sama harus dimiliki kedua gerbong bersama-sama setelah tumbukan. Momentum itu kita bagi dengan massa totalnya:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Gerbong-gerbong yang tersambung bergerak dengan kelajuan 1 m/s, setengah kelajuan semula. Massanya menjadi dua kali lipat dan momentumnya tetap sama, sehingga kelajuannya harus turun menjadi setengahnya. Jika gerbong itu menabrak pasangan gerbong yang sudah tersambung dan diam, momentum yang sama akan terbagi pada massa tiga kali lipat, 60.000 kg, dan ketiganya akan bergerak dengan sepertiga kelajuan, sekitar 0,67 m/s.

Sebuah gerbong menabrak gerbong yang diam, dan gerbong-gerbong yang tersambung melanjutkan gerak dengan setengah kelajuan

Tanda-tanda oranye menunjukkan posisi bagian depan gerbong merah setelah selang waktu yang sama. Selama gerbong merah bergerak sendiri, jarak antartandanya sama. Setelah tersambung dengan gerbong biru, jarak antartandanya tetap sama, hanya setengahnya.

Sekarang kasus yang lebih menjebak. Gerbong kedua tidak diam, tetapi bergerak ke arah gerbong pertama dengan kelajuan 1 m/s. Arahnya berlawanan dengan arah positif, sehingga v₂ = −1 m/s. Keliru jika momentum kedua gerbong dijumlahkan tanpa memperhatikan arah; hasilnya, gerbong-gerbong yang tersambung akan bergerak dengan kelajuan 1,5 m/s. Karena itu, kecepatan gerbong kedua kita substitusikan beserta tanda minusnya:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Gerbong-gerbong yang tersambung akan bergerak dengan kelajuan 0,5 m/s searah gerak gerbong pertama. Jika keduanya saling mendekat sama cepat, keduanya akan berhenti di tempat.

Gerbong memang bukan sistem terisolasi, roda bergesekan dengan rel. Namun, gaya-gaya luar ini kecil dan tumbukan hanya berlangsung sepersekian sekon, sehingga selama waktu itu momentum gerbong hanya berubah sangat sedikit. Gaya antara gerbong-gerbong yang bertumbukan berlipat-lipat kali lebih besar. Karena itu, hukum kekekalan momentum dapat kita gunakan untuk tumbukan, walaupun sistemnya tidak sepenuhnya terisolasi.

Roket

Sebuah roket berada di luar angkasa jauh dari planet-planet, dan momentum totalnya, termasuk bahan bakarnya, nol. Mesin membakar bahan bakar dan menyemburkan gas panas ke belakang melalui nosel dengan kelajuan sangat tinggi. Dengan demikian, gas memperoleh momentum ke belakang, dan agar momentum total roket beserta gasnya tetap nol, roket harus memperoleh momentum yang sama besar ke depan. Roket sebenarnya seperti senapan yang setiap sekon menembakkan sangat banyak “peluru” kecil ke belakang dan setiap kali bertambah cepat sedikit ke depan.

Pada sistem roket dan gas, tidak perlu ada yang bekerja dari luar. Roket tidak memerlukan tanah ataupun udara dan dapat dipercepat bahkan di ruang hampa. Roket menolak gas yang dibawanya sendiri dan disemburkannya sendiri. Makin banyak gas yang disemburkan per sekon dan makin cepat semburannya, makin besar momentum yang diberikan pada gas itu dan makin besar pula percepatan roket.

Saat tumbukan, momentum hanya berpindah dari satu benda ke benda lain. Gaya yang benar-benar mengurangi gerak dan akhirnya menghentikan hampir segala sesuatu yang bergeser di atas tanah adalah gesekan. Gesekan dibahas dalam artikel berikutnya, Gaya gesek.

« Artikel sebelumnya: Momentum dan impuls

Artikel berikutnya: Gaya gesek »