Contoh soal dinamika

Gaya paling mudah dipahami dengan berhitung. Berikut tiga belas soal, mulai dari memadukan gaya, melalui hukum-hukum Newton, momentum, dan gesekan, sampai tikungan dan gaya inersia. Tiga di antaranya (perosotan, pengereman di salju, dan kereta yang mulai bergerak) menghubungkan gaya dengan gerak: dari gaya kita hitung percepatan, dan dari percepatan kita hitung kelajuan atau jarak. Kita berpegang pada langkah-langkah yang sudah teruji: menuliskan yang diketahui, sketsa gaya, arah positif, penyelesaian umum, substitusi beserta satuan, dan jawaban dengan kalimat lengkap. Buatlah sketsa sendiri, hanya soal pertama yang dilengkapi gambar. Cobalah kerjakan setiap soal sendiri terlebih dahulu.

Contoh 1: Dua traktor dan mesin pemanen yang terjebak

Sebuah mesin pemanen padi terjebak di lumpur. Dua traktor menariknya keluar, masing-masing dengan tali dan gaya 30 kN. Kedua tali membentuk sudut β = 60°, dan mesin pemanen terletak tepat pada garis tengah di antara keduanya. Berapa besar resultannya?

Dua gaya F⃗_1 (merah) dan F⃗_2 (biru) dari titik oranye yang menggambarkan mesin pemanen, masing-masing menyimpang sebesar sudut α dari garis tengah, dan resultan hijau F⃗ sepanjang garis tengah

Penyelesaian:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Sumbu x kita pilih sepanjang garis tengah di antara kedua tali, positif searah tarikan. Karena mesin pemanen terletak pada garis tengah, setiap tali menyimpang darinya sebesar setengah sudut di antara tali, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Kedua gaya kita uraikan atas komponen. Komponen yang tegak lurus garis tengah sama besar dan berlawanan arah, sehingga saling meniadakan. Sepanjang garis tengah tersisa dua komponen yang sama, F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

Resultannya sekitar 52 kN, bukan 60 kN. Sebagian tarikan terbuang, karena setiap traktor menarik ke arah yang sedikit berbeda. Makin lebar sudut antara kedua tali, makin besar kehilangannya: pada sudut β = 120° di antara tali, α = 60° dan resultannya 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, seolah-olah hanya satu traktor yang menarik.

Contoh 2: Perahu motor

Sebuah perahu bermassa 300 kg termasuk awaknya didorong maju oleh air berkat baling-baling dengan gaya 900 N. Hambatan air 300 N. Berapa percepatan perahu?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Arah positif kita ambil searah gerak perahu. Hambatan mengarah berlawanan, sehingga dalam resultan bertanda minus. Selanjutnya kita cukup menjumlahkan gaya-gaya dan membaginya dengan massa:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Satuannya cocok, newton per kilogram adalah meter per sekon kuadrat. Perahu memiliki percepatan 2 m/s². Hambatan air bertambah seiring kelajuan, dan ketika mencapai 900 N, resultannya nol dan perahu bergerak dengan kelajuan tetap.

Contoh 3: Truk dan mobil penumpang

Sebuah truk bermassa 10.000 kg menabrak mobil penumpang bermassa 1.000 kg. Benda mana yang memberikan gaya lebih besar pada benda lainnya? Berapa percepatan keduanya jika gaya tumbukannya 50.000 N?

Penyelesaian: Kebanyakan orang menebak truk. Namun, gaya-gaya tumbukan membentuk pasangan aksi-reaksi, sehingga sama besar dan berlawanan arah. Truk menekan mobil dengan gaya 50.000 N, dan mobil juga menekan truk dengan gaya itu. Perbedaannya terletak pada apa yang dilakukan gaya itu terhadap benda.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1.000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Arah positif kita pilih searah gerak truk:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1.000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Truk memiliki percepatan −5 m/s², artinya melambat, sedangkan mobil memperoleh percepatan 50 m/s², sekitar lima kali percepatan gravitasi. Karena itulah penumpang mobil mengalami akibat yang lebih buruk, meskipun gayanya sama.

Contoh 4: Timbangan di lift yang bergerak turun

Budi bermassa 80 kg berdiri di atas timbangan di dalam lift. Lift bergerak turun dan sebelum lantai dasar mengerem dengan perlambatan 1,5 m/s². Berapa angka yang ditunjukkan timbangan?

Penyelesaian: Arah ke atas adalah arah positif. Lift bergerak turun dan melambat, sehingga percepatannya mengarah ke atas: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Budi ditarik ke bawah oleh gaya berat dan ditopang ke atas oleh gaya normal timbangan. Menurut hukum II, N − m · g = m · a, sehingga gaya normalnya sama seperti pada lift yang mulai bergerak naik:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Timbangan membagi gaya dengan percepatan gravitasi dan menunjukkan $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . Dalam keadaan diam, timbangan akan menunjukkan massa sebenarnya, 80 kg. Budi merasa lebih berat, padahal ia sedang bergerak turun. Yang menentukan adalah arah percepatan, bukan arah gerak.

Contoh 5: Robot penjelajah di Mars

Robot penjelajah Perseverance bermassa 1.025 kg. Berapa besar gaya berat yang bekerja padanya di Bumi dan di Mars, tempat percepatan gravitasinya 3,71 m/s²?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} m & = 1.025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ w & = ? (N) \end{aligned}$

Gaya berat adalah massa kali percepatan gravitasi. Di Mars

$w = m \cdot g = 1.025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3.803 N,$

di Bumi dengan perhitungan yang sama, dengan g = 9,81 m/s²,

$w = 1.025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

Di Mars, pada robot penjelajah bekerja gaya berat sekitar 3,8 kN, sedikit lebih dari sepertiga 10 kN di Bumi. Namun, massanya sama di mana pun, sehingga dengan gaya yang sama robot itu sama enggannya untuk mulai bergerak.

Contoh 6: Servis tenis

Seorang pemain tenis melakukan servis dengan bola bermassa 57 g, yang di titik tertinggi lemparannya hampir diam. Raket menyentuh bola selama 5 ms, dan bola melesat dengan kelajuan 50 m/s. Berapa besar gaya rata-rata yang diberikan raket pada bola?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Arah positif kita pilih searah gerak bola. Gaya sama dengan perubahan momentum dibagi lamanya gaya bekerja, yaitu impuls dibagi lama tumbukan:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Itu kira-kira sama dengan jika seseorang bermassa 58 kg berdiri di atas bola, tetapi hanya selama lima perseribu sekon. Raket menekan bola dengan gaya rata-rata 570 N. Dengan sentuhan dua kali lebih lama, gaya setengahnya sudah cukup untuk kelajuan yang sama.

Contoh 7: Dua pemain hoki yang saling mengunci

Seorang pemain hoki bermassa 90 kg meluncur dengan kelajuan 6 m/s dan bertabrakan langsung dengan lawannya bermassa 80 kg, yang meluncur ke arahnya dengan kelajuan 4 m/s. Setelah tabrakan, keduanya saling mengunci. Seberapa cepat dan ke mana keduanya bergerak?

Penyelesaian: Arah positif mengarah ke arah gerak pemain pertama, sehingga kecepatan lawannya negatif.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Di atas es, gesekannya kecil dan tabrakannya singkat, sehingga kedua pemain kita anggap sebagai sistem terisolasi. Menurut hukum kekekalan momentum, momentum sebelum tabrakan sama dengan momentum sesudahnya:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Hasilnya positif, sehingga kedua pemain bergeser ke arah gerak pemain yang massa dan kelajuannya lebih besar, dengan kelajuan sekitar 1,3 m/s. Siapa yang melupakan tanda akan memperoleh hasil yang tidak masuk akal, 5,1 m/s.

Contoh 8: Bangku di aula olahraga

Sebuah bangku kayu bermassa 25 kg berada di lantai kayu. Koefisien gesek statisnya 0,5, koefisien gesek kinetisnya 0,3. Apakah gaya mendatar 100 N dapat menggerakkannya? Berapa percepatan bangku jika didorong dengan gaya 130 N?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0, 5, μ_{k} = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Di lantai mendatar, gaya normal sama dengan gaya berat, N = m · g. Gaya gesek statis maksimumnya

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Gaya 100 N lebih kecil, sehingga bangku tetap diam, dan gaya gesek statisnya tepat 100 N. Gaya 130 N membuat bangku mulai bergerak, dan bangku hanya diperlambat oleh gaya gesek kinetis. Arah positif kita pilih searah dorongan:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ_{k} \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Bangku mulai bergerak dengan percepatan sekitar 2,3 m/s². Dengan gaya seratus newton, bangku sama sekali tidak bergerak.

Contoh 9: Perosotan

Seorang anak meluncur dari keadaan diam pada perosotan sepanjang 4 m dengan kemiringan 30°. Koefisien gesek kinetis antara celana dan perosotan 0,3. Dengan kelajuan berapa anak itu sampai di bawah?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ_{k} = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Arah positif kita pilih ke bawah sepanjang perosotan. Komponen gaya berat sepanjang lereng adalah m · g · sin α, gesekan μ_k · m · g · cos α mengarah berlawanan dengan gerak. Setelah massa saling menghilangkan, tersisa percepatan di lereng dengan gesekan, a = g · (sin α − μ_k · cos α). Sebagai gambaran, nilainya sekitar 2,36 m/s².

Waktunya tidak diketahui, sehingga kelajuan di bawah diperoleh dari hubungan tanpa waktu, v² = 2 · a · s. Ke dalamnya kita substitusikan percepatan dalam bentuk umum:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ_{k} \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Anak itu sampai di bawah dengan kelajuan sekitar 4,3 m/s, yaitu kurang dari 16 km/h. Tanpa gesekan, kelajuannya akan lebih dari 6 m/s.

Contoh 10: Pesepeda di tikungan

Berapa kelajuan maksimum seorang pesepeda untuk melewati tikungan mendatar berjari-jari 12 m di aspal kering dengan koefisien gesek 0,7? Berapa pula di aspal basah dengan koefisien 0,5?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ_{k} & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Pesepeda ditahan pada lingkaran hanya oleh gesekan ban, yang mengarah ke pusat tikungan. Gesekan itu harus cukup untuk menyediakan gaya sentripetal, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ_{k} \cdot m \cdot g$ . Massanya saling menghilangkan:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ_{k} \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Itu sekitar 33 km/h. Di jalan basah, dengan perhitungan yang sama diperoleh 7,7 m/s, kurang dari 28 km/h. Massanya saling menghilangkan, sehingga pesepeda yang massanya lebih besar tidak lebih mudah ataupun lebih sulit. Pada kelajuan yang lebih tinggi, roda akan tergelincir keluar dari tikungan.

Contoh 11: Kotak di mobil boks yang mengerem

Di dalam mobil boks, di atas lantai kayu, terdapat kotak perkakas dari kayu bermassa 30 kg, dan koefisien gesek statisnya 0,5. Pengemudi mengerem dengan perlambatan 6 m/s². Nilailah situasinya dari dalam mobil boks: apakah kotak itu bergeser ke depan?

Penyelesaian: Mobil boks mengerem, sehingga merupakan kerangka acuan noninersial. Di dalamnya, pada kotak juga bekerja gaya inersia yang berlawanan dengan percepatan mobil boks, yaitu ke depan. Arah positif kita pilih ke depan.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Percepatan mobil boks mengarah ke belakang, sehingga bernilai negatif. Gaya inersia dan gaya gesek statis maksimum:

$\begin{aligned} F_{in} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Gaya inersia bernilai positif, sehingga mengarah ke depan. Gesekan tidak dapat menahan kotak, dan kotak bergeser ke depan. Gesekan hanya dapat menahannya sampai perlambatan μ_s · g ≈ 4,9 m/s², massanya saling menghilangkan. Dari luar, situasinya sama, hanya tanpa gaya inersia: untuk perlambatan 6 m/s², kotak memerlukan gaya gesek 180 N, tetapi gaya gesek statis paling besar hanya 147 N. Karena itu, kotak melambat lebih sedikit daripada mobil boks.

Contoh 12: Mengerem di salju

Sebuah mobil melaju di jalan bersalju dengan kelajuan 45 km/h, dan pengemudi mengerem sehingga roda terkunci. Koefisien gesek kinetis ban di atas salju 0,3. Berapa panjang jarak pengereman dan berapa lama pengereman berlangsung?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ_{k} & = 0, 3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Arah gerak adalah arah positif. Yang memperlambat hanya gesekan, $m \cdot | a | = μ_{k} \cdot m \cdot g$ , sehingga perlambatannya adalah $| a | = μ_{k} \cdot g$ . Perlambatan ini kita substitusikan ke rumus jarak pengereman:

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ_{k} \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ_{k} \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Mobil berhenti setelah 26,5 m dan mengerem selama lebih dari empat sekon. Di jalan kering dengan koefisien 0,7, cukup 11,4 m. Massa tidak ada dalam rumus, sehingga mobil yang penuh muatan pun mengerem secara sama, setidaknya dalam penyederhanaan ini.

Contoh 13: Kereta mulai bergerak

Sebuah kereta bermassa 400 t mulai bergerak dari stasiun. Rel mendorong kereta ke depan melalui roda lokomotif dengan gaya 200 kN, dan hambatan terhadap gerak 40 kN. Dalam waktu berapa lama dan setelah jarak berapa kereta mencapai kelajuan 90 km/h, jika gaya-gayanya tidak berubah?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Arah positif kita pilih searah gerak. Mula-mula dinamika, hukum gaya:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Kemudian kinematika gerak lurus berubah beraturan dari keadaan diam dan hubungan tanpa waktu:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Pemeriksaan: kelajuan rata-ratanya 12,5 m/s, dan dalam 62,5 s menghasilkan 781 m yang sama. Kereta memerlukan sekitar satu menit dan kurang dari satu kilometer. Kenyataannya, hambatan bertambah seiring kelajuan, sehingga waktu yang diperlukan untuk mencapai kelajuan itu sedikit lebih lama.

Akhir perjalanan

Dengan ini berakhirlah bahan ajar kinematika dan dinamika. Kita mulai dari apa sebenarnya besaran dan satuan, melalui kelajuan dan percepatan kita sampai pada gaya dan hukum-hukum Newton, dan akhirnya kita hubungkan keduanya: gaya menyatakan seberapa besar percepatan, dan percepatan menyatakan ke mana dan seberapa cepat benda bergerak. Dengan pasangan ini, kamu dapat menyelesaikan sebagian besar soal tentang gerak dan gaya. Usaha dan energi akan dibahas nanti.

« Artikel sebelumnya: Contoh soal kinematika

Artikel berikutnya: Lainnya »